22.5 串联和并联谐振变换器的精确特性

到目前为止，正弦近似法一直是我们理解谐振变换器的有力透镜。它帮我们建立了“槽路传递函数”和“输入/输出阻抗”这样的直觉模型。这就像是物理学家用的理想气体模型——虽然能解释大部分现象，但如果你非要问“在绝对零度下气体体积是多少”这种边缘问题，理想气体方程就会给你一个虽然数学上成立但物理上荒谬的答案。

谐振变换器也有它的“绝对零度时刻”。

当开关频率跌得太低、或者负载轻得离谱时，那些被我们刻意忽略的谐波成分和电流死区就会突然跳出来，接管控制权。这时候，正弦近似法给出的预测会开始飘忽不定。

为了在所有边缘条件下都能生存，我们需要一把更“硬核”的尺子。在这一节里，我们将不再满足于近似，而是直接给出理想串联和并联谐振变换器的精确稳态特性。这些结果是基于“状态平面分析法”（State Plane Analysis）推导出来的——这是一种把谐振槽路的电感电流和电容电压画在相平面上的几何方法，能精确追踪每一个周期的能量轨迹。

由于状态平面分析的数学推导极其繁琐（涉及到解复杂的超越方程），我们这里直接给出最终的“武器库”——那些由前人推导好、可以直接查表或代公式用的精确方程。

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22.5.1 串联谐振变换器（SRC）

串联谐振变换器的行为模式比想象的要丰富得多。根据开关频率 $f_s$ 和负载电阻 $R$ 的不同，它会在不同的“工作模式”之间切换。

为了描述这些模式，我们需要两个整数参数：

1. 模式指数 $k$（Mode Index）： 它代表了当前开关频率所处的“频段”。对于给定的开关频率 $f_s$，满足以下不等式的整数 $k$ 定义了当前的模式：

   $$\frac{f_0}{k+1}<f_s<\frac{f_0}{k}\text{或者}\frac{1}{k+1}<F<\frac{1}{k}$$

   其中 $F=f_s/f_0$ 是归一化频率。

2. 次谐波数 $\xi$（Subharmonic Number）： 这个参数告诉我们，在这个频段下，究竟是哪一次谐波在主导谐振过程。

   $$\xi =k+1+(-1{)}^k\frac{1}{2}$$

这两个参数的关系是：当频率很高（$f_s>f_0$）时，$k=0$；当频率降到 $f_0/2$ 和 $f_0$ 之间时，$k=1$；以此类推。

连续导通模式（CCM）

当负载很重（即 $R$ 很小，$Q$ 很大）时，变换器工作在 Type $k$ CCM。在这种模式下，槽路电流 $i_L(t)$ 在半个开关周期内振荡 $\xi$ 次，并且从未归零。

这种模式下的输出特性由著名的椭圆方程描述：

$${[\frac{M}{\xi }-\sin \left(\frac{\gamma }{2}\right)]}^2{\xi }^2+{[J-(-1{)}^k\cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)]}^2=1$$

这里的 $M$ 和 $J$ 是归一化的输出电压和电流：

$$M=\frac{V}{n{V}_g},J=\frac{In{R}_0}{V_g}$$

而 $\gamma$ 是半个开关周期对应的电角度（也叫“导通角”）：

$$\gamma =\frac{{\omega }_0{T}_s}{2}=\frac{\pi }{F}$$

这个椭圆方程揭示了一个有趣的限制：在 Type $k$ CCM 下，电压转换比 $M$ 被限制在 $\xi$ 的倒数以内：

$$0\le M\le \frac{1}{\xi }$$

这和我们之前用正弦近似法推导出的 $M$ 限制是一致的（比如在 $k=0,\xi =1$ 时，$M\le 1$）。

如果你想画控制特性曲线（即 $M$ 随 $F$ 变化的曲线），我们可以将椭圆方程与负载线 $V=IR$（即 $J=MQ$）联立求解。经过一番代数折磨，可以得到 $M$ 的解析解：

$$M=\frac{1}{\frac{{\xi }^4}{{\tan }^2(\gamma /2)}\left[\frac{{\xi }^2-{\cos }^2(\gamma /2)+(\frac{Q\gamma }{2}{)}^2}{(\frac{Q\gamma }{2}{)}^2}\right]+(-1{)}^{k+1}+\sqrt{\dots }}$$

（注：根号下是涵盖所有 CCM 模式的完整长表达式，控制特性曲线就来源于此。）

断续导通模式（DCM）

当你把负载减轻（增大 $R$），变换器最终会进入 断续导通模式（DCM）。

根据 $k$ 的奇偶性，DCM 的行为完全不同，这可能是谐振变换器最反直觉的地方。

1. 奇数 DCM（Odd DCM, $k=1,3,5...$）

• 发生条件：$f_s<f_0/k$。
• 现象：槽路电流在半个周期内振荡 $k$ 个完整的半周期，然后所有整流二极管反向截止，电流归零并保持为零，直到下一个半周期开始。
• 输出特性：$$M=\frac{1}{k}$$注意：此时的输出电压是一个常数，与负载电流和开关频率都无关。这意味着你失去了对电压的控制。这也是为什么通常不会特意设计工作在这种模式（除非是空载保护状态）。

2. 偶数 DCM（Even DCM, $k=2,4,6...$）

• 发生条件：同样是在 $f_s<f_0/k$ 的频率范围。

• 现象：电流同样振荡 $k$ 次后归零。

• 输出特性（回旋器效应）：

  $$J=\frac{2k}{\gamma }$$

  这里的 $J$ 是常数，说明变换器表现得像一个电流源，而不是电压源。

  这里出现了一个非常酷的电路元件——回旋器。 在偶数 DCM 下，串联谐振变换器的等效电路是一个回旋器，其回旋电导为 $g=2k/\gamma n^2{R}_0$。回旋器的特性是将电压源变成电流源，将阻抗变成导纳。这不仅仅是数学游戏，有人真的利用 $k=2$ 的 DCM 模式设计出了数十千瓦级别的电流源型变换器。

完整的控制地图

把所有这些模式拼在一起，我们就得到了一份完整的“作战地图”：

• 高于谐振（$F>1$）：只有 $k=0$ CCM 存在。这是最安全的区域，输出电压随频率单调下降，且总是能实现 ZVS。
• 低于谐振（$F<1$）：情况变得混乱。
  • $k=1$ CCM 和 $k=2$ DCM 是可控的，ZCS 在这里是主角。
  • 更高阶的模式（$k=2$ CCM 等）通常被避免，因为控制特性太复杂。

如果你想写一个仿真程序来计算 SRC 的精确输出，可以用这个简单的算法：

1. 计算 $k=\text{INT}(1/F)$。
2. 计算 $k_1=\text{INT}(\frac{1}{4}+\frac{Q\pi }{2F})$。
3. 如果 $k_1>k$，工作在 Type $k$ CCM。
4. 否则，工作在 Type $k_1$ DCM。
5. 代入对应的公式算出 $M$。

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22.5.2 并联谐振变换器（PRC）

并联谐振变换器（PRC）的精确特性是 SRC 的“对偶”版本。在频率范围 $0.5f_0<f_s<\mathrm{\infty }$ 内，它有一个 CCM 和一个 DCM。

连续导通模式（CCM）

PRC 的 CCM 特性由以下方程组描述：

$$M=\frac{1}{\frac{\gamma }{2}}(\varphi -\sin (\varphi ))$$

其中 $\varphi$ 由下式解出：

$$\varphi =\{\begin{array}{ll}2\arccos (\cos (\frac{\gamma }{2})-J\sin (\frac{\gamma }{2}))-\frac{\gamma }{2}& \text{for }0<\gamma <\pi (\text{Above Resonance})\\ 2\pi -2\arccos (\cos (\frac{\gamma }{2})-J\sin (\frac{\gamma }{2}))-\frac{\gamma }{2}& \text{for }\pi <\gamma <2\pi (\text{Below Resonance})\end{array}$$

虽然看起来有点绕，但这组方程的好处是不需要迭代。给定 $\gamma$（即频率）和 $J$（即负载），你就能直接算出 $\varphi$，进而算出 $M$。

这组方程画出来的输出特性是椭圆形状的。

• 在谐振点（$F=1$）：CCM 椭圆退化成一条水平线 $J=1$。此时 PRC 表现为一个理想的电流源。
• 高于谐振：既能升压也能降压，但电流能力受限（$J<1$）。
• 低于谐振：同样能升降压，但在某些 $M$ 和 $J$ 同时很大的区域无解（即无法稳定工作）。

断续导通模式（DCM）

PRC 的 DCM 是 SRC DCM 的对偶体。 在 SRC 的 DCM 里，电感电流归零；而在 PRC 的 DCM 里，电容电压 $v_C(t)$ 会被箝位在零。

这发生在所有四个整流二极管同时导通的时候。这种情况通常发生在重载时（没错，重载会导致 DCM，这是 PRC 的一个反直觉特性）。

DCM 的发生条件是：

$$J>J_{crit}(\gamma )$$

其中临界电流 $J_{crit}$ 为：

$$J_{crit}(\gamma )=\frac{1}{4}(\frac{2}{{\sin }^2(\gamma /2)}-1)\sin (2\gamma )+\sin (\gamma )$$

在 DCM 下，我们没有显式的解析解，必须通过计算机迭代求解以下方程组（涉及角度 $\alpha ,\beta ,\delta$）：

$$M=1+\frac{2}{\gamma }(J-\delta )$$$$\cos (\alpha +\beta )-2\cos (\alpha )=-1$$$$-\sin (\alpha +\beta )+2\sin (\alpha )+(\delta -\alpha )=2J$$$$\beta +\delta =\gamma$$

这组方程在输出特性图上以虚线绘出。你会发现，在重载区域（$J$ 很大），曲线确实是垂直向下的，反映了电压被箝位在零附近的物理事实。

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总结

这一节我们扔掉了近似，直面了谐振变换器的真实面貌。

对于串联谐振变换器，我们看到了一个由模式指数 $k$ 控制的复杂世界。高于谐振时，它是单调可控的；低于谐振时，它会分裂成各种奇数和偶数的 DCM 模式，甚至在偶数模式下变成一个回旋器电流源。

对于并联谐振变换器，我们看到了它的对偶特性：谐振点是电流源，重载时电压会归零（DCM），而在大部分工作区域，它的输出特性依然是椭圆的。

这些精确方程虽然繁琐，但它们是你的底线。当正弦近似法失效时，或者当你需要计算极端条件下的边界时，这些公式能告诉你电路的真实去向。

为什么这么设计（直觉）：偶数 DCM 把串联谐振变成「回旋器电流源」这件事，听着像数学魔术，其实有个非常实用的工程落点——恒流充电。锂电池恒流快充阶段要的就是一个不随电池电压变化的稳定电流，而 $k=2$ 的 SRC 在固定频率下天然输出 $J=2k/\gamma$ 的恒流。所以当你看到某些大功率充电桩不用复杂的电流环，只靠固定频率的谐振变换器就能稳流，背后多半就是这套 $k=2$ 的把戏在撑场子。

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参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。