9.2 负反馈如何重塑系统的传递函数

上一节我们搭好了台子：反馈环路之所以存在，是为了在输入电压 vg 跳水或者负载电流 iload 突变时，依然能把输出电压 v 死死按住。

但问题是：它是怎么做到的？这背后有一套数学逻辑，而且是必须推导的——不推导这一步，后面谈补偿器设计就是在背公式。我们现在要做的，就是把上一节那个抽象的框图，变成实实在在的数学表达式。

9.2.1 系统的“传声筒”：开环传递函数

首先，我们得先搞清楚，在没有反馈这根“保险绳”的时候，系统是怎么传递信号的。

还记得第 8 章里那些让我们头秃的 Bode 图吗？其实它们就是为了推导这里的式子做铺垫的。以 Buck 变换器为例，它的交流小信号模型其实就是一个三输入一输出的线性系统。

这三个独立的输入分别是：

1. 控制输入 d̂(s)：占空比的小信号扰动。
2. 电源输入 v̂g(s)：输入电压的波动。
3. 负载输入 î_load(s)：负载电流的扰动。

输出则是 v̂(s)。根据线性系统的叠加原理，输出电压的变化就是这三路人马各自影响的线性组合：

$$\hat{v}(s)=G_{vd}(s)\hat{d}(s)+G_{vg}(s){\hat{v}}_g(s)-Z_{out}(s){\hat{i}}_{load}(s)\text{(9.1)}$$

这里的每一项都有它的物理意义，且看清楚了，它们都是我们在第 8 章磨破嘴皮子讲过的东西：

• Gvd(s)：控制-输出传递函数 这是系统最核心的肌肉。它告诉我们，当我们拨动占空比 d 的时候，输出电压 v 会怎么跟着变。这是反馈环路要控制的“把手”。

• Gvg(s)：输入-输出传递函数 这是“电源噪声”的传播通道。输入电压 vg 里的纹波和抖动，会顺着这个通道溜到输出端。我们的目标通常是把它掐死。

• Zout(s)：输出阻抗 这是“负载扰动”的通道。当负载突然抽走一大笔电流（î_load），输出电压会因为输出阻抗的存在而跌落。这个阻抗越低，负载变化对输出电压的影响就越小（就像电网电压不因为你开个空调就掉电压一样）。

在没有反馈的时候（开环状态），如果不幸遇到了最糟糕的情况——输入电压波动和负载电流变化同时发生，那输出电压的波动 v̂ 就是公式 (9.1) 直接算出来的那个值。没有任何修正，只能硬扛。

现在我们要把反馈加上去。

9.2.2 引入反馈：构建闭环模型

还记得上一节我们画的那个闭环系统框图吗？现在我们把刚才那个“三输入”的变换器模型塞进那个框图里，就得到了一张完整的闭环模型。

为了分析这个系统，我们需要把所有物理量都拆成“直流分量”+“交流小信号分量”：

$$v_{ref}(t)=V_{ref}+{\hat{v}}_{ref}(t)$$

...（以此类推）...

这里有个关键假设：对于稳压电源来说，参考电压 vref 是恒定不变的直流。这意味着 v̂ref 等于 0。如果你是在做逆变器或者音频放大器，那 vref 可能本身就在动，但那是另一回事。我们现在聚焦在稳压上。

既然 v̂ref = 0，那刚才那个模型就可以简化成一张整洁的控制框图。现在，请盯着这张简化后的框图，我们来解这道代数题。

我们要找的是输出电压 v̂。它一路往前走，经过分压网络 H(s)，遇到误差放大器 Gc(s)，再经过 PWM 调制器（除以 Vm，也就是 PWM 斜坡的幅值），最后通过控制对象 Gvd(s) 作用于输出。

但在它跑圈的同时，还有两路人马在直接搞破坏：输入电压扰动 v̂g 通过 Gvg(s) 钻进来，负载电流 î_load 通过 Zout(s) 把电压拉下来。

把框图关系写成代数方程，解出 v̂，过程虽然繁琐，但结果却惊人的优美：

$$\hat{v}={\hat{v}}_{ref}\frac{G_c{G}_{vd}/V_M}{1+H{G}_c{G}_{vd}/V_M}+{\hat{v}}_g\frac{G_{vg}}{1+H{G}_c{G}_{vd}/V_M}-{\hat{i}}_{load}\frac{Z_{out}}{1+H{G}_c{G}_{vd}/V_M}\text{(9.3)}$$

看着眼晕？别急，我们给它变个形。把分母里的那个“大家伙”单独拎出来，定义一个极其重要的量——环路增益 T(s)：

$$T(s)=\frac{H(s)G_c(s)G_{vd}(s)}{V_M}\text{(Loop Gain)}$$

把这个 T(s) 塞回去，公式 (9.3) 就变成了这种极具对称美的形式：

$$\hat{v}={\hat{v}}_{ref}\frac{1}{H}\frac{T}{1+T}+{\hat{v}}_g\frac{G_{vg}}{1+T}-{\hat{i}}_{load}\frac{Z_{out}}{1+T}\text{(9.4)}$$

这就是负反馈系统的“通用宪法”。

⚠️ 别把符号记反了：很多新手会把 1/(1+T) 误记成 1/T。它们的区别只在「T 远大于 1」的低频段才被掩盖；一旦 T 接近 1（也就是穿越频率附近），分母那个 1 就至关重要——它正是后面相位裕度、过冲、振铃全部故事的来源。换句话说，1+T 里的 1 是稳定性的「定海神针」，没有它，公式就退化成开环了。

看明白了吗？所有的干扰项（v̂g 和 î_load）屁股后面都挂了一个 1 / (1 + T) 的因子。

这就是我们加反馈的全部理由。

9.2.3 干扰的衰减：T(s) 的魔法

让我们仔细审视公式 (9.4) 的后两项。

第一项：输入电压抑制

原本，开环系统里，输入电压的噪声 v̂g 是乘着 Gvg(s) 直达输出的。但现在呢？

$$\frac{\hat{v}(s)}{{\hat{v}}_g(s)}=\frac{G_{vg}(s)}{1+T(s)}\text{(9.5)}$$

只要我们设计的环路增益 T(s) 在低频段很大（比如 1000，也就是 60dB），那么 1 + T 就差不多等于 T。这就意味着：

$$\frac{\hat{v}(s)}{{\hat{v}}_g(s)}\approx \frac{G_{vg}(s)}{T(s)}=\frac{G_{vg}(s)}{H{G}_c{G}_{vd}/V_M}$$

也就是说，输入电压对输出的影响被狠狠地压缩了 T 倍。

第二项：输出阻抗降低

同样的事情也发生在负载电流上。原本开环输出阻抗是 Zout(s)，加入反馈后：

$$\frac{\hat{v}(s)}{-{\hat{i}}_{load}(s)}=Z_{out}(s)\frac{1}{1+T(s)}\text{(9.6)}$$

这不仅是数学上的优雅，更是工程上的奇迹。反馈仿佛给变换器加上了“ steroids ”（类固醇），让它的输出阻抗变得极低，甚至接近理想电压源（零阻抗）。

回到那个直觉

还记得我在上一节用过的类比吗？

类比验证：反馈环路就像一个“全自动调光台灯”。

• 开环（Gvg）：如果你手动调节台灯亮度，房间灯光（v）会受到输入电压（vg）波动的影响，忽明忽暗。
• 闭环（1/(1+T)）：现在你给台灯加了个光传感器和控制器。只要电压一跌，传感器就发现，马上命令占空比加大把它顶回去。
• 结论：房间光线的波动不再是原来的 Gvg，而是被除以了 (1+T)。只要你的控制够快（T 够大），光线就是稳如泰山。

这就是为什么我们要死磕环路增益 T(s) 的原因——它不仅仅是个传递函数，它是我们对抗这个不完美的物理世界的武器倍率。

现在我们有了武器，但手里拿着武器的人（系统）会不会发疯（振荡）？这取决于那个神秘的 T(s) 在什么频率下变成 1，以及那时候它的相位是多少。

下一节，我们就把这个公式画到 Bode 图上，看看这个“魔法因子”究竟是怎么在频域上工作的。

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参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。