12.3 实战演练

纸上得来终觉浅。前面两节我们推导了一堆关于 $K_{gfe}$、$\mathrm{\Delta }B$ 和损耗的公式，看起来很美，但真到了设计案头，这些公式能不能落地？会不会算出一个根本绕不出来的变压器？

这一节我们把公式扔进两个真实的工程场景里：一个是经典的单输出隔离型 Ćuk 变换器，另一个是多输出的全桥 buck 变换器。

你会看到，理论计算只是 First-Pass（初稿），真正的工程判断——比如选不到合适的线径、不得不调整匝数——才决定了这个设计能不能变成实物。

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12.3.1 案例一：单输出隔离型 Ćuk 变换器

先看一个简单的单输出隔离型 Ćuk 变换器。这种拓扑的好处是输入输出电流都连续、纹波小，很适合拿来做第一个练手的变压器。我们的目标是给它设计一个两绕组的变压器，并在指定的工作点上进行优化。

设计输入清单：

• 输入电压 $V_g=25\text{ V}$
• 输出电压 $V=5\text{ V}$
• 占空比 $D=0.5$（这是我们要优化的工作点）
• 变压器匝比 $n=n_1/n_2=5$（也就是 5:1）
• 开关频率 $f_s=200\text{ kHz}$ ($T_s=5\mu \text{s}$)
• 磁芯材料：铁氧体 Pot Core（罐型磁芯）。在 200 kHz 下，其材料参数为：
  • $K_{fe}=24.7{\text{ W/T}}^{\beta }{\text{cm}}^3$
  • $\beta =2.6$
• 窗口利用系数 $K_u=0.5$（这是比较乐观的估计）
• 允许总损耗 $P_{tot}=0.25\text{ W}$
• 导线电阻率 $\rho =1.724\times {10}^{-6}\mathrm{\Omega }\text{-cm}$

这个变换器的变压器关键波形（初级电压、初/次级电流）是后面所有计算的依据——伏秒积从电压波形积分得来，RMS 电流从电流波形算来。我们先把它们的形式在脑子里固定下来，再代入数字。

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1. 计算电气参数

不管是几绕组，设计的第一步总是先把外面的电气条件算清楚。

初级伏秒积 ${\lambda }_1$ 施加在初级绕组上的伏秒积决定了磁通的变化量。对于 Ćuk 变换器，在 $D{T}_s$ 期间，初级电压为 $V_{C1}$。根据稳态关系，$V_{C1}=V_g=25\text{ V}$。

$$\begin{array}{rl}{\lambda }_1& =D{T}_s{V}_{C1}\\ & =(0.5)(5\mu \text{s})(25\text{ V})\\ & =62.5\text{ V-}\mu \text{s}\end{array}$$

这就是我们要往变压器里塞的「磁通量」。

初级 RMS 电流 $I_1$ 看初级电流 $i_1(t)$：在 $D$ 期间它流过反射到初级的负载电流（$I/n$），在 $D^{\prime }$ 期间则流过输入侧的电流。它由两部分组成——反射的负载电流（$I/n$）和励磁电流（我们假设励磁电流很小，暂时忽略）。根据这个分段形式算 RMS：

$$I_1=\sqrt{D{\left(\frac{I}{n}\right)}^2+D^{\prime }(I_g{)}^2}=4\text{ A}$$

次级 RMS 电流 $I_2$ 既然只有两个绕组，且匝比为 5:1，次级电流也就确定了：

$$I_2=n{I}_1=20\text{ A}$$

注意这个 20 A，这是一个很大的电流，后面选线的时候会让人头疼。

初级等效总 RMS 电流 $I_{tot}$ 这是用来计算总铜损的关键参数，把次级电流折算到初级，再加上初级电流：

$$\begin{array}{rl}{I}_{tot}& =I_1+\frac{1}{n}{I}_2\\ & =I_1+I_1=2I_1=8\text{ A}\end{array}$$

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2. 选磁芯

手里有了电气参数，现在去翻 Appendix B 的磁芯手册。我们需要找 $K_{gfe}$ 足够大的磁芯。

根据 12.1.5 节的公式（12.19），所需的 $K_{gfe}$ 下限为：

$$K_{gfe}\ge \frac{\rho {\lambda }_1^2{I}_{tot}^2{K}_{fe}(2/\beta )}{4K_u{P}_{tot}^{(2/\beta )+1}}\times {10}^{-8}$$

把我们的数值代进去：

$$\begin{array}{rl}{K}_{gfe}& \ge \frac{(1.724\cdot {10}^{-6})(62.5\cdot {10}^{-6}{)}^2(8{)}^2(24.7)(2/2.6)}{4(0.5)(0.25{)}^{(4.6/2.6)}{10}^8}\\ & =0.00295\end{array}$$

去查表吧。手册里列出了 2213 型号的 Pot Core，它的 $K_{gfe}=0.0049$（对应 $\beta =2.7$，很接近）。如果我们根据公式 12.16 把它修正到 $\beta =2.6$ 的条件下，$K_{gfe}$ 大约是 $0.0047$。

这是最小的标准磁芯尺寸，满足 $K_{gfe}\le 0.00295$ 的要求。选它没错了。而且因为它的 $K_{gfe}$ 比需求的大，这意味着实际损耗可能会比我们的目标值更低——好事。

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3. 计算磁通密度与匝数

磁芯定了，现在算具体的磁参数。

峰值交流磁通密度 $\mathrm{\Delta }B$ 利用公式 12.20，结合 2213 磁芯的几何参数（截面积 $A_c=0.630{\text{ cm}}^2$ 等）：

$$\mathrm{\Delta }B={\left[\frac{{10}^8\rho {\lambda }_1^2{I}_{tot}^2}{2K_u}\frac{(MLT)}{W_A{A}_c^3{l}_m}\frac{1}{\beta K_{fe}}\right]}^{(1/4.6)}$$

代入一堆数字：

$$\mathrm{\Delta }B=0.0858\text{ Tesla}$$

这个值离饱和磁通密度（约 0.35 T）还有很远，说明我们在磁芯损耗上还有很大的余量。

初级匝数 $n_1$ 根据 $\mathrm{\Delta }B$ 反推匝数（公式 12.21）：

$$\begin{array}{rl}{n}_1& =\frac{{10}^4{\lambda }_1}{2\mathrm{\Delta }B{A}_c}\\ & =\frac{{10}^4(62.5\cdot {10}^{-6})}{2(0.0858)(0.635)}\\ & =5.74\text{ turns}\end{array}$$

次级匝数 $n_2$ 根据匝比 $n=5$：

$$n_2=\frac{n_1}{n}=1.15\text{ turns}$$

⚠️ 工程干预点 算出来是 5.74 匝和 1.15 匝。你总不能绕 0.15 匝吧？ 在工程上，我们会取整：$n_1=5,n_2=1$。 这意味着实际的 $\mathrm{\Delta }B$ 会比计算值稍高一点（因为匝数少了），损耗也会稍高一点，但在接受范围内。

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4. 选导线——这里开始有坑了

匝数定了，最后一步是看看这根线能不能塞进窗口里。

窗口分配比例 $\alpha$ 根据公式 12.23，窗口面积要按电流比例分配。因为这里初级和次级的安匝数刚好相等（$I_1=4\text{ A},n_1{I}_1=20$; $I_2=20\text{ A},n_2{I}_2=20$），所以窗口平分：

$${\alpha }_1=0.5,{\alpha }_2=0.5$$

导线截面积 $A_w$ 根据公式 12.24 计算：

$$\begin{array}{rl}{A}_{w1}& =\frac{{\alpha }_1{K}_u{W}_A}{n_1}=\frac{(0.5)(0.5)(0.297)}{5}\\ & =14.8\times {10}^{-3}{\text{ cm}}^2\\ A_{w2}& =\frac{{\alpha }_2{K}_u{W}_A}{n_2}=\frac{(0.5)(0.5)(0.297)}{1}\\ & =74.2\times {10}^{-3}{\text{ cm}}^2\end{array}$$

查线规表 翻 Appendix B 的线规表：

• 初级：AWG #16 的截面积是 $13.07\times {10}^{-3}{\text{ cm}}^2$，接近 $14.8$，选它。
• 次级：AWG #9 的截面积是 $66.3\times {10}^{-3}{\text{ cm}}^2$，接近 $74.2$，选它。

⚠️ 现实打击 AWG #9 这是什么概念？这是一根非常粗的硬线。 要在罐型磁芯那个小小的窗口里，塞进去 5 匝细线和 1 匝这么粗的线，这不仅仅是手巧的问题，这是几何问题。

更何况，在 200 kHz 下，这么粗的单股导线会有严重的邻近效应损耗——电流全挤在表面了，中间全是废铜。还有这么粗的线带来的漏感问题。

实战修正 在实际工程中，这里没人会用单股 AWG #9。

• 方案 A：用铜箔绕制，而且要用交错绕法来降低邻近效应和漏感。
• 方案 B：用多股利兹线并联，把那一根粗线拆成几十根细线绞在一起。

这再次印证了我们之前说的：理论计算只是 First-Pass，真正的材料选择需要工程直觉来修正。

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5. 频率与尺寸的博弈

既然这个案例用的是 Ćuk 变换器，我们不妨做一个思想实验：如果改变开关频率，磁芯尺寸会怎么变？

答案有点反直觉，先剧透结论——存在一个「甜点频率」，低于它，提频让磁芯变小；高于它，提频反而让磁芯变大。下面把这两段拆开看。

• 频率 < 250 kHz：提高频率，磁芯变小。 这很好理解：频率高了，周期 $T_s$ 短了，伏秒积 ${\lambda }_1$ 就小了，需要的磁通就少了，磁芯自然可以缩小。在这个区间，最佳 $\mathrm{\Delta }B$ 基本保持不变。

• 频率 > 250 kHz：提高频率，磁芯反而变大。 这就反直觉了。为什么？因为磁芯损耗系数 $K_{fe}$ 随频率飙升。为了把总损耗压在 $0.25\text{ W}$ 以内，不得不强行降低 $\mathrm{\Delta }B$，结果就是需要更多匝数或者更大磁芯来降低磁通密度。

对于这个案例，250 kHz 是个甜点，对应的磁芯尺寸最小。

💡 为什么这个甜点不能照搬：250 kHz 是这一个具体案例（特定的 $V_g$、匝比、$K_{fe}$、损耗预算）算出来的甜点，换个工况它就漂走了。工业电源里常见的 65 kHz~100 kHz 并不是「不懂优化」，而是综合了 EMI 滤波成本、MOSFET 开关损耗、控制 IC 可用性之后的工程甜点——纯磁芯意义上的最优频率，往往因为别处的代价被否掉。

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12.3.2 案例二：多输出全桥 Buck 变换器

现在我们把难度升级：多输出、全桥、大功率。这更接近真实的工业电源产品。

我们要设计的，是一个全桥隔离 buck 变换器里的变压器 T1，它有两路输出：5 V 和 15 V。

设计输入清单：

• 输入电压 $V_g=160\text{ V}$
• 输出电压/电流：
  • $5\text{ V}$ @ $100\text{ A}$（这是个大功率低压输出）
  • $15\text{ V}$ @ $15\text{ A}$
• 占空比 $D=0.75$
• 匝比 $n_1:n_2:n_3=11:0.5:1.5$（为了配合二极管压降，实际比例是 110:5:15）
• 开关频率 $f_s=150\text{ kHz}$
  • 注意：全桥结构下，变压器的工作频率是开关频率的一半，即 $f=75\text{ kHz}$。
• 磁芯材料：Magnetics Inc. P 材料铁氧体 EE 型磁芯。在 75 kHz 下：
  • $K_{fe}=7.6{\text{ W/T}}^{\beta }{\text{cm}}^3$
  • $\beta =2.6$
• 窗口利用系数 $K_u=0.25$（多输出绕线结构复杂，窗口利用率低，这个估计很保守）
• 允许总损耗 $P_{tot}=4\text{ W}$（这只是负载功率的 0.5%，相当严格的效率要求）

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1. 计算电气参数

初级伏秒积 ${\lambda }_1$ 全桥在 $D{T}_s$ 期间施加 $V_g$。

$$\begin{array}{rl}{\lambda }_1& =D{T}_s{V}_g\\ & =(0.75)(6.67\mu \text{s})(160\text{ V})\\ & =800\text{ V-}\mu \text{s}\end{array}$$

初级 RMS 电流 $I_1$ 初级电流是两个次级电流反射回来的叠加。在全桥结构里，初级只在 $D$ 期间承载负载电流、$D^{\prime }$ 期间接近零（按这里的简化模型）：

$$I_1=\sqrt{D{(\frac{n_2}{n_1}{I}_{5V}+\frac{n_3}{n_1}{I}_{15V})}^2+D^{\prime }(0{)}^2}=5.7\text{ A}$$

（这里假设全桥原边电流在关断期间为 0，实际上是续流或环流，视拓扑而定，这里按简化模型处理）

次级 RMS 电流 次级是中心抽头结构（从波形图可以看出），电流在两个半周内分别流过半个绕组。计算 RMS 时要小心：

• 5 V 绕组 ($I_2$)：中心抽头，每个半绕组流过 $I_{5V}$，占空比 $D$。

$$I_2=\frac{I_{5V}\sqrt{1+D}}{\sqrt{2}}=\frac{100\sqrt{1.75}}{1.414}=66.1\text{ A}$$

• 15 V 绕组 ($I_3$)：

$$I_3=\frac{I_{15V}\sqrt{1+D}}{\sqrt{2}}=\frac{15\sqrt{1.75}}{1.414}=9.9\text{ A}$$

初级等效总 RMS 电流 $I_{tot}$ 把所有绕组电流折算到初级。注意每个次级都有两个半绕组，所以是 $2I_2$ 和 $2I_3$。

$$\begin{array}{rl}{I}_{tot}& =I_1+\frac{n_2}{n_1}(2I_2)+\frac{n_3}{n_1}(2I_3)\\ & =5.7+0.045(2\cdot 66.1)+0.136(2\cdot 9.9)\\ & \approx 14.4\text{ A}\end{array}$$

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2. 选磁芯

依然是算 $K_{gfe}$。代入那些可怕的数字：

$$K_{gfe}\ge \frac{(1.724\cdot {10}^{-6})(800\cdot {10}^{-6}{)}^2(14.4{)}^2(7.6)(2/2.6)}{4(0.25)(4{)}^{(4.6/2.6)}{10}^8}=0.00937$$

查 EE 型磁芯表，EE40 的 $K_{gfe}=0.0118$（$\beta =2.7$ 时）。修正后约为 0.0108。 这是最接近且满足要求的标准尺寸。

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3. 计算磁通密度与匝数

峰值交流磁通密度 $\mathrm{\Delta }B$ 利用 EE40 的几何参数（$A_c=1.27{\text{ cm}}^2$）：

$$\mathrm{\Delta }B={\left[\frac{{10}^8\rho {\lambda }_1^2{I}_{tot}^2(MLT)}{2K_u{W}_A{A}_c^3{l}_m}\frac{1}{\beta K_{fe}}\right]}^{(1/4.6)}=0.23\text{ Tesla}$$

离饱和还有一段距离，但在高频下这个 $\mathrm{\Delta }B$ 已经不低了。

匝数计算初级 $n_1$：

$$n_1=\frac{{10}^4(800\cdot {10}^{-6})}{2(0.23)(1.27)}=13.7\text{ turns}$$

次级 $n_2,n_3$： 根据匝比 110:5:15：

$$n_2=\frac{5}{110}{n}_1=0.62\text{ turns}$$$$n_3=\frac{15}{110}{n}_1=1.87\text{ turns}$$

⚠️ 再次面对现实 又是 0.62 匝和 1.87 匝。 如果我们硬凑成整数（比如 $n_1=11,n_2=0.5$ 即中心抽头，$n_3=1.5$），那就偏离最佳磁通密度太远了。

通常的做法是把匝数翻倍，取 $n_1=22,n_2=1,n_3=3$。 这会带来什么后果？匝数翻倍，意味着在同样的伏秒积下，$\mathrm{\Delta }B$ 减半。

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4. 损耗核算——代价是什么？

让我们看看选了 $n_1=22$ 之后，损耗到底变成了多少。

新的 $\mathrm{\Delta }B$：

$$\mathrm{\Delta }{B}_{new}=\frac{800\cdot {10}^{-6}}{2(22)(1.27)}{10}^4=0.143\text{ Tesla}$$

这比我们的最佳值 0.23 T 低了不少。这会打破铜损和铁损的平衡。

磁芯损耗 $P_{fe}$（公式 12.1）： $\mathrm{\Delta }B$ 降低了，铁损当然降低。

$$\begin{array}{rl}{P}_{fe}& =K_{fe}{\mathrm{\Delta }}_B^{\beta }(A_c{l}_m)\\ & =(7.6)(0.143{)}^{2.6}(1.27)(7.7)\\ & =0.47\text{ W}\end{array}$$

很低，非常漂亮。但这只是故事的一半。

铜损 $P_{cu}$（公式 12.7）： 匝数增加了，铜线变长了，而且为了保持同样的电流容量，我们可能还是用了那么粗的线（或者因为窗口有限，不得不减细线径）。更致命的是，因为我们强行改变了 $\mathrm{\Delta }B$，这不再是最佳设计点，铜损会飙升。

$$\begin{array}{rl}{P}_{cu}& =\frac{\rho {\lambda }_1^2{I}_{tot}^2}{4K_u}\frac{(MLT)}{W_A{A}_c^2}\frac{1}{{\mathrm{\Delta }}_B^2}{10}^8\\ & =5.4\text{ W}\end{array}$$

总损耗 $P_{tot}$：

$$P_{tot}=0.47+5.4=5.9\text{ W}$$

这远远超过了我们的设计目标 4 W。 这就是整数匝数带来的代价：为了迁就工艺（只能绕整数匝），我们牺牲了效率，导致铜损暴增。

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5. 设计迭代——那就换更大的磁芯

既然 EE40 搞不定，而且是因为不得不增加匝数导致窗口塞不下那么粗的线（从而电阻大、损耗高），那唯一的出路就是：换更大的磁芯。

下一个标准尺寸是 EE50。 它的 $K_{gfe}=0.0284$，比 EE40 大得多。这意味着它有更大的窗口或者更长的磁路，可以容纳更多的铜线，从而降低铜损。

如果我们用 EE50，在这个应用下重新计算最佳 $\mathrm{\Delta }B$，会发现它接近 0.14 T。这刚好和我们为了绕整数匝而被迫采用的 $\mathrm{\Delta }{B}_{new}$ 吻合！

结论： 虽然理论上 EE40 能从电气性能上满足要求，但考虑到「只能绕整数匝」这个物理限制，我们实际上被迫升级到 EE50，才能在满足匝数约束的同时，把总损耗控制在 4 W 以内。

这就是工程设计：你不能只看电气参数，还得看你能买到什么磁芯，以及你的绕线机能不能绕出来。

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参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。