第 3 章抽象的代价

——稳态等效电路模型、损耗与效率

有一类问题，表面上看是工程问题，实际上是认知问题。我们在这一章要处理的，正是这样一个问题。

在前两章里，我们一直在和「时域波形」搏斗。开关管的每一次通断，电感电流的每一次纹波起伏，都被我们精确地画在图上。这种办法很直观，但在面对复杂的系统时——比如一个变换器后面接着另一个变换器，或者中间夹杂着复杂的滤波网络——这种直觉就变成了负担。

我们需要一种更高级的抽象。

本章的任务，就是把你从具体的开关动作里拉出来，扔到一个更高维度的视角里去。我们将建立一个「稳态等效电路模型」——在这个模型里，开关纹波消失了，PWM 的细节被抹平了，变换器退化成一个看似简单却极其有力的黑盒。

这不仅仅是偷懒。这是为了让系统级的分析成为可能。

但在此之前，我们需要解决一个根本性的问题：在这个抽象的世界里，变换器到底长什么样？这就是本章的第一站。

3.1 DC 变压器模型

让我们先退一步，看看问题的本质。

任何开关变换器，本质上都是一个「三口怪兽」：

输入口：吃进直流功率 $P_{i n}$
输出口：吐出直流功率 $P_{o u t}$
控制口：通过占空比 $D$ 来指挥怎么吃、怎么吐

作为工程师，我们都有追求完美的职业病。如果这个世界没有损耗，那么这三者的关系应该极其简单：

P_{i n} = P_{o u t}

或者写成电压电流的形式：

V_{g} I_{g} = V I (3.2)

这里有一个陷阱。 这两个方程只有在「稳态」下才成立。所谓稳态，就是电感里的平均能量不变，电容两端的平均电压也不变。在瞬态（比如上电的一瞬间，或者负载突变的一瞬间），电感和电容会吞吐能量，这时候 $P_{i n}$ 并不等于 $P_{o u t}$ 。我们现在的模型，只处理稳态。

3.1.1 电压与电流的比例关系

上一章我们其实已经埋下了伏笔。你会发现，对于所有我们讨论过的 PWM 变换器（Buck, Boost 等），只要它们工作在连续导通模式（CCM），输出电压 $V$ 和输入电压 $V_{g}$ 之间总有一个固定的比例关系：

V = M (D) V_{g} (3.3)

这里的 $M (D)$ 叫做 均衡转换比。

对于 Buck，它就是 $D$ 。
对于 Boost，它是 $1 / (1 - D)$ 。

这个公式很有意思。它告诉我们，在理想世界里，转换比只和控制信号 $D$ 有关，和负载电阻 $R$ 毫无关系。这是 PWM 变换器的一个核心特征。

现在，把式 (3.3) 代回功率平衡方程 (3.2) 里。你会发现电流也被同样的比例锁死了：

V_{g} (M (D) I) = (M (D) V_{g}) I

消掉两边的 $V_{g}$ 和 $M (D)$ ，我们得到：

I_{g} = M (D) I (3.4)

所以，输入电流和输出电流也维持着同样的比例。

3.1.2 从受控源到理想变压器

怎么用电路语言描述这件事？最直接的想法是受控源。在输入侧放一个受控电压源，输出电压受 $V_{g}$ 控制；在输出侧放一个受控电流源，输入电流受输出电流 $I$ 控制。

但这不够优雅。受控源虽然精确，但它没有物理直觉——它太像数学题，不像电路元件。

让我们换个角度。还记得大学电路课里那个完美的、不存在的元件吗？ 理想变压器。

理想变压器的特性是什么？

功率守恒： $P_{i n} = P_{o u t}$ 。
电压比等于匝数比 $n$ 。
电流比等于匝数比的倒数 $1 / n$ 。

现在把我们的式子 (3.3) 和 (3.4) 拿出来对比一下。你会发现它们完美同构，只要把理想变压器的匝数比 $n$ 换成 $M (D)$ 就行了。

这就是 DC 变压器模型 的由来。

这个模型的符号画起来很省事：就是一个变压器框，中间那根横杠表示它是理想的（没有损耗，没有漏感），且能够传递直流分量。它代表了任何 DC-DC 变换器的一阶直流特性：改变电压电流等级，100% 效率，受 $D$ 控制。

但这事听起来很怪。 如果你是搞硬件的，警报可能已经在脑子里响了：「变压器不能通直流！」。没错，物理世界里的磁性变压器确实会被直流饱和并烧毁。但这正是我们为什么要构建 DC-DC 变换器的原因——因为我们没有物理 DC 变压器，所以才要用半导体和电感去模拟一个。我们在做的是数学建模，不是物理实现。在这个抽象的模型里，我们可以自由地定义这个理想元件。

3.1.3 用这个模型能干什么？

有了这个模型，开关变换器就不再是那个嗡嗡作响的复杂电路了，它退化成了一个简单的双口网络。最妙的是，它是时不变的。只要 $D$ 固定，它就是一个黑盒。没有开关，没有纹波，只有直流量。这意味着我们可以用大一学的电路分析课里的所有招数来对付它。

让我们看个实战例子。假设你有一个带内阻的电源 $V_{1}$ 和 $R_{1}$ ，给一个变换器供电，变换器后面接了一个电阻负载 $R$ ，你想求输出电压 $V$ 。

如果是按以前的办法，你要画电感电流波形，算伏秒平衡……现在不用了。

把变换器换成 DC 变压器模型（变比 $M (D)$ ）。
利用变压器的折算规则，把输入端的 $V_{1}$ 和 $R_{1}$ 都「折」到输出端去。电压乘以 $M (D)$ ，电阻乘以 $M^{2} (D)$ 。

折完之后，问题就退化成下面这张最简单的单回路电阻网络：

text

        M(D)*V1            M^2(D)*R1            R
   +----( V )----+--------[ R1_eq ]--------+---[ R ]---+
   |             |                         |          |
  (折算源)                              (负载, V 在此)

直接用分压公式：

V = \frac{R}{R + M^{2} (D) R_{1}} \cdot M (D) V_{1} (3.5)

看出来了吗？分母上的 $M^{2} (D) R_{1}$ 实际上就是输入端内阻在输出端看到的「等效电阻」。这种视角的转换，对于分析级联变换器、输入输出阻抗匹配等系统级问题，简直是降维打击。

踩坑提醒：折算电阻时别忘了那个平方。新手最容易把 $M^{2} (D) R_{1}$ 写成 $M (D) R_{1}$ ——电压源是「乘一次」，电阻是「乘两次」。直觉上也好记：功率 $P = V^{2} / R$ 里电压平方对应到电阻就是平方关系。一旦折错，分压比就全乱套了。

这一节我们构建了 DC-DC 变换器最底层的骨架。但在这个骨架里，我们假设了它是 100% 效率的。机器当然不可能 100% 效率。热量去哪了？下一节，我们要把损耗找回来。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

第 3 章 抽象的代价 ​

——稳态等效电路模型、损耗与效率 ​

3.1 DC 变压器模型 ​

3.1.1 电压与电流的比例关系 ​