EET 实战演练 | 硬件学习笔记

好的，我们接着上一节的话题往下走。

上一节我们搞定了 EET 的基本框架，手里有了 $Z_{D}$ 和 $Z_{N}$ 这把尺子，也知道了怎么用量级关系（阻抗不等式）去定性判断影响大小。但光说不练假把式，当你面对一张真实的、乱七八糟的电路图时，怎么把这套理论「嵌入」进去？

这一节，我们就要干三件事：

用最简单的电路，演示一遍「肉眼」推导传递函数的流程——你会看到 EET 是如何把代数噩梦变成直观观察的。
处理一个「寄生参数」的典型场景：电容 ESR。这东西在理想模型里通常是被忽略的，但现实中它往往是麻烦的制造者。
最后，我们来一次硬仗：SEPIC 变换器。这是一个四阶系统，直接推导极其痛苦，但用 EET 拆解后，你会看清它复杂响应背后的简单骨架。

16.2 EET 实战演练

16.2.1 简单传递函数的肉眼推导

来看这样一个 RC 网络变种。我们的目标是求出传递函数 $G (s) = v_{2} (s) / v_{1} (s)$ ，并且要求是写成那种标准的、因式分解的「极点-零点」形式。

如果用传统方法，列节点方程、解行列式，这当然能算出来，但这不仅容易出错，而且算完你也看不出来这个函数的物理意义在哪里。

我们要换个思路。请把电容 $C$ 想象成一个后来被插进电路的「额外元件」。

这里有个反直觉的操作： 为了用 EET，我们需要定义一个「原始状态」。在这个例子里，最聪明的做法是把「电容开路」定义为原始状态。为什么？因为当 $C$ 开路时，电路瞬间退化成一个纯电阻网络。

所以，我们的策略是：

先算 $C$ 开路时的原始传递函数 $G_{b a s e}$ 。
算从 $C$ 往里看进去的戴维南阻抗 $Z_{D}$ 。
算双注入阻抗 $Z_{N}$ 。
把它们套进 EET 公式。

自编数值约定：为了让推导有抓手，我们给这个网络起几个名字——从输入 $v_{1}$ 一路串到输出，依次是 $R_{1}$ 、 $R_{3}$ 、 $R_{4}$ （ $v_{2}$ 取自 $R_{4}$ 上）；电容 $C$ 则从某个中间节点经 $R_{2}$ 拉到地。你不用记死，关键是后面每一步都在这个「四电阻一电容」的骨架上演化。

第一步：原始状态

当 $C$ 开路时，电路就是一个简单的电阻分压器。 $v_{2}$ 就是 $v_{1}$ 在 $R_{4}$ 上的分压。

G_{b a s e} = \frac{R_{4}}{R_{1} + R_{3} + R_{4}}

这一步应该是秒出的。

第二步：求 $Z_{D}$

$Z_{D}$ 是什么？是把独立源 $v_{1}$ 置零（短路），然后把电容拔掉，从那个端口往里看的阻抗。

从端口往左看，是 $R_{2}$ 串联 $(R_{1} | | (R_{3} + R_{4}))$ 。注意这里 $R_{3}$ 和 $R_{4}$ 是串联的，因为输出端 $v_{2}$ 是悬空的（测阻抗时输出不加负载，或者说 $Z_{D}$ 定义里就不包含负载效应，除非负载包含在电路内）。

所以：

Z_{D} = R_{2} + R_{1} | | (R_{3} + R_{4})

第三步：求 $Z_{N}$

这是最容易晕的一步。我们在 $C$ 的位置注入一个电流源 $i (s)$ 。现在不仅输入 $v_{1}$ 存在，我们还要调节 $i (s)$ 的大小，强行让输出 $v_{2}$ 归零（Null）。

在 $v_{2}$ 被强制为 0 的前提下，端口电压 $v (s)$ 除以注入电流 $i (s)$ 就是 $Z_{N}$ 。

让我们顺着信号流走一遍：

因为 $v_{2} = 0$ ，电阻 $R_{4}$ 上没有电流。
因为 $R_{4}$ 没电流，串联的 $R_{3}$ 也没电流，所以 $R_{3}$ 上的压降也是 0。
这意味着 $R_{3}$ 和 $R_{4}$ 连接的那个节点（图中的 $v_{3}$ ）电位也是 0，和地一样。

既然 $v_{3}$ 是地电位，那么从端口注入进来的电流 $i (s)$ 只能往哪儿流？只能流过 $R_{2}$ 回去（流向 $v_{1}$ 源的地）。所以端口的电压 $v (s)$ 就是 $i (s) \cdot R_{2}$ 。

这一步非常关键：在双注入条件下，电路的拓扑结构往往会发生本质的简化。

所以：

Z_{N} = \frac{v (s)}{i (s)} |_{v_{2} \to 0} = R_{2}

你会发现 $Z_{N}$ 甚至比 $Z_{D}$ 还要简单。

第四步：组装

现在把 $Z_{D}$ 、 $Z_{N}$ 和电容阻抗 $Z = 1 / s C$ 塞进 EET 的标准公式：

G (s) = G_{b a s e} \cdot \frac{1 + \frac{Z}{Z_{N}}}{1 + \frac{Z}{Z_{D}}}

代入刚才的结果：

G (s) = (\frac{R_{4}}{R_{1} + R_{3} + R_{4}}) \cdot \frac{1 + \frac{1 / s C}{R_{2}}}{1 + \frac{1 / s C}{R_{2} + R_{1} | | (R_{3} + R_{4})}}

整理一下系数，把 $s C$ 往上挪：

G (s) = (\frac{R_{4}}{R_{1} + R_{3} + R_{4}}) \cdot \frac{1 + s C R_{2}}{1 + s C [R_{2} + R_{1} | | (R_{3} + R_{4})]}

完成了。看一眼这个结果：分子是一个零点，分母是一个极点。这不是算出来的，这几乎是看出来的。

16.2.2 一个「未被建模」的元件：电容 ESR

接下来这个例子，更贴近工程实际。

想象一个标准的二阶 RLC 低通滤波器：电感 $L$ 串在输入和输出之间，电容 $C$ 从输出端接到地，负载电阻 $R$ 并在 $C$ 两端。在教科书里，我们经常把电容当成理想的。但在这个世界上，没有什么是免费的——电容也有电阻，也就是 ESR（ $R_{e s r}$ ）。

假设我们在第一版设计里忽略了这个 $R_{e s r}$ ，算出了理想的传递函数 $G (s)$ 。现在老板或者客户说：「把 ESR 的影响加进去看看」。

怎么办？重写一遍节点方程？别傻了。这正好是 EET 的拿手好戏。把 $R_{e s r}$ 当作那个「额外元件」。

第一步：基准模型

我们把 $R_{e s r} \to 0$ （短路）的状态当作基准模型。这就是那个经典的理想 RLC 滤波器：

G_{b a s e} (s) = \frac{1}{1 + \frac{s L}{R} + s^{2} L C}

第二步：应用 EET

现在我们要把 $R_{e s r}$ 加回去。把 $R_{e s r}$ 所在的位置看作一个端口。

此时， $Z = R_{e s r}$ 。根据 EET：

G (s) = G_{b a s e} (s) \cdot \frac{1 + \frac{R_{e s r}}{Z_{N}}}{1 + \frac{R_{e s r}}{Z_{D}}}

现在的问题变成了：在这个 RLC 电路的端口里， $Z_{D}$ 和 $Z_{N}$ 是什么？

第三步：求 $Z_{D}$

输入短路（ $v_{1} = 0$ ）。从端口往里看是什么？是电感 $L$ 和负载电阻 $R$ 并联，然后再和电容 $C$ 串联。写成公式：

Z_{D} = \frac{1}{s C} + (s L | | R) = \frac{1}{s C} + \frac{s L \cdot R}{R + s L} = \frac{1 + \frac{s L}{R}}{s C (1 + \frac{s L}{R} + \frac{s^{2} L C}{R})} \dots 通分后的形式

或者保持简单的阻抗和形式：

Z_{D} = \frac{1}{s C} | | (R + s L) (注意这里是容抗与感性支路串联后的并联)

原文给出的推导结果是：

Z_{D} (s) = \frac{1 + \frac{s L}{R}}{s C (1 + \frac{s L}{R} + s^{2} L C)}

第四步：求 $Z_{N}$

这步有点意思。我们注入电流 $i$ ，调整它使得输出 $v_{2} = 0$ 。如果 $v_{2} = 0$ ，意味着 $R$ 两端没电压，也没电流。电感 $L$ 也相当于悬空（因为和 $R$ 串联）。那么注入的电流 $i$ 全部流过了电容 $C$ 。所以端口的电压 $v$ 就完全取决于电容的压降： $v = i \cdot \frac{1}{s C}$ 。

所以：

Z_{N} = \frac{v}{i} |_{n u l l} = \frac{1}{s C}

第五步：洞察结果

把 $Z_{D}$ 和 $Z_{N}$ 带回去，结果变成这样：

G (s) = G_{b a s e} (s) \cdot \frac{1 + s C R_{e s r}}{1 + R_{e s r} / Z_{D} (s)}

看分子项 $(1 + s C R_{e s r})$ 。这告诉我们什么？ESR 在传递函数里引入了一个左半平面零点，频率 $ω_{z} = 1 / (R_{e s r} C)$ 。这是一个非常著名的结论：电容的 ESR 会产生一个零点，这个零点会提升高频段的增益（有时候是好事，有时候是坏事）。

再看看分母项。如果 $R_{e s r}$ 很小（理想情况），分母那一坨东西就近似于 1，不影响极点。但如果 $R_{e s r}$ 大到一定程度，它就开始啃食分母了，改变系统的 $Q$ 值和极点频率。

让我们看个具体的数字例子： $L = 100 μ H, C = 1 μ F, R = 100 Ω$ 。谐振频率大概在 16kHz 左右。在这个频率点，电感的感抗 $ω L$ 大概是 $10 Ω$ 。那么 $Z_{D}$ 在谐振点的值是多少呢？实际上就是特征阻抗 $R_{0} = \sqrt{L / C} = 10 Ω$ 左右。

如果我们的 $R_{e s r}$ 只有 $0.1 Ω$ ，那 $R_{e s r} ≪ Z_{D}$ ，分母项 $1 + R_{e s r} / Z_{D} \approx 1$ ，EET 修正项几乎不起作用——这就是为什么我们经常忽略小 ESR。但如果 $R_{e s r}$ 是 $2 Ω$ 呢？在谐振点，分母项会变成 $1 + 2 / 10 = 1.2$ 。这意味着系统的 $Q$ 值会从原本的 10 降低到 $10 / 1.2 = 8.3$ 。 ESR 在这里充当了一个天然的「阻尼电阻」。如果你发现你的 LC 滤波器振铃太强，有时候换一个大 ESR 的电容（或者额外串个电阻）反而能解决问题——这就是 EET 给你的直觉。

16.2.3 SEPIC 变换器：硬骨头

好，热身结束。现在上主菜。

SEPIC（Single-Ended Primary Inductance Converter）是个什么玩意？它是拓扑结构里的怪胎。优点很多（输入输出同相、能升能降、隔离），但它的小信号模型是噩梦般的四阶系统。

它的平均开关模型里，输入电感、输出电感、一个耦合电容 $C_{1}$ 、输出电容、还有一个等效直流变压器，全搅在一块儿。如果你直接对这套平均模型列方程写传递函数，你会得到一个满是 $s$ 的四次多项式。解完之后，你面对着一堆系数，完全不知道哪个极点对应哪个元件，更别提怎么补偿了。

但是，如果你带着 EET 的眼镜看这套模型，你会发现一个有趣的事实： 所有的麻烦，几乎都来自那个耦合电容 $C_{1}$ 。

如果没有 $C_{1}$ ，输入和输出就被那个直流变压器隔离开了，电路瞬间变成一个我们很熟悉的 Buck-Boost 变换器。

所以，我们的战略方针是：

先把 $C_{1}$ 移除（开路），得到一个简化的「有效 Buck-Boost」模型。这一步算出来的传递函数我们记为 $G_{v d - b b}$ 。
再把 $C_{1}$ 加回去，利用 EET 把它当作额外元件，计算修正因子。

这比硬解四次方程要优雅得多。

基准模型：有效 Buck-Boost

当 $C_{1} \to \infty$ （也就是 $Z \to 0$ ，短路，或者说交流接地时），或者我们在推导基准时假设 $C_{1}$ 开路（ $Z \to \infty$ ），这需要注意一下。根据 EET 的定义，我们需要选择一个「额外元件」被移除的状态。在这里，我们选择 $C_{1}$ 开路（即 $Z \to \infty$ ）作为原始状态。

在这个状态下，SEPIC 退化成了一个标准的 Buck-Boost。它的控制到输出传递函数 $G_{v d - b b} (s)$ 长这样（我们在第 7 章应该见过）：

G_{v d - b b} (s) = G_{d 0} \frac{1 - \frac{s}{ω_{z}}}{1 + \frac{s}{Q_{0} ω_{0}} + {(\frac{s}{ω_{0}})}^{2}}

这里有个关键点：分母是二阶的（有两个极点），分子里有一个右半平面零点（RHP Zero）。这是 Buck-Boost 的标配。

现在，我们要把 $C_{1}$ 加回去。根据 EET：

G_{v d} (s) = G_{v d - b b} (s) \cdot \frac{1 + \frac{Z}{Z_{N}}}{1 + \frac{Z}{Z_{D}}}

其中 $Z = 1 / s C_{1}$ 。

现在的挑战是求 $Z_{N}$ 和 $Z_{D}$ 。这比前面的 RC 电路要复杂一点，因为里面有变压器和受控源。

求解 $Z_{N}$ （双注入）

我们在 $C_{1}$ 的位置注入电流 ${\hat{i}}_{t e s t}$ ，同时调节它，强行让输出 $\hat{v} = 0$ 。此时，输入扰动 ${\hat{v}}_{g}$ 设为 0，只保留 $\hat{d}$ 的扰动。

这一步的推导过程有点绕，我们跟着电流走：

既然 $\hat{v} = 0$ ，负载电阻 $R$ 和 $C_{2}$ 上都没电流。
那么变压器次级的电流就完全取决于受控源 $D \hat{i} / D^{'}$ 。
注入的电流 ${\hat{i}}_{t e s t}$ 只能流向 $L_{2}$ 。
$L_{2}$ 上的压降是 $s L_{2} {\hat{i}}_{t e s t}$ 。这个电压也出现在变压器次级。
通过变压器变比，可以推算出初级电压，进而算出 $L_{1}$ 上的电压。

经过一番代数操作（原文 Eq 16.50-16.52），我们得到了 $Z_{N}$ 的表达式：

Z_{N} (s) = s (L_{1} + L_{2}) \frac{1 - \frac{s}{ω_{z N}}}{1 - \frac{s}{ω_{z}}}

注意这个形式。它也是感性的（低频是 $s (L_{1} + L_{2})$ ）。 重点来了：它里面有 RHP 零点和 RHP 极点！这是双注入阻抗的一个特性： $Z_{N}$ 不是无源阻抗，它可以是负的，甚至包含右半平面的奇点。这意味着那个修正因子 $(1 + Z / Z_{N})$ 会引入新的振荡模式，而且这些模式是不稳定的（右半平面）。

求解 $Z_{D}$ （驱动点阻抗）

$Z_{D}$ 是把所有独立源（ ${\hat{v}}_{g}$ 和 $\hat{d}$ ）都置零后，从 $C_{1}$ 往里看的阻抗。这步比求 $Z_{N}$ 简单点，因为不需要满足零输出条件。但这还是个三阶网络（ $L_{1}, L_{2}, C_{2}$ ）。经过推导（Eq 16.55）， $Z_{D}$ 也是一个类似的形式：

Z_{D} (s) = s (L_{1} + L_{2}) \frac{\dots}{\dots}

低频看也是感性的， $s (L_{1} + L_{2})$ 。有趣的是， $Z_{D}$ 的分母多项式和基准传递函数 $G_{v d - b b}$ 的分母是一模一样的。这说明 $Z_{D}$ 里也包含了那个原本的 LC 谐振极点。

组合起来看大局

现在把 $Z = 1 / s C_{1}$ ， $Z_{N}$ ， $Z_{D}$ 放在一起看波特图。

你会发现，在中间频段（比如 3kHz - 4kHz），电容 $C_{1}$ 的阻抗 $Z$ 和 $Z_{N}$ 、 $Z_{D}$ 的大小差不多，但相位差 180 度。为什么？因为 $Z$ 是容性的（-90度），而 $Z_{N}, Z_{D}$ 是感性的（+90度）。这就意味着在修正因子 $(1 + Z / Z_{N})$ 和 $(1 + Z / Z_{D})$ 中，分子分母都会出现大幅度的波动（就是上一节说过的那组「等高线」里最尖锐的尖峰）。

结果就是：SEPIC 的传递函数 $G_{v d}$ 实际上是在 Buck-Boost 的二阶基础上，又叠加了二阶振荡（修正因子带来的极点和零点）。总共：四阶系统，三个右半平面零点。这也就是为什么裸 SEPIC 非常难补偿，相位滞后高达 -600度甚至更多。

16.2.4 阻尼 SEPIC 的内部谐振

既然问题的根源在于那个修正因子的高 Q 值振荡，那我们能不能把它干掉？

当然可以。还记得我们在 RLC 滤波器里怎么减小 Q 值的吗？加电阻。在这里，我们不能直接把电阻串在 $C_{1}$ 上，那样会损耗直流功率（ $C_{1}$ 要流过直流电流的）。但是，我们可以加一个「阻尼网络」。

办法是：在 $C_{1}$ 两端并联一个 $R_{b} - C_{b}$ 支路。这个 $C_{b}$ 是「隔直电容」，防止 $R_{b}$ 被直流短路烧掉或者消耗直流功率。而在交流频率下， $C_{b}$ 相当于短路，把 $R_{b}$ 挂在了 $C_{1}$ 身上。

这样，我们的「额外元件」阻抗 $Z$ 就变了：

Z (s) = \frac{1}{s C_{1}} | | (R_{b} + \frac{1}{s C_{b}}) = \frac{1}{s (C_{1} + C_{b})} | | R_{b} \dots 近似逻辑

我们的设计目标是：在 $Z$ 与 $Z_{N}$ 、 $Z_{D}$ 相交的频率点（3-4kHz），让 $Z$ 的阻抗特性变得像电阻一样，而不是纯电容。也就是说，让 $Z$ 的相位从 -90度拉回到 0度附近。

这就要求在那个频段， $R_{b}$ 的阻值要主导整个 $Z$ 的幅值。如果我们选对了 $R_{b}$ 和 $C_{b}$ ， $Z$ 的幅值曲线在穿越 $Z_{N}$ 和 $Z_{D}$ 时会变平（被电阻 $R_{b}$ 钳位）。

一旦 $Z$ 变成了电阻性的，相位差就不再是 180 度，修正因子里的那些高 Q 值尖峰也就被抹平了。加阻尼后的结果是：原本那些令人闻风丧胆的右半平面零点和额外极点，要么被移到了左半平面，要么变成了低 Q 值的一对对子，甚至互相抵消了。

最终，SEPIC 的传递函数 $G_{v d} (s)$ 看起来就几乎和那个简单的 Buck-Boost（ $G_{v d - b b}$ ）一模一样。

这才是 EET 最强大的地方：它不仅帮你算数，还帮你指明了设计的方向。它告诉你哪里是瓶颈（相位交战区），以及该在哪里下刀（加阻尼网络）才能最有效地解决问题。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

16.2 EET 实战演练 ​

16.2.1 简单传递函数的肉眼推导 ​

16.2.2 一个「未被建模」的元件：电容 ESR ​

16.2.3 SEPIC 变换器：硬骨头 ​

基准模型：有效 Buck-Boost ​

求解 ZN（双注入） ​

求解 ZD（驱动点阻抗） ​

组合起来看大局 ​

16.2.4 阻尼 SEPIC 的内部谐振 ​