实战演练：Boost 变换器 | 硬件学习笔记

5.3 实战演练：Boost 变换器

上一节我们拿 Buck 变换器开刀，推导出了那个略显复杂的 DCM 转换比公式。你可能会觉得，Buck 也就是电阻上的电流纹波大一点，还算直观。

但这回我们换个更刺激的——Boost 变换器。

为什么说它刺激？因为在 Boost 电路里，电感是直接接在输入端的。这意味着电感电流的平均值 $I$ 等于输入电流。一旦负载变轻，这个电流的纹波稍微大一点，电感电流就会触底回零，直接把二极管给「憋」死。

好，让我们把 Boost 电路放在手术台上，看看它在 DCM 下到底是怎么运作的。

第一步——搞清楚 CCM 和 DCM 的边界

还记得我们在 Buck 电路里是怎么判断模式的吗？看二极管导通期间的电流最小值。

Boost 电路的逻辑是一样的。在 CCM 下，二极管导通时（也就是 $D T_{s} < t < T_{s}$ 这段时间），电感电流 $i_{L} (t)$ 的波形是一条下降的直线。

这条直线的最小值出现在二极管导通结束的那一刻，也就是 $D T_{s}$ 时刻（这里 $D^{'}$ 对应二极管导通时间）。这个最小值是：

I - Δ i_{L}

$I$ 是电感电流的直流分量。
$Δ i_{L}$ 是纹波的峰峰值。

如果这个最小值 $I - Δ i_{L} > 0$ ，说明二极管一直导通，电感电流从未断流，这是 CCM（连续导通模式）。反之，如果 $I - Δ i_{L} < 0$ ，说明电感电流在二极管还没关断前就提前降到了零，二极管被迫截止，这是 DCM（断续导通模式）。

所以，Boost 的模式判断条件和 Buck 一模一样：

{\begin{cases} I > Δ i_{L} & for CCM \\ I < Δ i_{L} & for DCM \end{cases} (5.30)

虽然形式一样，但具体的数值解法不同。我们需要把 Boost 在 CCM 下的 $I$ 和 $Δ i_{L}$ 代进去（参考 2.3 节的推导结果）：

直流分量 $I$ ：在 CCM 下， $I = \frac{V_{g}}{D^{' 2} R}$ 。
纹波 $Δ i_{L}$ ： $Δ i_{L} = \frac{D T_{s} V_{g}}{L}$ 。

把这两个代入不等式 $I > Δ i_{L}$ （CCM 条件）：

\frac{V_{g}}{D^{' 2} R} > \frac{D T_{s} V_{g}}{2 L}

消掉两边的 $V_{g}$ ，整理一下：

\frac{2 L}{R T_{s}} > D D^{' 2} for CCM (5.32)

看，我们那个老朋友 $K$ 又出现了。定义 $K = \frac{2 L}{R T_{s}}$ ，那么不等式就变成了标准的边界形式：

{\begin{cases} K > K_{c r i t} (D) & for CCM \\ K < K_{c r i t} (D) & for DCM \end{cases} (5.33)

这里，Boost 的临界值是：

K_{c r i t} (D) = D D^{' 2}

⚠️ 注意：这和 Buck 的 $K_{c r i t} = D (1 - D)$ 不同！ Boost 的 $K_{c r i t}$ 是 $D (1 - D)^{2}$ 。

这个边界意味着什么？

让我们在脑子里画一下 $K_{c r i t} (D)$ 的曲线。你会发现一个很有趣的现象：

当 $D = 0$ 时， $K_{c r i t} = 0$ 。
当 $D = 1$ 时， $K_{c r i t} = 0$ 。
在中间某处， $K_{c r i t}$ 有个最大值。

求个导就知道，最大值出现在 $D = 1 / 3$ 的时候，此时 $K_{c r i t} = 4 / 27 \approx 0.148$ 。

这里有个非常重要的反直觉点：如果你选的电感 $L$ 足够大，使得 $K > 4 / 27$ ，那么无论你怎么调占空比 $D$ ，这个 Boost 变换器永远工作在 CCM 模式下。

反过来，如果你的 $K$ 比较小（小于 4/27），变换器就会在 $D = 1 / 3$ 附近落入 DCM 区域。但在 $D$ 接近 0 或 1 时，它依然会回到 CCM。

这是为什么？回头想想 Buck：Buck 在 $D$ 很小的时候，输出电压很低，负载电阻等效值也小，容易进 DCM。但 Boost 不一样，当 $D \to 0$ 时，纹波幅度 $Δ i_{L}$ 趋近于 0，但直流分量 $I$ 还在那摆着，所以想进 DCM 难上加难。

第二步——推导 DCM 下的电压转换比

既然边界摸清了，现在我们正式进入 DCM 区域，求解 Boost 的核心公式： $M = V / V_{g}$ 。

DCM 总是分三步走（三个子区间）：

子区间 1 ( $0 < t < D_{1} T_{s}$ )：开关 Q1 导通，电感充电。
子区间 2 ( $D_{1} T_{s} < t < (D_{1} + D_{2}) T_{s}$ )：Q1 关断，二极管导通，电感向负载放电。
子区间 3 ( $(D_{1} + D_{2}) T_{s} < t < T_{s}$ )：电感电流降为零，二极管截止，大家都歇着（死区时间）。

这里我们把 Q1 的占空比记作 $D_{1}$ ，二极管的占空比记作 $D_{2}$ ，死区时间记作 $D_{3}$ 。显然 $D_{1} + D_{2} + D_{3} = 1$ 。

子区间 1：开关导通

Q1 闭合，输入电压 $V_{g}$ 直接加在电感 $L$ 上。

电感电压： $v_{L} (t) = V_{g}$ 。
电容电流： $i_{C} (t) = - v (t) / R$ （电容在单独给负载供电）。

用我们惯用的「小纹波近似」，把 $v (t)$ 换成直流 $V$ ：

v_{L} (t) \approx V_{g} (5.35)

i_{C} (t) \approx - \frac{V}{R}

子区间 2：二极管导通

Q1 断开，电感为了维持电流，强迫左端电压抬高，二极管导通。

电感电压： $v_{L} (t) = V_{g} - v (t)$ （注意电感右端接的是输出 $V$ ）。
电容电流： $i_{C} (t) = i (t) - v (t) / R$ （电感电流 $i (t)$ 此时一部分给负载，一部分给电容）。

同样做近似：

v_{L} (t) \approx V_{g} - V (5.37)

i_{C} (t) \approx i (t) - \frac{V}{R}

⚠️ 注意：这里 $i_{C} (t)$ 里的 $i (t)$ 不能近似成常数！因为在 DCM 下，电感电流 $i (t)$ 变化巨大，从峰值降到 0，它是主要矛盾，绝对不能忽略。

子区间 3：死区时间

Q1 关，二极管也关（因为电流没了）。电感里没电流，左端悬空（实际上会被寄生电容钳位，但在我们这个简化模型里看做 0）。

电感电压： $v_{L} (t) = 0$ （因为 $i (t) = 0$ ，电感两端的压降也消失了）。
电容电流： $i_{C} (t) = - v (t) / R$ 。

近似后：

v_{L} (t) = 0 (5.39)

i_{C} (t) = - \frac{V}{R}

关键推导 1：伏秒平衡

现在把这三个阶段的电感电压画出来。根据电感伏秒平衡原理，稳态下电感电压的平均值必须是 0。

计算波形下的面积（或者直接加权平均）：

D_{1} V_{g} + D_{2} (V_{g} - V) + D_{3} (0) = 0 (5.40)

这里 $D_{3}$ 那项本来就是 0，不用管。解这个方程求 $V$ ：

V (D_{1} + D_{2}) = V_{g} (D_{1} + D_{2}) - V_{g} D_{2}

不对，我们直接移项更清楚：

D_{1} V_{g} + D_{2} V_{g} - D_{2} V = 0

D_{2} V = (D_{1} + D_{2}) V_{g}

V = \frac{D_{1} + D_{2}}{D_{2}} V_{g} (5.41)

或者写成 $M$ 的形式：

M = \frac{V}{V_{g}} = \frac{D_{1} + D_{2}}{D_{2}}

这公式看着眼熟吗？和 Buck 的有点像，但分子分母反过来了。不过现在有个大问题： $D_{2}$ 是个未知数。 它是负载情况和电感大小的函数，不是我们能直接拨的旋钮。我们需要第二个方程来干掉它。

关键推导 2：电荷平衡

第二个方程藏在哪里？在电容 $C$ 身上。

盯着 Boost 输出结点看。根据 KCL（基尔霍夫电流定律）：

i_{D} (t) = i_{C} (t) + \frac{v (t)}{R} (5.42)

也就是：流过二极管的电流 = 给电容充电的电流 + 给负载供电的电流。

在稳态下，电容上的平均电压必须恒定，这意味着流进电容的净电荷必须为零（电容电荷平衡）。所以， $i_{C} (t)$ 的直流分量 $⟨ i_{C} ⟩$ 必须是 0。

对 (5.42) 两边取直流平均值（用 $⟨ \cdot ⟩$ 表示）：

⟨ i_{D} ⟩ = ⟨ i_{C} ⟩ + \frac{V}{R}

因为 $⟨ i_{C} ⟩ = 0$ ，所以：

⟨ i_{D} ⟩ = \frac{V}{R} (5.43)

这告诉我们一个很重要的物理事实：二极管电流的平均值，严格等于负载电流。

现在任务变成了：求二极管电流 $i_{D} (t)$ 的平均值。

看波形：电感电流与二极管电流

我们把 $i_{L} (t)$ 和 $i_{D} (t)$ 的波形画出来看。

电感电流 $i (t)$ ：

阶段 1 ( $0 \sim D_{1} T_{s}$ )：从 0 开始，线性上升。斜率是 $V_{g} / L$ 。终点达到峰值 $i_{p k}$ 。
阶段 2 ( $D_{1} T_{s} \sim (D_{1} + D_{2}) T_{s}$ )：从 $i_{p k}$ 线性下降。斜率是 $(V_{g} - V) / L$ 。终点降到 0。
阶段 3 ( $D_{2} T_{s} \sim T_{s}$ )：保持在 0。

那个峰值 $i_{p k}$ 很好算：

i_{p k} = 斜率 \times 时间 = \frac{V_{g}}{L} D_{1} T_{s} (5.44)

二极管电流 $i_{D} (t)$ ：

二极管只在阶段 2 导通，而且 $i_{D} (t) = i (t)$ 。
在阶段 1 和 3，二极管承受反向电压，电流为 0。
所以 $i_{D} (t)$ 的波形就是一个三角形，底边宽度是 $D_{2} T_{s}$ ，高度是 $i_{p k}$ 。

既然是三角形，求平均值（直流分量）就简单了。面积 = 1/2 × 底 × 高。

⟨ i_{D} ⟩ = \frac{1}{T_{s}} \int_{0}^{T_{s}} i_{D} (t) d t = \frac{1}{T_{s}} (\frac{1}{2} i_{p k} D_{2} T_{s}) (5.46)

消掉 $T_{s}$ ：

⟨ i_{D} ⟩ = \frac{1}{2} i_{p k} D_{2}

把刚才算出的 $i_{p k}$ （式 5.44）代进去：

⟨ i_{D} ⟩ = \frac{1}{2} (\frac{V_{g}}{L} D_{1} T_{s}) D_{2} = \frac{V_{g} D_{1} D_{2} T_{s}}{2 L} (5.47)

收网：解出 $M$

现在我们手握两个方程：

电压方程： $V = \frac{D_{1} + D_{2}}{D_{2}} V_{g}$ (来自伏秒平衡)
电流方程： $\frac{V_{g} D_{1} D_{2} T_{s}}{2 L} = \frac{V}{R}$ (来自电荷平衡，即 5.47 = 5.43)

我们的目标是消去 $D_{2}$ ，求出 $V / V_{g}$ 。

先从电压方程 (5.41) 里解出 $D_{2}$ ：

V = V_{g} (1 + \frac{D_{1}}{D_{2}})

\frac{V}{V_{g}} - 1 = \frac{D_{1}}{D_{2}}

D_{2} = D_{1} \frac{V_{g}}{V - V_{g}} (5.49)

把这个 $D_{2}$ 塞进电流方程 (5.48) 里。这步代数运算有点繁琐，我们慢慢来：

\frac{V_{g} D_{1} (\frac{D_{1} V_{g}}{V - V_{g}}) T_{s}}{2 L} = \frac{V}{R}

整理一下：

\frac{V_{g}^{2} D_{1}^{2} T_{s}}{2 L (V - V_{g})} = \frac{V}{R}

把 $V$ 和 $V_{g}$ 的比例关系显式化。把分母里的 $(V - V_{g})$ 移上去，把 $V$ 移下来：

\frac{V_{g}^{2} D_{1}^{2} T_{s} R}{2 L V} = V - V_{g}

两边除以 $V_{g}$ ：

\frac{V_{g} D_{1}^{2} T_{s} R}{2 L V} = \frac{V}{V_{g}} - 1

这里我们那个万能参数 $K = \frac{2 L}{R T_{s}}$ 终于派上用场了。注意上面的式子里是 $\frac{R T_{s}}{2 L}$ ，也就是 $1 / K$ 。

\frac{V_{g} D_{1}^{2}}{K V} = \frac{V}{V_{g}} - 1

设我们要找的转换比为 $M = V / V_{g}$ ，那么 $V = M V_{g}$ 。代入：

\frac{V_{g} D_{1}^{2}}{K M V_{g}} = M - 1

\frac{D_{1}^{2}}{K M} = M - 1

乘开，整理成标准的二次方程形式 $a x^{2} + b x + c = 0$ ：

M^{2} - M - \frac{D_{1}^{2}}{K} = 0 (5.50)

对变量 $M$ 用求根公式：

M = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \frac{D_{1}^{2}}{K}}}{2}

我们要哪一个根？ Boost 的输出电压肯定是正的，而且肯定大于输入电压（至少在 DCM 下是这样）。所以那个带负号的根被扔掉。

我们选正根：

M (D_{1}, K) = \frac{1 + \sqrt{1 + \frac{4 D_{1}^{2}}{K}}}{2} (5.52)

或者把 $D_{1}$ 写成 $D$ ，这更符合工程习惯：

M (D, K) = \frac{1 + \sqrt{1 + \frac{4 D^{2}}{K}}}{2}

这就是 Boost 变换器在 DCM 模式下的转换比公式。记住，它只在 $K < K_{c r i t}$ 时成立。

结果与回响

公式出来了，但这东西到底长什么样？

把 CCM 和 DCM 的结果拼在一起，就是 Boost 的完整地图（见下方转换比表）：

M = {\begin{cases} \frac{1}{1 - D} & for K > K_{c r i t} (CCM Mode) \\ \frac{1 + \sqrt{1 + \frac{4 D^{2}}{K}}}{2} & for K < K_{c r i t} (DCM Mode) \end{cases} (5.53)

看这条 $M$ 随 $D$ 变化的曲线，你会发现几个很有意思的现象：

负载相关：和 Buck 一样，DCM 下 Boost 的输出电压也死死依赖于负载（ $K$ 里面藏着 $R$ ）。轻载时（ $K$ 很小），电压会飞得很高。
线性近似：当 Boost 深入 DCM 区域（也就是 $D$ 比较大或者负载很轻时），那条复杂的二次曲线其实长得特别像一条直线： $M \approx 1 + \frac{D}{\sqrt{K}} (5.54)$ 这个近似公式非常有用。如果你在设计一个 DCM 的 Boost 电路，用这个线性公式估算输出电压足够准了。
趋于 1：当 $K \to 0$ （极端轻载，接近空载）时，无论 $D$ 是多少，输出电压 $V$ 都会变得很高（ $M$ 很大），但在 D 公式里看，当 $D$ 很小时， $M$ 会趋近于 1。这意味着空载时，Boost 电路有点像一根直通的线，电压抬不起来——但这通常是寄生参数在捣鬼，实际情况会更复杂。

踩坑提醒：DCM Boost 空载是个「理论上 $M \to \infty$ ，实测上输出被齐纳管/输出电容漏流钳住」的灰色地带。真在板子上跑过一遍你就懂：空载时电感电流已经小到和开关节点的寄生电容电流一个量级，电感在那儿和寄生电容来回振铃，死区时间不再干净， $M$ 的公式也就失了准。所以带 Boost 的设计永远要预留一个最小假负载（bleeder），把 $K$ 拽回到公式还有意义的区间，别让公式去描述它无能为力的世界。

至此，我们把 Buck 和 Boost 在 DCM 下的脾气都摸透了。下一节，我们把这些结果整理成一张速查表，顺便看看那个 Buck-Boost 变换器在 DCM 下是不是也是个「疯子」。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

5.3 实战演练：Boost 变换器 ​

第一步——搞清楚 CCM 和 DCM 的边界 ​

这个边界意味着什么？ ​

第二步——推导 DCM 下的电压转换比 ​

子区间 1：开关导通 ​

子区间 2：二极管导通 ​

子区间 3：死区时间 ​

关键推导 1：伏秒平衡 ​

关键推导 2：电荷平衡 ​

看波形：电感电流与二极管电流 ​

收网：解出 M ​

结果与回响 ​