习题 | 硬件学习笔记

7.6 习题

这就是这一章的终极试炼场。

如果你能顺畅地走到这里，说明你已经掌握了平均化、线性化以及状态空间平均法的全套武器。接下来的 12 道题，不是为了让你重复抄写公式，而是为了把你之前建立的那些抽象认知——交流等效电路、标准模型、寄生参数的影响——焊死在你的直觉里。

这部分不仅是习题集，它更像是这一章的「回响段」。我们会 revisit Boost、Cuk、Flyback 这些老朋友，但这次是在小信号模型的视角下重新审视它们。

7.1 Boost 变换器的非线性和线性模型

Boost 变换器是最经典的拓扑，我们在 7.2 节推导它的交流模型时花了很大篇幅。这道题让你自己走一遍那个全过程。

(a) 确定非线性平均方程

首先，写出 Boost 变换器在 CCM 模式下的两个子拓扑状态方程（导通和关断），然后对它们进行加权平均（权重分别为 $d$ 和 $d^{'}$ ）。

回忆一下 7.5 节的状态空间形式： $K \frac{d x (t)}{d t} = A x (t) + B u (t)$ 。
你需要先写出电感电流 $i_{L} (t)$ 和电容电压 $v_{C} (t)$ 的微分方程。

(b) 构建小信号交流模型

现在我们引入扰动：

⟨ v_{g} (t) ⟩_{T_{s}} = V_{g} + {\hat{v}}_{g} (t)

d (t) = D + \hat{d} (t)

⟨ i (t) ⟩_{T_{s}} = I + \hat{i} (t)

⟨ v (t) ⟩_{T_{s}} = V + \hat{v} (t)

你的任务是证明，将这些扰动代入平均方程并略去二次项后，会得到以下两组方程：

大信号直流分量（稳态工作点）：

0 = - D^{'} V + V_{g}

0 = D^{'} I - \frac{V}{R}

小信号交流分量（动态模型）：

L \frac{d \hat{i} (t)}{d t} = - D^{'} \hat{v} (t) + V \hat{d} (t) + {\hat{v}}_{g} (t)

C \frac{d \hat{v} (t)}{d t} = D^{'} \hat{i} (t) - I \hat{d} (t) - \frac{\hat{v} (t)}{R}

⚠️ 注意在推导 $L \frac{d \hat{i}}{d t}$ 时，别忘了 $(d \cdot v)$ 这种乘积项展开后是 $D \hat{v} + V \hat{d} + \hat{d} \hat{v}$ ，最后一项是高阶无穷小，必须扔掉。

7.2 为 Boost 变换器画出等效电路

上一题你推导了方程，现在我们要把它「物理化」。

利用 7.2 节讲的「对应关系」：

电感方程对应一个回路电压方程（包含 KVL 和受控源）。
电容方程对应一个节点电流方程（包含 KCL 和受控源）。

请根据 7.1(b) 的方程，画出 Boost 变换器的小信号交流等效电路。

提示：你应该能看到一个 $1 : D^{'}$ 的理想变压器，以及某些与 $D^{'}$ 和 $I$ 相关的受控源。如果画不出来，说明你的方程还没完全对齐电路结构。

7.3 将 Boost 模型转化为标准形式

我们手里已经有了 Boost 的专用模型，现在要把它变成 7.4 节介绍的「标准型」。

请把 7.2 题画出的电路，通过电路变换（如电源移位、变压器折算），整理成标准形式：

输入 \to 有效变压器 M (D) \to LC滤波器 \to 负载

同时，请验证你的模型参数是否与表 7.1 中 Boost 变换器那一行的数据一致。如果对不上，说明你的等效变换在某一步出了偏差。

7.4 Cuk 变换器的前奏：电流馈电桥式变换器

电流馈电桥式变换器看起来很复杂，但它也是一种 CCM 变换器。

(a) 写出非线性平均方程(b) 扰动与线性化(c) 构建小信号交流等效电路

这算是期中考试级别的题目。如果你能顺利画出这个电路的模型，任何单电感变换器的建模对你就都不在话下了。

7.5 带有损耗的 Flyback 变换器模型

Flyback 变换器工作在 CCM 模式。这里有一个非理想因素：变压器铁损。我们在变压器原边并联了一个电阻 $R_{C}$ 来模拟它。其他元件视为理想。

任务：推导完整的小信号交流等效电路模型。
挑战点：你需要正确预测输入电流 $i_{g} (t)$ 的变化。并联电阻 $R_{C}$ 的引入会影响直流工作点计算吗？它会在交流模型里表现为什么？

你可以使用任何学过的方法（平均开关建模法或状态空间法）。建议先画出包含 $R_{C}$ 的等效电路拓扑，再列方程。

7.6 Cuk 变换器建模

这也是本章的常客了。

(a) 推导理想 Cuk 变换器的小信号动态方程(b) 构建完整的小信号交流等效电路模型

Cuk 变换器有两个电感和两个电容，你的状态向量会是 4 维的。虽然推导过程长，但只要你老老实实按矩阵运算走，结果会非常优美——你会发现它的输入输出特性几乎是完美的直流源特性。

7.7 逆 SEPIC 变换器建模

考虑一个逆 SEPIC 拓扑。

(a) 推导小信号动态方程(b) 构建完整的小信号交流等效电路模型

结构上它和 SEPIC 很像，只是接法不同。考验你对基本 KCL/KVL 方程列写能力的时候到了。不要被复杂的连线吓倒，拆分拓扑，一步步列 $A_{1}, A_{2}$ 矩阵。

7.8 输入带寄生电阻的 Buck 变换器

这是 7.5.5 节内容的实战演练。这里输入电压源 $v_{g} (t)$ 有内阻 $R_{g}$ 。其他寄生参数忽略。

(a) 使用状态空间平均法 确定描述 $i, v, i_{g}$ 变化的小信号交流方程。扰动源是 $d$ 和 $v_{g}$ 。

⚠️ 注意这里 $i_{g}$ 不再直接等于 $i_{L}$ 。输入电阻 $R_{g}$ 串联在回路里，你需要把它当作系统输入向量的一部分或者直接写进状态矩阵。

(b) 构建交流等效电路模型(c) 求解控制-to-输出传递函数 根据你的模型，解出 $G_{v d} (s) = \frac{\hat{v} (s)}{\hat{d} (s)}$ 。你会发现 $R_{g}$ 的存在引入了额外的阻尼。

7.9 理论推导验证

回到理论的源头。

任务：从公式 (7.19) 出发（通常是状态矩阵平均化后的表达式），一步步推导出 (7.20) 和 (7.22)。

这是纯粹的代数练习，但它能帮你理清从矩阵方程到标量传递函数的推导路径。如果你觉得手生，这道题是唯一的药方。

7.10 重度非理想的 Flyback 变换器

Flyback 变换器，MOSFET 导通电阻 $R_{o n}$ ，二极管正向压降 $V_{D}$ ，以及变压器原副边绕组电阻 $R_{p}, R_{s}$ 。全都有。

(a) 推导小信号交流方程(b) 推导完整的交流等效电路模型

这题是「大满贯」。你需要把这些损耗项全部考虑到直流工作点的计算中，然后再线性化。

警告：如果你在计算直流工作点时漏掉了 $R_{o n}$ 的影响，你的线性化结果会差之毫厘，谬以千里。

7.11 双输出 Flyback 变换器

考虑一个双输出的 Flyback，工作在 CCM 模式。假设变换器本身是无损的。

(a) 推导小信号交流等效电路(b) 归纳为广义标准型

请证明这个双输出变换器的小信号模型可以写成广义标准形式。并给出 $e (s)$ 和 $j (s)$ 的解析表达式。

这题展示了标准模型的普适性：哪怕有多个绕组，最终也能归纳成变压器模型加受控源的形式。

7.12 三角波 PWM 调制器

我们在 7.3 节讲过基于锯齿波的 PWM，这里是三角波。

(a) 确定开关频率(b) 确定增益 $d (t) / v_{c} (t)$ (c) 确定有效范围

观察波形：三角波的峰峰值是 2V，周期是 100μs（50μs 上升，50μs 下降）。

思考：三角波的调制特性跟锯齿波有什么不同？在锯齿波里，我们在下降沿比较，增益是 $1 / V_{M}$ 。在三角波里，我们既有上升沿比较也有下降沿比较吗？不，这是一个简单的比较器结构。你需要画出 $v_{t r i} (t)$ 和 $v_{c} (t)$ 的交点图来推导占空比公式。

这题考察你对 PWM 本质机制的理解，而不是套公式。

本章回响 (Chapter Resonance)

这一章我们走完了一个完整的闭环工程旅程。

从物理到数学，再回到物理。 最开始，我们面对的是一个充满了高频开关噪声的、非线性的物理电路（Boost, Buck, Flyback）。如果直接用拉普拉斯变换去砸它，只会得到一堆无解的微分方程。

于是我们引入了三个关键步骤：

平均化：我们通过数学手段「模糊」了开关动作，把高频纹波滤掉，只留下了低频的平均行为。这让我们得到了一个非线性的、但至少是连续的模型。
线性化：我们承认世界是非线性的，但在足够小的范围内，它看起来是线性的。通过在直流工作点附近引入扰动，我们把那个复杂的非线性系统变成了工程师最喜欢的线性系统。
电路化：这是最神的一步。我们把枯燥的微分方程重新画成了我们熟悉的等效电路——里面有变压器、有电容、有受控源。这不仅是为了直观，更是为了让所有现有的电路分析工具（如 Spice、传递函数推导）都能直接用上。

关于模型的误解。 很多人学完这一章，会误以为模型就是完美的。你要记住，小信号模型是有边界的。它假设纹波足够小，假设扰动幅度足够低。当你把环路增益开得太大，或者负载剧烈跳变时，这个模型给出的预测可能会偏离现实——因为那时候「小信号」这个前提已经不成立了。

下一章预告。 有了模型，我们终于可以像对待传统控制电路一样对待变换器了。下一章，我们将把这些模型放进反馈环路里。你会发现，设计一个稳定的电源，本质上就是设计一个在频域上 behaves well 的系统。相位裕度、带宽、闭环阻抗——这些熟悉的术语将在下一章重新登场，将我们的变换器变成一个真正的、智能的稳压源。

这章建立的直觉，就是你下一章「驯服」那些不稳定的电源时的底牌。

练习题

练习 1：understanding

题目：在变换器小信号建模过程中，为什么需要引入“扰动和线性化”这一步？请结合数学公式说明忽略二阶小信号项（如 $\hat{d} (t) \hat{v} (t)$ ）的物理依据是什么？

答案与解析

答案：因为平均化后的微分方程包含非线性项（如两个时变变量的乘积），无法直接应用拉普拉斯变换等线性系统分析工具。

物理依据是：假设交流扰动幅值远小于直流稳态值（即 $| \hat{d} | ≪ D$ , $| \hat{v} | ≪ V$ ）。因此，两个小信号的乘积（二阶项）相对于只包含一个小信号的项（一阶项）来说是极微小的，可以忽略不计，从而将方程线性化。

解析：本题考察对核心建模步骤的理解。

非线性问题：根据文中 7.2.6 节，平均化后的方程（如式 7.29）包含 $d (t) ⟨ v_{g} (t) ⟩_{T_{s}}$ 这样的乘积项。这属于非线性运算，会引入谐波，导致无法直接使用传递函数等经典控制理论方法。
线性化原理：我们在静态工作点（Quiescent Operating Point, $D, V, I$ ）附近展开。
数学近似：将变量表示为 $x (t) = X + \hat{x} (t)$ 。代入非线性方程后，会出现三类项：直流项、一阶交流项（含 $\hat{x}$ ）、二阶交流项（含 $\hat{x} \hat{y}$ ）。
结论：根据小信号假设（式 7.33），二阶项（如 $\hat{d} \hat{v}$ ）的幅值远小于一阶项，因此忽略它们既符合物理精度要求，又能将方程简化为线性微分方程，便于求解。

练习 2：application

题目：已知 PWM 调制器的比较信号为锯齿波 $V_{r a m p} (t)$ ，其峰值为 $V_{M}$ ，谷值为 0。控制信号为 $v_{c} (t)$ 。若控制信号 $v_{c} (t)$ 从 3.0V 瞬间跳变到 3.1V，导致占空比 $d (t)$ 发生微小变化。请据此推导 PWM 模块的增益 $F_{m}$ （即 $\hat{d} / {\hat{v}}_{c}$ ）。

答案与解析

答案： $F_{m} = \frac{1}{V_{M}}$

解析：本题考察对 PWM 增益概念的应用。

PWM 原理：PWM 通过比较模拟控制信号 $v_{c} (t)$ 和锯齿波 $V_{r a m p}$ 来决定占空比。当 $v_{c} (t)$ 大于锯齿波时，开关导通。
几何关系：对于区间在 $[0, V_{M}]$ 的标准锯齿波，占空比 $d (t)$ 等于控制电压与锯齿波峰值的比值，即 $d (t) \approx \frac{v_{c} (t)}{V_{M}}$ 。
小信号增益：对上述关系进行线性化（求导）。

\hat{d} (t) = \frac{\partial d}{\partial v_{c}} |_{v_{c} = V_{c}} {\hat{v}}_{c} (t)

\hat{d} (t) = \frac{1}{V_{M}} {\hat{v}}_{c} (t)

结论：因此，PWM 增益 $F_{m} = \frac{\hat{d}}{{\hat{v}}_{c}} = \frac{1}{V_{M}}$ 。这意味着锯齿波的幅度 $V_{M}$ 直接决定了控制信号对占空比的调节灵敏度。

练习 3：application

题目：在推导 Buck-Boost 变换器的平均模型时，电感电压方程为 $L \frac{d ⟨ i (t) ⟩_{T_{s}}}{d t} = d (t) ⟨ v_{g} (t) ⟩_{T_{s}} + d^{'} (t) ⟨ v (t) ⟩_{T_{s}}$ 。若忽略开关纹波，直接代入稳态直流值 $I, V_{g}, V, D$ ，将会得到什么结果？这与动态小信号模型有何本质区别？

答案与解析

答案：代入稳态值后，方程左边变为 0（因为直流电流 $I$ 的导数为 0），方程变为： $0 = D V_{g} + D^{'} V$ （即 $V = - \frac{D}{D^{'}} V_{g}$ ）。

这描述的是稳态（直流）特性（即电压转换比），而动态小信号模型（包含 $L \frac{d \hat{i}}{d t}$ 等项）描述的是系统偏离稳态后的动态响应过程（如幅频特性、相位裕度等）。

解析：本题考察对“动态模型”与“稳态模型”区别的应用。

稳态计算：根据电感伏秒平衡原理，在稳态下，电感两端电压在一个周期内的平均值为 0。如果直接代入直流常量，微分项消失，得到的代数方程 $V = - \frac{D}{D^{'}} V_{g}$ 仅能告诉我们输入输出电压的比例关系。
动态分析：为了研究反馈环路，我们需要知道当负载或输入突变时，输出电压 $v (t)$ 随时间变化的规律（动态过程）。
本质区别：动态模型保留了微分项（ $L \frac{d}{d t}$ 和 $C \frac{d}{d t}$ ），这使得我们能够计算传递函数（ $G_{v d} (s)$ ），分析极点和零点，从而设计补偿器 $G_{c} (s)$ 来保证系统的稳定性和瞬态性能。

练习 4：thinking

题目：文中提到平均化操作 $⟨ x (t) ⟩_{T_{s}}$ 本质上是一个低通滤波过程，其传递函数为 $G_{a v} (s) = \frac{\sin (ω T_{s} / 2)}{ω T_{s} / 2}$ 。请据此分析：为什么基于平均化得到的交流等效模型，在预测变换器频率响应时，对于接近开关频率 $f_{s}$ 的高频扰动可能会失效？这在设计电流模式控制或 EMI 滤波时有何启示？

答案与解析

答案：当信号频率 $ω$ 接近开关频率 $ω_{s} = 2 π / T_{s}$ 时，平均化传递函数 $G_{a v} (j ω)$ 的模值会显著衰减（且相位发生改变），不再是理想的 1（0dB）。

这说明平均化模型实际上滤除了高频开关纹波及其附近的边带信息。因此，该模型只能准确预测低频（通常 $< f_{s} / 3$ ）的行为。若用于分析接近 $f_{s}$ 的现象（如次谐波振荡、高频 EMI），平均模型会给出错误的结论。

启示：在设计高频控制环路或 EMI 滤波器时，必须考虑采样效应和高频寄生参数，不能仅依赖连续时间的平均模型。

解析：本题考察对模型适用范围的深度思考。

模型局限性：式 7.22 表明，平均化算子 $G_{a v}$ 在低频段增益为 1，但在接近开关频率 $f_{s}$ 时，增益迅速下降。这意味着平均模型是一个“低通”模型，它丢弃了波形中关于高频开关动作的详细信息。
物理意义：真实的变换器包含采样网络（如 PWM 比较器），这具有离散时间特性。平均模型假设控制信号可以连续改变占空比，但实际上占空比在每个周期只能更新一次（采样效应）。
工程启示：
- 环路设计：在计算环路增益 $T (s)$ 时，带宽通常限制在 $f_{s} / 10$ 或更低，以确保平均模型的有效性。
- 高频问题：如果需要分析接近 $f_{s} / 2$ 的次谐波振荡（常见于电流模式控制），必须使用离散时间模型或考虑采样效应的修正模型，而不能直接使用简单的平均等效电路。
- EMI：传导 EMI 分析关注 150kHz-30MHz，远高于 $f_{s}$ ，此时平均模型毫无意义，必须使用含寄生参数的开关电路模型进行仿真。

要点提炼

为了准确描述变换器的动态行为并设计稳定的反馈环路，我们需要建立不同于静态稳态分析的动态模型，其核心策略是通过“平均化”操作滤除高频开关纹波，只保留描述低频演变轨迹的平均值变量。这一步相当于为系统戴上了一副“低通滤波眼镜”，使得原本非线性的开关网络在数学上被简化为连续的平滑曲线，从而让工程师能够像分析线性电路一样处理功率级的变化过程。

在平均化的基础上，结合小纹波近似与“扰动+线性化”手段，我们可以将复杂的非线性微分方程转化为线性的小信号模型。通过假设系统在稳态工作点附近仅发生微小扰动，利用泰勒展开并忽略高阶无穷小项（如两个交流小量的乘积），原本由占空比和电压/电流相乘产生的非线性项被成功“掰直”，从而生成了只包含一阶交流变量的线性微分方程组，为使用拉普拉斯变换等经典控制理论工具铺平了道路。

数学线性化的结果可以直接映射为包含电感、电容及受控源的等效电路模型，即“交流小信号等效电路”。在这个模型中，变换器的直流变压器特性不仅体现为电压变换比，更演变为支配小信号传递的理想变压器，而原本的开关动作则被等效为受占空比控制的独立电压源和电流源。这意味着，非线性的开关变换器在动态分析中最终被还原为一个线性的 RLC 电路网络，使得传递函数的计算变得直观且标准。

这套建模方法具有极强的通用性，不仅能处理 Buck、Boost 等基本拓扑，还能轻松推导包含寄生参数（如开关管导通电阻 $R_{o n}$ ）的实际电路（如反激变换器）。无论电路多么复杂，其建模流程始终遵循“列写分段瞬时方程 $\to$ 加权平均得到大信号方程 $\to$ 扰动线性化得到小信号方程 $\to$ 绘制等效电路”的标准路径。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

7.6 习题 ​

7.1 Boost 变换器的非线性和线性模型 ​

7.2 为 Boost 变换器画出等效电路 ​

7.3 将 Boost 模型转化为标准形式 ​

7.4 Cuk 变换器的前奏：电流馈电桥式变换器 ​

7.5 带有损耗的 Flyback 变换器模型 ​

7.6 Cuk 变换器建模 ​

7.7 逆 SEPIC 变换器建模 ​

7.8 输入带寄生电阻的 Buck 变换器 ​

7.9 理论推导验证 ​

7.10 重度非理想的 Flyback 变换器 ​

7.11 双输出 Flyback 变换器 ​

7.12 三角波 PWM 调制器 ​

本章回响 (Chapter Resonance) ​

练习题 ​

练习 1：understanding ​

练习 2：application ​

练习 3：application ​

练习 4：thinking ​

要点提炼 ​

7.6 习题

7.1 Boost 变换器的非线性和线性模型

7.2 为 Boost 变换器画出等效电路

7.3 将 Boost 模型转化为标准形式

7.4 Cuk 变换器的前奏：电流馈电桥式变换器

7.5 带有损耗的 Flyback 变换器模型

7.6 Cuk 变换器建模

7.7 逆 SEPIC 变换器建模

7.8 输入带寄生电阻的 Buck 变换器

7.9 理论推导验证

7.10 重度非理想的 Flyback 变换器

7.11 双输出 Flyback 变换器

7.12 三角波 PWM 调制器

本章回响 (Chapter Resonance)

练习题

练习 1：understanding

练习 2：application

练习 3：application

练习 4：thinking

要点提炼