DCM 变换器动态特性导论 | 硬件学习笔记

15.1 DCM 变换器动态特性导论

有一类问题，表面上看是数学建模问题，实际上是直觉问题。

我们在这一章要处理的，正是这样一个问题。

在第 2 章和第 3 章里，我们像推倒多米诺骨牌一样，建立起了一套完整的 CCM（连续导通模式）建模理论。我们有了电感伏秒平衡，有了电容电荷平衡，甚至还有了一套能处理各种拓扑的「平均开关模型」——这套东西好用到让你觉得，只要给个变换器，我就能把它的传递函数像变魔术一样变出来。

但这里有一个断层。

如果你真的拿这套理论去跑一个轻载的 Boost 或者 Buck-Boost，你会发现自己还是会被现实狠狠地打脸。因为当电感电流不够大，纹波大到把电流谷值「咬」到零以下时，变换器就进入了一种完全不同的状态：断续导通模式（DCM）。

在这种模式下，电感在每个开关周期末尾都会「彻底休息」（电流归零）。这不仅仅是工作点的变化，这是系统动力学层面的降维——电感这个原本掌管着能量储存的大家伙，在动态过程中仿佛突然变得「透明」了。如果你试图用 CCM 的二阶模型去硬套 DCM 的波形，你会发现算出来的相位裕量和实测的完全是两码事。

本章的任务，就是在这个断层上重新搭桥。我们需要找到一种新的语言，来描述这种「电感偷懒」的状态。这不仅仅是修补旧公式，我们需要从根本上重新审视：当电感电流不连续时，变换器的「灵魂」到底变成了什么样？

从零开始——DCM 波形的真相

先别急着建模，让我们先回到最直观的物理世界。看看当一个变换器进入 DCM 时，究竟发生了什么。

拿 Buck-Boost 变换器当例子——它拓扑最干净，又同时能体现 DCM 的所有典型行为。

在这个实验里，我们给 PWM 调制器输入一个带有正弦波动的控制信号 $v_{c} (t)$ ：

v_{c} (t) = V_{c} + V_{m} \sin (ω_{m} t) (15.1)

这里的调制频率 $f_{m} = ω_{m} / 2 π$ 远小于开关频率 $f_{s}$ 。这其实就是我们在做一个低频的小信号扰动测试——想看看系统对这种缓慢变化的「容忍度」和「响应规律」。

在这个例子里，电感选得很小，导致纹波巨大，变换器在所有时间里都死死地保持在 DCM 状态。把这个调制周期掰开揉碎，里面发生的事情可以拆成几条线来看。

15.3 波形分解：开关纹波与平均量

我们把这几条线一条条拎出来。

（a）Gate drive：这是控制信号，它包含了那个正弦波动的低频分量，叠加在开关频率上。

（b）Inductor current $i_{L} (t)$ ：注意看它的形状。它不再是我们熟悉的那个带有直流偏置的三角波，而是一串「归零的脉冲」。每个开关周期内，电流都从 0 开始，冲上去，再在周期结束前跌回 0。就在这种断断续续的脉冲中，我们依然能提取出一条平滑的曲线 $⟨ i_{L} (t) ⟩_{T_{s}}$ （移动平均值）。这条线保留了低频的动态：它既有直流分量，也跟随着那个正弦扰动在波动。

（c）Output voltage $v (t)$ ：电压也是一样的。虽然开关动作带来了剧烈的纹波，但经过移动平均处理后，那条 $⟨ v (t) ⟩_{T_{s}}$ 线清晰地展示出了电压的直流分量 $V$ 和那个缓慢变化的交流分量。

（d）Inductor voltage $v_{L} (t)$ ——重点来了。这是解开 DCM 之谜的钥匙。

那个开关波形 $v_{L} (t)$ 是一个典型的 DCM 脉冲序列，我们在第 5 章见过它：

v_{L} (t) = {\begin{cases} v_{g} (t) & during d_{1} T_{s} (晶体管导通，二极管关断) \\ v (t) & during d_{2} T_{s} (晶体管关断，二极管导通) \\ 0 & during d_{3} T_{s} (全关断，电感电流为 0) \end{cases} (15.2)

其中 $d_{1} + d_{2} + d_{3} = 1$ 。

现在，盯着那个平均电压 $⟨ v_{L} (t) ⟩_{T_{s}}$ 。你会发现一个反直觉的现象：它要么是 0，要么极度接近 0。

那个看似微妙的伏秒平衡

这并不是巧合。让我们把镜头拉近，盯住两个连续的开关周期。为了讲清楚这件事，我们假设第二个周期的占空比比第一个周期大了一点点（增加了 $Δ d$ ）。

电感电压的移动平均定义是：

⟨ v_{L} (t) ⟩_{T_{s}} = \frac{1}{T_{s}} \int_{t - T_{s} / 2}^{t + T_{s} / 2} v_{L} (τ) d τ (15.3)

利用电感的 V-I 关系 $v = L (d i / d t)$ ，这个积分可以转化为电流差：

⟨ v_{L} (t) ⟩_{T_{s}} = \frac{L}{T_{s}} (i_{L} (t + T_{s} / 2) - i_{L} (t - T_{s} / 2)) (15.3 的展开)

现在的关键点来了：在 DCM 下，电感电流在每个周期的开头和结尾都是 0。对于任何时刻 $t$ ，只要这个时间窗口跨越了一个完整的 DCM 周期，我们就有：

i_{L} (t - T_{s} / 2) = i_{L} (t + T_{s} / 2) = 0 (15.4)

把这个结果代回去，直接得出：

⟨ v_{L} (t) ⟩_{T_{s}} = 0 (15.5)

这告诉我们什么？这意味着，无论系统是否处于稳态，在 DCM 下，电感的伏秒平衡不仅仅是一个稳态结论，它在每一个瞬间都近似成立。

等等，这里有个坑

如果你盯着那条平均电压曲线死磕，你可能会发现 $⟨ v_{L} (t) ⟩_{T_{s}}$ 并不是一条完美的直线，它在 $d_{2} T_{s}$ 那个时间段里还是有一些小小的脉冲波动。

你说得对，它确实不是严格的数学意义上的 0。

但从物理直觉上讲，这些非零脉冲非常短（只存在于 $d_{2} T_{s}$ 期间），幅度也相对很小。这些脉冲实际上是由于占空比调制引入的「采样效应」——也就是我们在 15.5 节会细谈的高频动态。

对于本章我们要建立的主流、低频模型而言，这些脉冲属于「高频噪声」级别，不改变大局。

所以，我们可以放心地做出那个对后续建模至关重要的近似假设：在 DCM 下，电感电压的平均值始终为零。

⟨ v_{L} (t) ⟩_{T_{s}} \approx 0 (15.6)

记住这个结论。这意味着在低频等效电路里，电感的两端电压被强制相等——或者说，电感在低频看来就像一根短路导线。这和 CCM 下电感作为独立储能元件的形象截然不同，这也正是 DCM 变换器动态特性发生根本转变的根源。

💡 一个判断「电感已经透明」的直觉：你可以这样自检——如果在一个开关周期里，电感电流的峰值和谷值之差，已经和平均值本身同量级（甚至谷值归零），那 $⟨ v_{L} ⟩ \approx 0$ 这条「强盗假设」就用得理直气壮。反过来，只要纹波远小于直流分量，电感就还是那个老老实实的储能元件，CCM 那套二阶模型才管用。一句话：纹波越大，电感越「透明」。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

15.1 DCM 变换器动态特性导论 ​

从零开始——DCM 波形的真相 ​

15.3 波形分解：开关纹波与平均量 ​

那个看似微妙的伏秒平衡 ​

等等，这里有个坑 ​

15.1 DCM 变换器动态特性导论

从零开始——DCM 波形的真相

15.3 波形分解：开关纹波与平均量

那个看似微妙的伏秒平衡

等等，这里有个坑