示例：包含 ESR 的 Boost 变换器状态空间平均

7.5.5 示例：包含 ESR 的 Boost 变换器状态空间平均

作为状态空间平均法的最后一次实战演练，我们来对付一个带 ESR 的非理想 Boost 变换器。

这次的电路里多了一个让无数学生栽跟头的元件——电容的等效串联电阻 $R_{C}$ （图中虚线框内的部分）。除此之外，我们依然假设其他元件都是理想的。

为什么要特意把这个 $R_{C}$ 拿出来说？因为它会破坏一个我们在理想模型里习以为常的假设：连续性。

7.5.5.1 当 $v (t)$ 不再平滑：ESR 带来的跳变

请注意波形图。在理想模型里，我们总说「输出电压 $v (t)$ 的纹波很小，可以近似看作常数」——也就是小纹波近似。这在只有电容 $C$ 的时候是对的。

但一旦加上 $R_{C}$ ，情况就变了。

当二极管导通（也就是开关关断）的瞬间，电感电流 $i_{L} (t)$ 会瞬间流过 $R_{C}$ 。这意味着什么？意味着输出电压 $v (t)$ 会出现瞬间的跳变（Discontinuity）。 $v (t) = v_{C} (t) + i_{L} (t) R_{C}$ ，既然 $i_{L}$ 发生了突变（从 0 跳到某个值）， $v (t$ ) 必然跟着跳。

这就是初学者最容易晕的地方：输出电压 $v (t)$ 不再是连续的，它会有锯齿状的跳变。

这就引出了一个极其重要的规则：绝对不要试图对输出电压 $v (t)$ 应用小纹波近似。如果你强行用 $V \approx v (t)$ 代入微分方程，你的模型从这一刻开始就已经废了。

那我们该怎么办？

我们把目光稍微移开一点，看那个被电阻 $R_{C}$ 串联着的「理想电容」两端的电压——记作 $v_{C} (t)$ 。这个电压是连续的，而且纹波确实很小。所以，我们的状态变量必须是 $v_{C} (t)$ ，而不是直接把输出电压 $v (t)$ 当作状态。

这一步的选错，是导致平均化推导全盘皆输的头号原因。

7.5.5.2 定义变量：状态、输入与输出

好，现在我们来严格定义这场戏的角色表。

状态向量 $x (t)$ ：这是系统的「记忆」，也就是那些携带过去信息的变量。对于这个电路，独立的状态显然是电感电流和理想电容电压。

x (t) = [\begin{matrix} i_{L} (t) \\ v_{C} (t) \end{matrix}] (7.144)

注意，这里明确是 $v_{C} (t)$ ，不是输出电压 $v (t)$ 。

输入向量 $u (t)$ ：这是外界强加给系统的驱动力。这里只有一个独立的输入源，那就是输入电压 $v_{g} (t)$ 。

u (t) = [\begin{matrix} v_{g} (t) \end{matrix}] (7.145)

输出向量 $y (t)$ ：这是我们想要观察的信号。对于 Boost 变换器，输入电流 $i_{g} (t)$ 其实就等于 $i_{L} (t)$ ，这已经包含在状态向量里了，没必要重复。但是，输出电压 $v (t)$ 不同。因为引入了 $R_{C}$ ， $v (t)$ 不再等于状态变量 $v_{C} (t)$ 。我们需要用额外的方程来描述它。所以，输出向量里只放这一个变量：

y (t) = [\begin{matrix} v (t) \end{matrix}] (7.146)

7.5.5.3 子区间 1：开关导通 (MOSFET ON)

当 MOSFET 闭合时，二极管反偏截止。电路很简单：电感直接连在输入电压上，电容和电阻自己玩。

列出状态方程：

对于电感：

L \frac{d i_{L} (t)}{d t} = v_{g} (t) (7.147)

对于电容，这里要小心。流过电容的电流 $i_{C} (t)$ 是多少？看图，电容 $C$ 和电阻 $R_{C}$ 、负载 $R$ 组成了一个回路。电容两端的电压是 $v_{C} (t)$ ，回路里的总电阻是 $R + R_{C}$ 。根据欧姆定律，回路电流（即电容电流，假设流出为正）是 $- v_{C} (t) / (R + R_{C})$ 。

C \frac{d v_{C} (t)}{d t} = - \frac{v_{C} (t)}{R + R_{C}} (7.147 续)

注意这里没有出现 $v (t)$ ，全是 $v_{C} (t)$ 。这是必须的，因为状态方程只能由状态变量 $x$ 和输入变量 $u$ 组成，不能混入输出变量 $y$ 。

列出输出方程：我们要算输出电压 $v (t)$ 。 $R$ 上的电压就是输出电压。利用分压公式， $v (t)$ 是 $v_{C} (t)$ 的 $R / (R + R_{C})$ 倍。

v (t) = v_{C} (t) \frac{R}{R + R_{C}} (7.148)

写成矩阵形式：把这些式子塞进 $K \dot{x} = A x + B u$ 的标准模子里：

[\begin{matrix} L & 0 \\ 0 & C \end{matrix}] \frac{d}{d t} [\begin{matrix} i_{L} (t) \\ v_{C} (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & - \frac{1}{R + R_{C}} \end{matrix}] [\begin{matrix} i_{L} (t) \\ v_{C} (t) \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{g} (t) \end{matrix}] (7.149)

输出方程为：

[\begin{matrix} v (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & \frac{R}{R + R_{C}} \end{matrix}] [\begin{matrix} i_{L} (t) \\ v_{C} (t) \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{g} (t) \end{matrix}] (7.149 续)

7.5.5.4 子区间 2：开关关断 (MOSFET OFF)

当 MOSFET 断开，电感通过二极管向输出端释放能量。这部分的电路分析是重灾区，务必跟上思路。

列出状态方程：

电感方程：电感电压等于输入电压减去输出电压。 $L \frac{d i_{L}}{d t} = v_{g} (t) - v (t)$ 。但是！我们不能写 $v (t)$ 。我们要把 $v (t)$ 用状态变量表示出来。根据输出回路， $v (t)$ 是由 $v_{C} (t)$ 经过分压，再叠加上 $i_{L} (t)$ 在 $R ∥ R_{C}$ 上的压降构成的。 $v (t) = v_{C} (t) \frac{R}{R + R_{C}} + i_{L} (t) (R ∥ R_{C})$ 。把这个 $v (t)$ 代回电感方程：
$\begin{aligned} L \frac{d i_{L} (t)}{d t} & = v_{g} (t) - (v_{C} (t) \frac{R}{R + R_{C}} + i_{L} (t) (R ∥ R_{C})) \\ = v_{g} (t) - i_{L} (t) (R ∥ R_{C}) - v_{C} (t) \frac{R}{R + R_{C}} \end{aligned} (7.150)$
电容方程：电容电流 $i_{C} (t) = C \frac{d v_{C}}{d t}$ 。它等于流过 $R$ 的总电流减去流过 $C$ 自己的电流？不，让我们用节点法。电容 $C$ 和 $R_{C}$ 串联。 $v (t)$ 是整个串联支路的端电压。 $v_{C}$ 是电容电压。 $i_{C} (t) = \frac{v (t) - v_{C} (t)}{R_{C}}$ 。同样，我们要消掉 $v (t)$ 。代入刚才的 $v (t)$ 表达式：
$\begin{aligned} C \frac{d v_{C} (t)}{d t} & = \frac{1}{R_{C}} ((v_{C} (t) \frac{R}{R + R_{C}} + i_{L} (t) (R ∥ R_{C})) - v_{C} (t)) \\ = \frac{1}{R_{C}} (i_{L} (t) (R ∥ R_{C}) - v_{C} (t) \frac{R_{C}}{R + R_{C}}) \end{aligned}$
注意 $(R ∥ R_{C}) = \frac{R R_{C}}{R + R_{C}}$ 。化简后得到：
$C \frac{d v_{C} (t)}{d t} = - \frac{v_{C} (t)}{R + R_{C}} + i_{L} (t) \frac{R}{R + R_{C}} (7.150 续)$

列出输出方程：这里直接用刚才推导的结果：

v (t) = v_{C} (t) \frac{R}{R + R_{C}} + i_{L} (t) (R ∥ R_{C}) (7.151)

写成矩阵形式：整理一下系数矩阵，这就是子区间 2 的 $A_{2}, B_{2}, C_{2}, E_{2}$ ：

[\begin{matrix} L & 0 \\ 0 & C \end{matrix}] \frac{d}{d t} [\begin{matrix} i_{L} (t) \\ v_{C} (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} - (R ∥ R_{C}) & - \frac{R}{R + R_{C}} \\ \frac{R}{R + R_{C}} & - \frac{1}{R + R_{C}} \end{matrix}] [\begin{matrix} i_{L} (t) \\ v_{C} (t) \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{g} (t) \end{matrix}] (7.152)

[\begin{matrix} v (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} R ∥ R_{C} & \frac{R}{R + R_{C}} \end{matrix}] [\begin{matrix} i_{L} (t) \\ v_{C} (t) \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{g} (t) \end{matrix}]

7.5.5.5 平均化：扰动前的宁静

现在我们手里有两套完整的矩阵（ $A_{1} \dots$ 和 $A_{2} \dots$ ）。接下来就是状态空间平均法的核心仪式：加权平均。

A = D A_{1} + D^{'} A_{2}, B = D B_{1} + D^{'} B_{2} \dots

把计算结果直接列出来（这是纯代数活，建议自己推导一遍验证）：

[\begin{matrix} L & 0 \\ 0 & C \end{matrix}] \frac{d}{d t} [\begin{matrix} I_{L} \\ V_{C} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - D^{'} (R ∥ R_{C}) & - \frac{D^{'}}{R + R_{C}} \cdot R \\ \frac{D^{'}}{R + R_{C}} \cdot R & - \frac{1}{R + R_{C}} \end{matrix}] [\begin{matrix} I_{L} \\ V_{C} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} V_{g} \end{matrix}] (7.153)

[\begin{matrix} V \end{matrix}] = [\begin{matrix} D^{'} (R ∥ R_{C}) & \frac{R}{R + R_{C}} \end{matrix}] [\begin{matrix} I_{L} \\ V_{C} \end{matrix}]

注意这里所有的 $i_{L}, v_{g}, v_{C}$ 都已经变成了大写的直流平均值 $I_{L}, V_{g}, V_{C}$ 。这是我们的稳态直流模型的数学描述。

7.5.5.6 构建稳态等效电路

光看矩阵太抽象了，我们把它画回电路图，看看这些方程到底在说什么。为了方便，我们先利用输出方程把 $V_{C}$ 消掉，改用输出电压 $V$ 来表示。这会得到三个核心方程：

电感回路方程 (7.154a)：
$0 = V_{g} - D^{'} V - D D^{'} I_{L} (R ∥ R_{C})$
这代表什么？ $V_{g}$ 是源。 $D^{'} V$ 是负载上的电压折算回来。 $D D^{'} I_{L} (R ∥ R_{C})$ 是什么？看起来像是一个电阻上的压降。对应的物理图像是：我们在电感回路里串联了一个电阻 $D D^{'} (R ∥ R_{C})$ 。
输出节点方程 (7.154b)：
$0 = D^{'} I_{L} - \frac{V}{R}$
这代表基尔霍夫电流定律（KCL）。流出的电流是 $V / R$ ，流入的电流来自等效的电流源 $D^{'} I_{L}$ （或者折算后的变压器二次侧电流）。
电容连接方程 (7.154c)：
$V = V_{C} \frac{R}{R + R_{C}} + D^{'} I_{L} (R ∥ R_{C})$
这个方程描述了理想电容电压 $V_{C}$ 和实际输出电压 $V$ 之间的关系。前一项是分压；后一项是电流流过并联电阻产生的压升。这暗示了电容 $C$ 是通过电阻 $R_{C}$ 接到输出节点的。

拼图时间：把上面三部分拼起来，就得到了完整的稳态模型。你会惊讶地发现，这个模型和理想 Boost 模型非常像，只是多了两个东西：

电感回路里多了个串联电阻 $R_{e q} = D D^{'} (R ∥ R_{C})$ 。
电容依然串联着 $R_{C}$ 。 有趣的推论：由于是稳态，电容相当于开路。模型中流过 $R_{C}$ 的电流是 0，所以 $V_{C} = V$ 。但这并不意味着 $R_{C}$ 没用，它在计算效率损耗时非常重要。

7.5.5.7 小信号交流模型：注入扰动

稳态只是地基，真正的目标是动态响应。现在我们要把所有变量扰动一下：

v_{g} \to V_{g} + {\hat{v}}_{g}, i_{L} \to I_{L} + {\hat{i}}_{L}, d \to D + \hat{d} \dots

代入平均状态方程，利用泰勒展开一阶近似（忽略高阶项），得到著名的线性化状态空间方程 (7.155 - 7.157)。

为了画出交流模型，我们再次用输出方程把 ${\hat{v}}_{C}$ 消掉，换成输出电压 $\hat{v}$ 。经过一番并不复杂但容易算错的代数运算，我们得到三个关键的小信号方程：

电感回路方程 (7.158a)：
$L \frac{d {\hat{i}}_{L}}{d t} = {\hat{v}}_{g} - D^{'} \hat{v} - D D^{'} (R ∥ R_{C}) {\hat{i}}_{L} + ((D - D^{'}) (R ∥ R_{C}) I_{L} + V) \hat{d}$
这里面包含：
- 自感项 $L \frac{d {\hat{i}}_{L}}{d t}$ 。
- 电阻压降项 $- D D^{'} (R ∥ R_{C}) {\hat{i}}_{L}$ （串联电阻还在）。
- 受控源项 $((D - D^{'}) (R ∥ R_{C}) I_{L} + V) \hat{d}$ 。这就是那个控制输入电压源。
输出节点方程 (7.158b)：
$C \frac{d {\hat{v}}_{C}}{d t} = D^{'} {\hat{i}}_{L} - \frac{\hat{v}}{R} - I_{L} \hat{d}$
这是 KCL。注意这里电容电流是从节点流出的（或者说是电容支路的方程）。
电容连接方程 (7.158c)：
$\hat{v} = {\hat{v}}_{C} \frac{R}{R + R_{C}} + (D^{'} {\hat{i}}_{L} - I_{L} \hat{d}) (R ∥ R_{C})$
这决定了电容支路的具体结构。

画图验证：根据方程 7.158a，我们可以画出电感侧的子电路。根据方程 7.158b 和 7.158c，我们可以画出电容侧的子电路。最后把它们合起来，就得到最终的交流模型。

最终的 AC 模型揭示了什么？

ESR $R_{C}$ 的存在不仅改变了直流损耗，还在传递函数中引入了额外的极零点。因为现在输出电压 $\hat{v}$ 和电容内部电压 ${\hat{v}}_{C}$ 是分压关系，这构成了一个额外的 $R C$ 滤波网络。
这解释了为什么有时候你的示波器上看到的纹波比理论计算的大——那个尖峰就是 $i_{L} \cdot R_{C}$ 。

至此，我们完成了从物理电路到数学矩阵，再回到等效电路模型的完整闭环。这就是状态空间平均法的全部威力。

💡 ESR 零点的实战意义：这一节推导出的那个「额外极零点」可不是数学花瓶——它就是大名鼎鼎的 ESR 零点 $f_{z} = 1 / (2 π R_{C} C)$ 。它通常落在几 kHz 到几十 kHz，位置恰好在你最需要相位裕度的地方。电解电容的 ESR 大、零点频率低，反而救了环路一把（提供相位抬升）；换成低 ESR 的陶瓷电容后，零点频率飙高，相位裕度可能突然不够，环路开始振荡。这就是为什么很多老电源工程师换陶瓷电容后会翻车——ESR 太小，原本「白送」的相位补偿没了。所以设计环路前，先算清楚你那个电容的 ESR 零点落在哪。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

7.5.5 示例：包含 ESR 的 Boost 变换器状态空间平均 ​

7.5.5.1 当 v(t) 不再平滑：ESR 带来的跳变 ​

7.5.5.2 定义变量：状态、输入与输出 ​

7.5.5.3 子区间 1：开关导通 (MOSFET ON) ​

7.5.5.4 子区间 2：开关关断 (MOSFET OFF) ​

7.5.5.5 平均化：扰动前的宁静 ​

7.5.5.6 构建稳态等效电路 ​

7.5.5.7 小信号交流模型：注入扰动 ​