一个更精确的模型 | 硬件学习笔记

18.3 一个更精确的模型

上一节推导出的「简单一阶模型」就像一把瑞士军刀——顺手、锋利，能处理绝大多数低频下的设计问题。

但有些事情，它做不了。

比如，如果你用它去推算 Buck 变换器的输入-输出传递函数 $G_{v g} (s)$ ，结果会直接等于 0。这显然不对。实际电路里，输入电压的波动总会或多或少地传导到输出端，不可能完全消失。简单模型为了获得「一阶」的美感，丢掉了高频纹波和输入电压耦合的细节，导致它对这些细微扰动的预测失效。

为了回答「输入扰动到底有多大」这类问题，我们需要一个更诚实的模型。

这次，我们不再假设 $⟨ i_{L} (t) ⟩_{T_{s}} \approx i_{c} (t)$ 这个偷懒的近似。我们将重新审视那个包含电感纹波和人工斜坡的波形图，推导出平均电感电流和控制信号之间真正的关系。我们会把算出来的控制器模型挂回第 7 章推导的平均电路模型上，最终得到一套完整的 CPM 变换器模型。

18.3.1 电流程序控制器的模型修正

让我们把目光放回到波形上。

在第 7 章里，我们用一个移动平均窗口来定义平均值：

⟨ i_{L} (t) ⟩_{T_{s}} = \frac{1}{T_{s}} \int_{t - T_{s} / 2}^{t + T_{s} / 2} i_{L} (τ) d τ

在电压模式下，由于占空比 $d$ 是我们直接控制的量，所以这个窗口放在哪里其实无所谓——只要窗口长度是一个开关周期，算出来的结果都是一样的。

但在电流程序控制（CPM）里，规矩变了。

这里占空比 $d$ 不是直接输入的，而是由 $i_{c} (t)$ 在开关动作时刻（ $d T_{s}$ ）决定的。这意味着系统的采样发生在 $t = d T_{s}$ 这一点。为了准确反映这个物理过程，我们必须把平均窗口的中心点，死死地钉在这个采样时刻上。

窗口的选择

既然采样发生在 $d T_{s}$ ，我们根据式（7.3）的移动平均定义，把平均值写得更具体一点——让它对应当前开关周期内的采样点：

⟨ i_{L} ⟩_{T_{s}} = ⟨ i_{L} (d T_{s}) ⟩_{T_{s}} = \frac{1}{T_{s}} \int_{(d - 0.5) T_{s}}^{(d + 0.5) T_{s}} i_{L} (τ) d τ

注意这个积分的上下限：从 $(d - 0.5) T_{s}$ 到 $(d + 0.5) T_{s}$ 。这意味着我们的观测窗口是以当前周期的开关动作时刻为中心的。

重新推导平均值

有了这个精确的窗口，我们就可以开始算面积了。我们把这段波形切成三块来处理：

前段：从 $(d - 0.5) T_{s}$ 到 $0$ ，这段的电流平均值对应 $i_{3}$ 。
中段：从 $0$ 到 $d T_{s}$ ，导通阶段，平均值对应 $i_{1}$ 。
后段：从 $d T_{s}$ 到 $(d + 0.5) T_{s}$ ，关断阶段，平均值对应 $i_{2}$ 。

还有一个尾巴需要减掉：为了凑齐整个 $T_{s}$ 的窗口，我们需要减去从 $(d + 0.5) T_{s}$ 到 $T_{s}$ 那一小块三角形的面积（对应 $i_{4}$ ）。

把这三段面积拼起来，再减去那个尾巴，我们就能得到一个表达式。原文里通过计算这些梯形的面积和重心，推导出了一个看起来有点绕的式子：

⟨ i_{L} (d T_{s}) ⟩_{T_{s}} = d i_{1} + d^{'} i_{2} - (0.5 - d) (i_{4} - i_{3})

这里有个几何技巧：注意看 $i_{4}$ 和 $i_{3}$ 之间的时间间隔是一个完整的 $T_{s}$ ，而 $i_{1}$ 到 $i_{2}$ 只有半个周期。因为电流的斜率是恒定的，所以 $i_{4} - i_{3} = 2 (i_{2} - i_{1})$ 。

把这就代入上式，那项复杂的 $(0.5 - d)$ 系数会和前面的系数奇迹般地抵消，最后得到一个极其简洁的结果：

⟨ i_{L} ⟩_{T_{s}} = d^{'} i_{1} + d i_{2}

⚠️ 文献里的分歧（不要滑过去）

这一步推导至关重要，因为不同的教科书和论文在这里的处理方式不一样，这直接导致了模型在高频段的差异。

有些文献（比如 [169]）如果简单地把窗口定在 $0$ 到 $T_{s}$ （以周期开始为中心），得到的结果是 $d i_{1} + d^{'} i_{2}$ 。在稳态（直流）下， $i_{1} \approx i_{2}$ ，这两个公式确实是一样的。但在动态（高频交流）下，谁是对的？

这里采用的 $d^{'} i_{1} + d i_{2}$ 是经过严格采样数据分析验证的（见 [107] 和后续的 18.7 节）。它正确地捕捉了 PWM 调制器的采样保持效应。这是模型精度的关键。

引入纹波和斜坡

现在我们需要把 $i_{1}$ 和 $i_{2}$ 这两个具体的电流值，用我们已知的控制量 $i_{c}$ 和电路参数表示出来。

看回这套几何关系：

$i_{1}$ 是导通阶段的中点电流。它是峰值电流 $i_{p k}$ 往回退半个上升沿（ $m_{1} d T_{s} / 2$ ）。
$i_{2}$ 是关断阶段的中点电流。它是峰值电流 $i_{p k}$ 往回退半个下降沿（ $m_{2} d^{'} T_{s} / 2$ ）。

而且别忘了，在加入人工斜坡后，峰值电流 $i_{p k}$ 并不等于控制指令 $i_{c}$ 。它们之间差了一段人工斜坡的高度 $m_{a} d T_{s}$ ：

i_{p k} = i_{c} - m_{a} d T_{s}

把这些关系全部拼凑起来，代入刚才的 $d^{'} i_{1} + d i_{2}$ ，经过一顿代数操作，我们终于得到了真正的大信号平均方程：

⟨ i_{L} ⟩_{T_{s}} = i_{c} - m_{a} d T_{s} - \frac{m_{1} + m_{2}}{2} d d^{'} T_{s}

这就是我们一直想要的表达式。它诚实地告诉我们：平均电感电流 $⟨ i_{L} ⟩_{T_{s}}$ 实际上是由三部分组成的：

控制指令 $i_{c}$ 。
人工斜坡造成的偏差（ $m_{a} d T_{s}$ ）。
电感纹波造成的固有偏差（那项 $m_{1}, m_{2}$ 的组合）。

你看，并不是「给了 $i_{c}$ ，电感电流就是 $i_{c}$ 」这么简单。中间有一个明显的偏差量。

18.3.2 小信号平均模型

有了这个准确的大信号方程，我们终于可以开始做线性化了。我们要在这个方程上加一点扰动，看看各个变量之间到底是怎么耦合的。

我们给所有变量都带上一个「帽子」：

⟨ i_{L} ⟩_{T_{s}} = I_{L} + {\hat{i}}_{L} (t)

i_{c} = I_{c} + {\hat{i}}_{c} (t)

d (t) = D + \hat{d} (t)

m_{1} = M_{1} + {\hat{m}}_{1} (t)

m_{2} = M_{2} + {\hat{m}}_{2} (t)

为什么斜率也要扰动？

这是一个容易让人晕的地方。我们之前说 $m_{1}$ 和 $m_{2}$ 是斜率，它们怎么会变？因为对于 Buck、Boost 这些变换器，斜率取决于电压：

$m_{1}$ 通常正比于 $(v_{g} - v)$ 。
$m_{2}$ 通常正比于 $v$ 。

如果输入电压 $v_{g}$ 或者输出电压 $v$ 发生了微扰，电感电流的上升下降斜率自然也会跟着微调。所以，必须把 ${\hat{m}}_{1}$ 和 ${\hat{m}}_{2}$ 考虑进来。

对于三种基本拓扑，它们的斜率扰动公式列在下面（记住这些，后面要用）：

Buck 变换器:

{\hat{m}}_{1} = \frac{{\hat{v}}_{g} - \hat{v}}{L}, {\hat{m}}_{2} = \frac{\hat{v}}{L}

Boost 变换器:

{\hat{m}}_{1} = \frac{{\hat{v}}_{g}}{L}, {\hat{m}}_{2} = \frac{\hat{v} - {\hat{v}}_{g}}{L}

Buck-Boost 变换器:

{\hat{m}}_{1} = \frac{{\hat{v}}_{g}}{L}, {\hat{m}}_{2} = - \frac{\hat{v}}{L}

好了，把这些扰动代入大信号方程，消除直流项，只保留一阶小量。经过一番推导（原文的 Eq 18.70 到 18.72），我们可以把占空比的扰动 $\hat{d} (t)$ 单独解出来。

这是一个关键步骤。我们是在求「我要把占空比改变多少，才能抵消掉电流误差和电压波动」。

\hat{d} (t) = \frac{1}{F_{m}^{- 1}} ({\hat{i}}_{c} (t) - {\hat{i}}_{L} (t) - F_{g} {\hat{v}}_{g} (t) - F_{v} \hat{v} (t))

这里，我们把一堆系数打包成了三个非常直观的增益：

$F_{m}$ (调制器增益): 这是控制核心。
$F_{m} = \frac{1}{(M_{a} + M_{1} - M_{2}) T_{s} / 2}$
注意分母里的 $M_{1} - M_{2}$ ，这其实就是我们之前用来判断稳定性的那个量。如果 $M_{a}$ 足够大，这个增益就会变小，系统变慢但更稳定。
$F_{g}$ 和 $F_{v}$ (前馈增益): 这两项反映了 ${\hat{m}}_{1}$ 和 ${\hat{m}}_{2}$ 的影响。
- $F_{g}$ 代表输入电压 ${\hat{v}}_{g}$ 的扰动是如何通过改变电感上升斜率，进而被控制器「感知」并修正占空比的。
- $F_{v}$ 代表输出电压 $\hat{v}$ 的扰动是如何通过改变电感下降斜率影响占空比的。

这三种拓扑（Buck, Boost, Buck-Boost）的具体 $F_{g}$ 和 $F_{v}$ 系数列在了 Table 18.2 里。你会发现，对于 Buck 变换器， $F_{g}$ 不为 0 但 $F_{v} = 0$ ——因为 Buck 的下降沿只取决于输出电压，但在我们的推导模型中，这一项的处理方式会反映在输入阻抗上。

控制器方框图

方程（18.73）其实就是一个极其完美的控制系统方框图说明书。

这个方程画出来就是一个控制器的方块图。你可以看到，这个控制器不仅仅是盯着电流 ${\hat{i}}_{L}$ 跟随指令 ${\hat{i}}_{c}$ ，它实际上构建了一个复杂的反馈网络：

主回路：计算误差 ${\hat{i}}_{c} - {\hat{i}}_{L}$ ，乘以增益 $F_{m}$ 得到占空比 $\hat{d}$ 。
前馈回路：输入电压 ${\hat{v}}_{g}$ 和输出电压 $\hat{v}$ 的变化，被 $F_{g}$ 和 $F_{v}$ 加权后，直接参与调节 $\hat{d}$ 。

这解释了为什么 CPM 变换器对输入电压扰动有极快的抑制能力（电压前馈）——因为还没等外环电压反馈反应过来，内环电流环已经因为斜率变化（ $F_{g}$ 项）自动调整了占空比。

最终的 CPM 变换器模型

有了这个控制器「黑盒子」，我们只需要把它接到第 7 章推导出的平均电路模型（也就是那个包含 $1 : D$ 的理想变压器模型）上。

Buck、Boost 和 Buck-Boost 三种拓扑的完整 CPM 模型结构是相似的。

仔细看 Buck 的 CPM 模型。你会发现里面出现了一些受控源：

${\hat{i}}_{L}$ 被反馈回来。
${\hat{v}}_{g}$ 被前馈。
$\hat{v}$ （输出电压）也在那里通过 $F_{v}$ 起作用。

这就是所谓的「精确模型」。它看起来比 18.1 节那个简单模型复杂得多，因为它保留了电感极点的动态特性，并且把输入电压对占空比的耦合关系（ $F_{g}$ ）也显式地画出来了。

有了这张图，我们就可以像分析普通电路一样，用节点电压法或者回路电流法，去算出那个在简单模型里被忽略的 $G_{v g} (s)$ ，或者更精确的 $G_{v d} (s)$ 。

这才是真正的工程视角——不仅仅是让它「工作」，而是搞清楚每一个微小扰动的来龙去脉。

为什么这么设计：精确模型里那个 $F_{m} = 1 / ((M_{a} + M_{1} - M_{2}) T_{s} / 2)$ 的分母藏着 $M_{a}$ ，这就是人工斜坡「调增益」的物理入口—— $M_{a}$ 越大，调制器增益 $F_{m}$ 越小，电流环越「钝」。这正好和 18.2 节用几何推导出来的稳定性结论对上了：斜坡越陡，特征值 $| α |$ 越小。同一件事，一个从时域几何看，一个从频域增益看，殊途同归。这种「两个视角互相印证」的感觉，是判断一个模型有没有抓到本质的好办法。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

18.3 一个更精确的模型 ​

18.3.1 电流程序控制器的模型修正 ​

窗口的选择 ​

重新推导平均值 ​

引入纹波和斜坡 ​

18.3.2 小信号平均模型 ​

控制器方框图 ​

最终的 CPM 变换器模型 ​