电流程序控制传递函数：精确推导与隐含的真相

18.4 电流程序控制传递函数：精确推导与隐含的真相

上一节我们手里终于拿到了那张完整的、包含所有细节的「精确 CPM 模型图」。那个看起来像受控源迷宫的东西，其实是在告诉我们：这个世界比简单的 $⟨ i_{L} ⟩ \approx i_{c}$ 要复杂那么一点点。

但这多出来的一点点复杂性——那些 $F_{g}$ 、 $F_{v}$ 以及有限的 $F_{m}$ ——到底改变了什么？

为了回答这个问题，我们需要把上一节推导出的模型变成真正的数学表达式。这不是为了凑公式，而是为了看清当我们把电感电流纹波和人工斜坡考虑进去后，那个经典的「单极点」假设到底有多稳健，以及在什么情况下会失效。

18.4.1 从反馈定理看 CPM：一场关于精度的交易

还记得我们在第 13 章里学的反馈定理吗？那是处理这种复杂闭环系统的金钥匙。

我们先把那些具体的电路图抽象成一个通用的框图。在这个框图里，有两个输入量：一个是控制信号 ${\hat{i}}_{c}$ （这是我们要调节的），一个是输入电压扰动 ${\hat{v}}_{g}$ （这是我们要抑制的）。输出量自然是 $\hat{v}$ 。

但在深入之前，我们必须先解决一个基础问题：如果没有电流环，这个变换器原本长什么样？

这就是我们要复习的基础传递函数。在第 7 章，我们其实已经算过这些东西了。对于一个纯粹的电压模式控制（Duty Cycle Control）变换器，输出电压 $\hat{v}$ 是由占空比 $\hat{d}$ 和输入电压 ${\hat{v}}_{g}$ 共同决定的：

\hat{v} (s) = G_{v d} (s) \hat{d} (s) + G_{v g} (s) {\hat{v}}_{g} (s)

同样的逻辑，电感电流 ${\hat{i}}_{L}$ 也是由这两个量决定的：

{\hat{i}}_{L} (s) = G_{i d} (s) \hat{d} (s) + G_{i g} (s) {\hat{v}}_{g} (s)

这里的 $G_{v d} (s)$ 、 $G_{v g} (s)$ 、 $G_{i d} (s)$ 和 $G_{i g} (s)$ 是开环传递函数，也就是没有任何电流反馈时的原始特性。它们完全取决于电路拓扑（Buck/Boost/Buck-Boost）和无源元件（L、C、R），完全不管你用什么控制芯片。你可以把它们理解为变换器的「DNA」。

现在，我们要把 CPM 电流环套在这个原始 DNA 上。

应用反馈定理

为了套用反馈定理，我们需要在这个框图里找一个合适的地方切断环路，并在那里注入一个测试信号 ${\hat{v}}_{z}$ 。

根据反馈定理，闭环后的控制-输出传递函数 $G_{v c} (s)$ 可以表示为：

G_{v c} (s) = \frac{G_{\infty} T_{i}}{1 + T_{i}} + \frac{G_{0}}{1 + T_{i}}

这看起来很吓人，但其实它只是在说：总增益等于（理想增益 $\times$ 环路增益）加上（直通增益），再除以（1 + 环路增益）。

这里的 $T_{i} (s)$ 是什么？它是电流环路增益。从框图可以看出，反馈路径有两条：

主反馈： $\hat{d}$ 通过 $G_{i d}$ 影响 ${\hat{i}}_{L}$ ，再通过 $F_{m}$ 回来。
辅助反馈： $\hat{d}$ 通过 $G_{v d}$ 影响 $\hat{v}$ ，再通过 $F_{v}$ 反馈回来（在 Buck 里 $F_{v} = 0$ ，这一项消失了）。

所以， $T_{i} (s)$ 的完整表达式是：

T_{i} (s) = F_{m} (G_{i d} + F_{v} G_{v d})

接下来的推导是纯粹的代数游戏。我们需要算出 $G_{\infty}$ （当误差信号为零时的理想增益）和 $G_{0}$ （当环路增益为零时的直通增益）。

$G_{\infty}$ （理想前馈）：当我们强行让反馈信号 ${\hat{v}}_{y}$ 归零时，意味着 ${\hat{i}}_{c}$ 精准地抵消了 ${\hat{i}}_{L}$ 和 $F_{v} \hat{v}$ 。经过一番代数替换（把 ${\hat{i}}_{L}$ 用 $G_{i d}$ 和 $\hat{v}$ 的关系代换掉），我们得到：
$G_{\infty} = \frac{F_{m} G_{v d}}{T_{i}} = \frac{G_{v d}}{G_{i d} + F_{v} G_{v d}}$
$G_{0}$ （直通）：当我们将输入变量 ${\hat{v}}_{x}$ 归零时，你会发现 $G_{0}$ 其实是 0。因为没有环路的调节，控制信号 ${\hat{i}}_{c}$ 单纯地被截断了。

把这些结果代回反馈定理公式，我们就得到了 CPM 变换器最核心的控制-输出传递函数通式：

G_{v c} (s) = \frac{F_{m} G_{v d} (s)}{1 + F_{m} (G_{i d} (s) + F_{v} G_{v d} (s))}

请盯着这个公式看十秒钟。 它是这一章最重要的结论之一。

分子是 $F_{m} G_{v d}$ ，这是开环特性；分母是 $1 + F_{m} (\dots)$ ，这是闭环修正因子。

18.4.2 关于 Buck 变换器的深度剖析

有了通式，我们就能把具体的拓扑（Buck、Boost、Buck-Boost）代入，算出它们各自的性格。我们先拿最老实巴交的 Buck 变换器开刀。

对于 Buck 变换器（工作在 CCM 模式），我们查表（第 8 章的表或书中的表 18.3）就能得到它的原始 DNA：

$G_{v d} (s) = \frac{V}{D} \frac{1}{1 + s \frac{L}{R} + s^{2} L C}$
$G_{i d} (s) = \frac{V}{D R} \frac{1 + s R C}{1 + s \frac{L}{R} + s^{2} L C}$

这里有个好消息：对于 Buck 变换器， $F_{v} = 0$ 。这意味着输出电压波动不会通过电流纹波反过来影响平均电流。这大大简化了我们的公式。

把这两个代入刚才那个核心通式，经过一番通分和化简（过程就不折磨你了）， $G_{v c} (s)$ 可以整理成一个标准的二阶形式：

G_{v c} (s) = \frac{G_{c 0}}{1 + \frac{s}{Q_{c} ω_{c}} + (\frac{s}{ω_{c}})^{2}}

这个形式你应该很眼熟，它依然是一个二阶系统，但关键在于系数变了：

直流增益 $G_{c 0}$ ：
$G_{c 0} = \frac{\frac{V}{D} F_{m}}{1 + F_{m} \frac{V}{D R}}$
还记得简单模型里 $G_{v c} \approx R$ 吗？如果你把这个公式里的 $F_{m}$ 取无穷大，你会发现 $G_{c 0} \to R$ 。神奇吧？精确模型在极限情况下退回到了简单模型。
特征角频率 $ω_{c}$ ：
$ω_{c} = \frac{1}{\sqrt{L C}} \sqrt{1 + \frac{F_{m} V}{D R}}$
比起自然谐振频率 $1 / \sqrt{L C}$ ，这里的 $ω_{c}$ 变高了一点点。这意味着电流环让系统变快了？不完全是，这主要是闭环效应带来的参数折算。
品质因数 $Q_{c}$ （最关键的参数）：
$Q_{c} = \frac{R}{D L} \sqrt{\frac{L C}{1 + \frac{F_{m} V}{D R}}} \sqrt{1 + R C F_{m} V}$
这坨东西虽然长，但它揭示了一个至关重要的事实：电流程序控制极大地降低了 $Q$ 值。
- 如果 $F_{m}$ 很大（没有人工斜坡或斜坡很小）， $Q_{c}$ 会变得非常小（远小于 0.5）。
- 当 $Q_{c} < 0.5$ 时，二阶系统的两个极点就分裂成了两个实数极点。
这就解释了为什么我们在 18.1 节里可以大胆地把系统当成单极点系统处理——因为那个高频极点已经被推到了很远很远的地方，它在低频段根本不起作用。
利用低 $Q$ 近似，我们可以把这两个极点拆开来看：
- 低频极点 $ω_{p 1}$ ：大约是 $\frac{1 + F_{m} V / D R}{R C (1 + R C F_{m} V)}$ 。如果 $F_{m}$ 很大，这个式子就会退化为经典的 $1 / (R C)$ 。
- 高频极点 $ω_{h f}$ ：大约是 $\frac{1 + R C F_{m} V}{R C} \cdot \frac{D L}{F_{m} V}$ 。这里有个非常有意思的现象，如果我们把 $F_{m}$ 和斜率的几何关系代回去，会发现这个高频极点的位置竟然跟开关频率 $f_{s}$ 差不多！
⚠️ 踩坑预警：这个高频极点推到了 $f_{s}$ 附近，这其实是一个危险信号。这意味着我们基于「平均模型」的推导在这里已经快到了边界。真实世界里，采样和离散效应（我们在 18.7 节会讲）会在这里起作用，你用纯模拟模型算出来的高频特性是不可信的。别看它算出来有个漂亮的实数极点，实际上那里是模糊地带。

18.4.3 输入电压的前馈魔法

我们再来看看那个被简单模型完全忽略的传递函数：线-输出传递函数 $G_{v g - c p m} (s)$ 。简单模型说它是 0。真的吗？

再次代入 Buck 的参数，核心通式（18.90）告诉我们，结果并没有消失，而是变成了：

G_{v g - c p m} (s) = \frac{G_{g 0}}{1 + \frac{s}{Q_{c} ω_{c}} + (\frac{s}{ω_{c}})^{2}}

其中直流增益 $G_{g 0}$ 变成了：

G_{g 0} = D \frac{1 - F_{m} F_{g} V / D^{2}}{1 + F_{m} V / D R}

仔细看分子。如果我们人工斜坡的斜率 $M_{a}$ 选得刚刚好，满足 $M_{a} = 0.5 M_{2}$ ，那么这一项 $F_{m} F_{g}$ 就会变得非常微妙，足以让整个分子变成 0。

这意味着什么？ 意味着输入电压的扰动完全被抵消了。

这其实是 CPM 控制器里隐藏的一个超能力：电压前馈。在这个框图里，你会发现输入电压 ${\hat{v}}_{g}$ 有两条路走到输出：

走「后门」：直接通过 $G_{v g} (s)$ 钻进来（这就是 Buck 的固有扰动）。
走「前门」：通过 $F_{g}$ 项进入控制器，调节占空比 $\hat{d}$ ，再通过 $G_{v d} (s)$ 影响输出。

如果控制器设计得当，这两条路产生的扰动会在输出端精确抵消。这就是为什么 CPM 变换器对输入纹波抑制能力极强的原因——它不仅仅是在靠反馈环硬砍，它本身就有一个物理层面的抵消机制。

18.4.4 关于 Boost 和 Buck-Boost 的注脚

Boost 和 Buck-Boost 的结果我们也总结在了表 18.4 和 18.5 里。它们的结论是相似的，但有一个关键区别：它们都有 $F_{v}$ 项（输出电压会影响电感电流斜率），这会让数学推导稍微繁琐一丢丢，但核心物理图像没变——依然是电流环把 $Q$ 值砸低，把极点撕裂。

特别是对于 Boost 变换器，你会发现它的右半平面零点（RHP Zero，那个让控制噩梦的零点）依然存在。电流环并没有消灭它，只是改变了它的系数。

18.4.5 输入滤波器的陷阱（Negative Input Impedance）

最后，我们得聊聊一个真正让工程师炸机的问题：给 CPM 变换器加输入滤波器。

在第 17 章我们说过，加输入滤波器要小心阻抗不匹配。对于 CPM 变换器，这个问题变得更棘手。

我们要用到「额外元件定理」（EET）。加了滤波器后的闭环传递函数会被修正一个系数，这个系数取决于两个阻抗：

$Z_{N} (s)$ ：输出电压归零时的输入阻抗。
$Z_{D} (s)$ ：控制输入归零时的输入阻抗（即闭环输入阻抗）。

对于 Buck 变换器，我们可以用对应的精确模型推导这两个值。

$Z_{N - c p m}$ ：计算结果和传统的 Buck 一样，是 $- R / D^{2}$ 。这是一个负电阻。
$Z_{D - c p m}$ ：这个值比较复杂，因为包含了反馈环路。

这里有一个极其反直觉的事实：CPM 变换器在低频段表现出负电阻特性。

如果你在这个负电阻前面接一个 LC 输入滤波器，这就构成了一个「负电阻 + LC 谐振腔」的电路。物理学告诉我们，这东西如果不衰减，就会振荡。这就是为什么很多工程师在调试系统时，明明电压环很稳，一加上 EMI 滤波器系统就哗啦啦炸机的原因——输入滤波器的不稳定性通过负电阻被放大了。

好在，如果电流环增益 $T_{i}$ 很大（也就是我们通常追求的强电流控制），闭环输入阻抗 $Z_{D - c p m}$ 会发生改变，甚至可能在低频段变成正电阻。这就是为什么有些时候加了电流环反而对输入滤波器更「耐操」一点的原因。但这绝不意味着你可以随便乱加滤波器，那条阻抗匹配的黄金法则（ $Z_{s o u r c e} ≪ Z_{l o a d}$ ）依然是你保命的符咒。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

18.4 电流程序控制传递函数：精确推导与隐含的真相 ​

18.4.1 从反馈定理看 CPM：一场关于精度的交易 ​

18.4.2 关于 Buck 变换器的深度剖析 ​

18.4.3 输入电压的前馈魔法 ​