7.2.10 示例：考虑寄生电阻的反激变换器

在上一节里，我们建立了一套通用的「建模武器库」。为了让你确信这套东西不是只能用来做教科书式的理想模型，我们来点真格的。

我们下面要推导的，是一个带变压器隔离，且功率管导通电阻（$R_{on}$）不可忽略的反激变换器。

为什么要选这个例子？因为它是「非理想」的。 在真实的工程世界里，$R_{on}$ 会发热，变压器会漏磁，二极管会有反向恢复。如果我们的模型只能处理理想元件，那它充其量是个智力游戏，没法指导你设计电源。这一节的目标，就是把一个看起来很麻烦的实际电路，一步步变成一张标准的电路图。

7.2.10.1 电路结构与替代模型

我们要对付的对手就是一个带隔离变压器的反激变换器。

这里有几个关键设定：

• 变压器模型：它有一个励磁电感 $L$（折算到原边），匝数比是 $1:n$。
• 开关管模型：MOSFET $Q_1$ 有一个导通电阻 $R_{on}$。
• 简化假设：为了保命（省去几十页推导），我们暂时忽略变压器的漏感、开关损耗及其他寄生参数。重点只看 $R_{on}$。

在动刀之前，我们需要先把反激变压器这个「黑盒子」拆开。 还记得我们在隔离变换器那一章里怎么处理它的吗？反激变压器本质上是一个电感并联一个理想变压器。我们把它画成一个「励磁电感 + 理想变压器」的组合。

现在的任务是把它拆成两个子区间，就像我们以前做过的那样。

7.2.10.2 状态 1：开关导通（$0<t<d{T}_s$）

当 $Q_1$ 导通时，二极管 $D_1$ 承受反压截止。 原边电路接通，输入电压直接加在变压器原边，电路进入「充电」状态。

在这个状态下，我们写出三个关键方程（电感电压 $v_L$、电容电流 $i_C$、输入电流 $i_g$）：

$$\begin{array}{rl}{v}_L(t)& =v_g(t)-i(t)R_{on}\\ i_C(t)& =-\frac{v(t)}{R}\\ i_g(t)& =i(t)\end{array}$$

（注意输入电流 $i_g$，这时能量从电源流向电感，所以 $i_g$ 等于电感电流。）

接下来，我们祭出「低频分量」的大旗，用它们在一个周期内的平均值 $⟨\cdot {⟩}_{T_s}$ 来替代瞬时值。这不仅是为了数学上好写，更是为了滤除那些对控制环路无用的开关纹波。

$$\begin{array}{rl}{v}_L(t)& =⟨v_g(t){⟩}_{T_s}-⟨i(t){⟩}_{T_s}{R}_{on}\\ i_C(t)& =-\frac{⟨v(t){⟩}_{T_s}}{R}\\ i_g(t)& =⟨i(t){⟩}_{T_s}\end{array}$$

7.2.10.3 状态 2：开关关断（$d{T}_s<t<T_s$）

$Q_1$ 关断，原边开路。此时储存在电感里的能量通过副边释放，二极管 $D_1$ 导通，电路进入「放电」状态。

这里有一个很妙的细节：原边的电感电压是怎么折算到副边的？ 根据理想变压器的伏秒平衡原则（或者简单的匝比关系），原边的感应电压会体现在副边。注意那个励磁电感 $L$，它依然是在原边逻辑上存在的，但此时我们从副边看回路，列写方程时要带上匝比 $n$。

分析这一放电状态的电路，我们得到：

$$\begin{array}{rl}{v}_L(t)& =-\frac{v(t)}{n}\\ i_C(t)& =\frac{i(t)}{n}-\frac{v(t)}{R}\\ i_g(t)& =0\end{array}$$

为什么 $i_g(t)$ 是 0？因为 $Q_1$ 断开了，电源和电路之间物理断连，这一瞬间电源在「摸鱼」。

同样地，我们用平均值代替瞬时值，把这个状态也翻译成平均语言：

$$\begin{array}{rl}{v}_L(t)& =-\frac{⟨v(t){⟩}_{T_s}}{n}\\ i_C(t)& =\frac{⟨i(t){⟩}_{T_s}}{n}-\frac{⟨v(t){⟩}_{T_s}}{R}\\ i_g(t)& =0\end{array}$$

7.2.10.4 平均化：把开关纹波揉平

现在我们手里有两套方程，分别对应两个时间片段。 我们要把它们拼成一个连续的故事。

先看电感方程。 电感电压 $v_L(t)$ 的波形大概是这样：在 $d{T}_s$ 时间内它是输入电压减去压降，在剩下的 $d^{\prime }{T}_s$ 时间内它是 $-v(t)/n$。

我们要算它的平均值。根据平均值的定义，把两块面积加权求和：

$$⟨v_L(t){⟩}_{T_s}=d(t)(⟨v_g(t){⟩}_{T_s}-⟨i(t){⟩}_{T_s}{R}_{on})+d^{\prime }(t)(-\frac{⟨v(t){⟩}_{T_s}}{n})$$

别忘了电感的终极电压-电流关系：$v_L(t)=L\frac{di(t)}{dt}$。 因为我们现在用的都是平均值，所以 $L\frac{d⟨i(t){⟩}_{T_s}}{dt}$ 就等于上面那个平均电压。

于是，我们得到了平均电感方程：

$$L\frac{d⟨i(t){⟩}_{T_s}}{dt}=d(t)⟨v_g(t){⟩}_{T_s}-d(t)⟨i(t){⟩}_{T_s}{R}_{on}-d^{\prime }(t)\frac{⟨v(t){⟩}_{T_s}}{n}\dots (7.61)$$

再看电容方程。 电容电流 $i_C(t)$ 的波形同样是分段的两块。我们也用同样的办法求平均：

$$⟨i_C(t){⟩}_{T_s}=d(t)(-\frac{⟨v(t){⟩}_{T_s}}{R})+d^{\prime }(t)(\frac{⟨i(t){⟩}_{T_s}}{n}-\frac{⟨v(t){⟩}_{T_s}}{R})$$

利用 $i_C=Cdv/dt$ 的关系，我们得到平均电容方程：

$$C\frac{d⟨v(t){⟩}_{T_s}}{dt}=d^{\prime }(t)\frac{⟨i(t){⟩}_{T_s}}{n}-\frac{⟨v(t){⟩}_{T_s}}{R}\dots (7.63)$$

最后是输入电流方程。 $i_g(t)$ 在第一导通期间是 $i(t)$，关断期间是 0。

它的平均值就很直观了：

$$⟨i_g(t){⟩}_{T_s}=d(t)⟨i(t){⟩}_{T_s}\dots (7.64)$$

把（7.61）、（7.63）、（7.64）这三个方程放在一起，我们就得到了描述这个反激变换器大信号行为的非线性微分方程组。

$$\begin{array}{rl}L\frac{d⟨i(t){⟩}_{T_s}}{dt}& =d(t)⟨v_g(t){⟩}_{T_s}-d(t)⟨i(t){⟩}_{T_s}{R}_{on}-d^{\prime }(t)\frac{⟨v(t){⟩}_{T_s}}{n}\\ C\frac{d⟨v(t){⟩}_{T_s}}{dt}& =d^{\prime }(t)\frac{⟨i(t){⟩}_{T_s}}{n}-\frac{⟨v(t){⟩}_{T_s}}{R}\\ ⟨i_g(t){⟩}_{T_s}& =d(t)⟨i(t){⟩}_{T_s}\end{array}\dots (7.65)$$

7.2.10.5 扰动与线性化：动静分离

方程（7.65）是一组非线性方程——因为 $d(t)$ 和 $v(t)$、$i(t)$ 是乘在一起的。为了让控制理论那套线性工具能用上，我们得做一次「手术」：扰动和线性化。

我们把所有的变量拆成两部分：直流分量（大写字母） + 交流小信号分量（带帽小写）。

$$\begin{array}{rl}⟨v_g(t){⟩}_{T_s}& =V_g+{\hat{v}}_g(t)\\ d(t)& =D+\hat{d}(t)\\ ⟨i(t){⟩}_{T_s}& =I+\hat{i}(t)\\ ⟨v(t){⟩}_{T_s}& =V+\hat{v}(t)\\ ⟨i_g(t){⟩}_{T_s}& =I_g+{\hat{i}}_g(t)\end{array}\dots (7.66,7.67)$$

把这些全都代入（7.65）里的第一个式子（电感方程）。这步操作有点繁琐，但只要细心就不会错。 代入电感方程后展开：

$$L\frac{d(I+\hat{i}(t))}{dt}=(D+\hat{d}(t))(V_g+{\hat{v}}_g(t))-(D^{\prime }-\hat{d}(t))\frac{V+\hat{v}(t)}{n}-(D+\hat{d}(t))(I+\hat{i}(t))R_{on}$$

我们要把右边乘开，然后按「阶数」归类。就像整理一堆散乱的零件：

1. 直流项（DC terms）：不随时间变化，也不带 $\hat{}$。
2. 一阶交流项（1st order ac terms）：只含一个 $\hat{}$，这是我们要的线性部分。
3. 二阶交流项（2nd order ac terms）：含有 $\hat{d}{\hat{v}}_g$ 这种乘积项，是非线性误差。

整理结果如下：

$$L(\frac{dI}{dt}+\frac{d\hat{i}(t)}{dt})=\underset{\text{DC Terms}}{\underbrace{(D{V}_g-\frac{D^{\prime }V}{n}-DI{R}_{on})}}+\underset{\text{1st Order AC Terms}}{\underbrace{(D{\hat{v}}_g-\frac{D^{\prime }\hat{v}}{n}+(\frac{V}{n}+\frac{V}{n}-I{R}_{on})\hat{d}-D{R}_{on}\hat{i})}}+\underset{\text{2nd Order (Neglected)}}{\underbrace{(\hat{d}{\hat{v}}_g\dots )}}\dots (7.69)$$

根据小信号假设，二阶项远小于一阶项，直接扔掉。

对于直流稳态，电感相当于短路（$dI/dt=0$），所以直流项之和必须为 0：

$$0=D{V}_g-\frac{D^{\prime }V}{n}-DI{R}_{on}\dots (7.70)$$

这个式子其实也可以通过电感的伏秒平衡原理直接得到，结果是一样的。它可以用来计算变换器的静态工作点。

对于动态小信号，我们只看一阶项，并且注意 $dI/dt=0$。

这里需要小心处理 $\hat{d}(t)$ 前面的系数。它来自三处的合并：$\hat{d}(t)V_g$（来自 $D$ 那一项的展开），$+\hat{d}(t)\frac{V}{n}$（来自 $-D^{\prime }\hat{v}/n$ 中 $D^{\prime }=D^{\prime }-\hat{d}$ 的展开，注意负负得正），以及 $-\hat{d}(t)I{R}_{on}$（来自 $R_{on}$ 那一项的展开）。把这三者合并同类项：

$\hat{d}(t)V_g+\hat{d}(t)\frac{V}{n}-\hat{d}(t)I{R}_{on}=(V_g+\frac{V}{n}-I{R}_{on})\hat{d}(t)$

于是我们得到最终的小信号电感方程：

$$L\frac{d\hat{i}(t)}{dt}=D{\hat{v}}_g(t)-\frac{D^{\prime }\hat{v}(t)}{n}+(V_g+\frac{V}{n}-I{R}_{on})\hat{d}(t)-D{R}_{on}\hat{i}(t)\dots (7.71)$$

接下来如法炮制电容方程。 代入并展开（7.72），整理各项：

$$C(\frac{dV}{dt}+\frac{d\hat{v}(t)}{dt})=\underset{\text{DC}}{\underbrace{(\frac{D^{\prime }I}{n}-\frac{V}{R})}}+\underset{\text{AC 1st Order}}{\underbrace{(\frac{D^{\prime }\hat{i}}{n}-\frac{\hat{v}}{R}-\frac{I}{n}\hat{d})}}-\underset{\text{AC 2nd Order}}{\underbrace{\frac{\hat{d}\hat{i}}{n}}}\dots (7.73)$$

直流项必须为 0（稳态下电容平均电流为 0）：

$$0=\frac{D^{\prime }I}{n}-\frac{V}{R}\dots (7.74)$$

提取一阶小信号项：

$$C\frac{d\hat{v}(t)}{dt}=\frac{D^{\prime }\hat{i}(t)}{n}-\frac{\hat{v}(t)}{R}-\frac{I}{n}\hat{d}(t)\dots (7.75)$$

最后是输入电流方程（7.76）。 代入 $i_g=I_g+{\hat{i}}_g,d=D+\hat{d},i=I+\hat{i}$：

$$I_g+{\hat{i}}_g=(D+\hat{d})(I+\hat{i})=DI+D\hat{i}+I\hat{d}+\hat{d}\hat{i}$$

直流项：

$$I_g=DI\dots (7.78)$$

扔掉二阶项 $\hat{d}\hat{i}$，剩下的就是小信号输入方程：

$${\hat{i}}_g(t)=D\hat{i}(t)+I\hat{d}(t)\dots (7.79)$$

7.2.10.6 重组等效电路：把公式变成电路

现在我们手里有了三个小信号方程（7.71, 7.75, 7.79）。 这三个方程虽然是数学形式，但它们本质上是在描述 KVL（回路电压）或 KCL（节点电流）。如果我们能把这些方程对应成具体的电路元件，我们就能画出等效电路模型。

1. 电感方程对应的回路 方程（7.71）是描述电感 $L$ 两端电压的方程。

$$L\frac{d\hat{i}}{dt}=D{\hat{v}}_g-\frac{D^{\prime }}{n}\hat{v}+(V_g+\frac{V}{n}-I{R}_{on})\hat{d}-D{R}_{on}\hat{i}$$

• 左边 $L\frac{d\hat{i}}{dt}$：这是电感 $L$ 上的电压。
• 右边第一项 $D{\hat{v}}_g$：受控于输入电压 ${\hat{v}}_g$。
• 右边第二项 $-\frac{D^{\prime }}{n}\hat{v}$：受控于输出电压 $\hat{v}$。
• 右边第三项 $(\dots )\hat{d}$：这是个独立的电压源，因为它只受控于占空比变量 $\hat{d}$。
• 右边第四项 $-D{R}_{on}\hat{i}$：这一项满足欧姆定律，是个电阻，但注意系数是 $D{R}_{on}$。这意味着 $R_{on}$ 在模型里的影响被「缩小」了（因为是乘以 $D$）。

这一块对应的电路结构就是一个以 $L$ 为中心、串着 $D{R}_{on}$、再挂上几个受控源的回路。

2. 电容方程对应的节点 方程（7.75）是描述流出电容节点的电流方程。

$$C\frac{d\hat{v}}{dt}=\frac{D^{\prime }}{n}\hat{i}-\frac{\hat{v}}{R}-\frac{I}{n}\hat{d}$$

• 左边：流入电容的电流。
• 右边第一项：受控电流源，大小取决于电感电流 $\hat{i}$。
• 右边第二项：流经负载电阻 $R$ 的电流。
• 右边第三项：独立电流源，受 $\hat{d}$ 控制。

对应的子电路就是以电容 $C$ 为中心的节点，旁边并着负载 $R$ 和两个受控电流源。

3. 输入端口方程 方程（7.79）描述输入电流。

$${\hat{i}}_g=D\hat{i}+I\hat{d}$$

• 第一项：受控电流源。
• 第二项：独立电流源（由 $\hat{d}$ 驱动）。

对应的子电路就是两条并联支路：一条受控于 $\hat{i}$，一条受控于 $\hat{d}$。

7.2.10.7 最终模型：合并与简化

现在我们把这三个子电路拼起来，就得到一个「乱糟糟但完整」的模型。 这个图看起来已经很有电路的样子了，但还不够完美。

注意那个受控源 $D{\hat{v}}_g$ 和 $-\frac{D^{\prime }}{n}\hat{v}$。这种受控源的存在提示我们，这背后可能藏着变压器。 回想一下理想变压器的特性：电压比等于匝比，电流比是匝比的倒数。

如果我们把这对受控源替换成一个理想变压器，变比为 $D:D^{\prime }/n$，会发生什么？

• 原边电压 ${\hat{v}}_p=D{\hat{v}}_g$。
• 副边电压 ${\hat{v}}_s=\frac{D^{\prime }}{n}\hat{v}$。 （这里需要仔细核对极性和系数——把两个端口上的电压比、电流比一对，确实正好满足同一个匝比关系，说明这堆受控源就是一个理想变压器的「拆解形态」。）

经过这步变换（以及把独立的 $\hat{d}$ 源挂在对应的位置上），我们终于得到了完整的小信号交流等效电路模型。

这张模型里：

• $L$、$C$ 是原来的储能元件。
• $R$ 是负载。
• $D{R}_{on}$ 是 $MOSFET$ 导通电阻在平均模型里的等效阻抗。
• 理想变压器体现了变换器的直流变比特性。
• 那两个标注为 $\hat{d}$ 的电压源和电流源，代表了「控制」对能量的调节作用。

到了这一步，反激变换器就不再是一个复杂的开关电路，而是一个标准的线性电路。 你想算它的传递函数？直接用基尔霍夫定律解这个 $RLC$ 电路。 你想看输入输出的阻抗？直接对端口进行分析。

这就是建模的威力。它把时域的非线性暴力（开关动作），翻译成了频域的线性语言（传递函数）。

💡 一眼看穿 $R_{on}$ 的归宿：注意那个等效电阻 $D{R}_{on}$——它不是 $R_{on}$ 本身，而是被占空比 $D$ 加权后的值。直觉上这是因为 $R_{on}$ 只在导通那 $d{T}_s$ 时间内才被电流流过，所以它对平均值的贡献被「摊薄」成了 $D$ 倍。同理，副边折算回来的项要带上 $1/n$。记住这个「按时间比例加权」的口诀，以后碰到任何带寄生电阻的拓扑，你不用死记公式，直接按「这个损耗源在哪个子区间出现、占多少时间」就能口算它的等效值。

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参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。