开关网络的其他配置 | 硬件学习笔记

14.2 开关网络的其他配置

上一节，我们像解剖学家一样，把开关网络从变换器里剥离了出来，得到了一个通用的「替身」模型。这个通用的开关网络——也就是那个包含晶体管和二极管的黑盒子——出现在所有的双开关变换器里。

这也就意味着，手里一旦有了这张「万能药方」，我们给 Buck、Boost、SEPIC 甚至 Čuk 变换器建模时，就不需要每次都重新推导一遍状态方程了。我们只需要做一件事：找茬。

确切地说是「找网络」。你在电路图里圈出开关器件，把它们剩下的部分定义为「开关网络」，然后把它撕下来，换上我们上一节推导出来的平均模型。这一招就是所谓的电路平均法。

整个流程其实就这么直白：你有一个变换器，你把里面的开关子电路替换成平均模型，砰的一下，你就得到了一个既包含直流又包含小信号交流的完整平均电路模型。Boost 变换器就是一个现成的例子。

但别急着高兴。这里有一个微妙的地方。

到目前为止，我们推导的那个通用模型，是基于一种特定的端口定义：开关网络的端口正好就是开关的端口，网络内部没有任何其他的连线。这很通用，但也正是因为太通用了，有时候它反而不是最直观的。

开关网络的端口定义其实并不唯一。你可以把接口画在这里，也可以画在那里。不同的定义会导致不同形式（但功能等效）的平均开关模型。有些定义会让电路看起来更复杂，而有些定义——正如这一节要展示的——能让你一眼看穿变换器的物理本质。

这一节我们就来折腾这两种特殊的定义：一种专门对付 Boost，另一种专门对付 Buck。你会发现，换一个角度看世界，模型会变得惊人的简单。

14.2.1 Boost 变换器的另一种视角

让我们以理想 Boost 变换器为例。

虽然它还是那个晶体管加二极管的组合，但我们这次不把整个开关网络看作一个悬浮的孤岛。注意，Boost 里开关网络的两个端口其实共用同一个参考地（也就是输入电压的负极和输出的负极是连在一起的）。这是一个非常重要的拓扑特征。

既然地是连在一起的，我们就可以重新定义端口的波形。

这里有四个波形： $i_{1} (t)$ 、 $v_{1} (t)$ 、 $i_{2} (t)$ 和 $v_{2} (t)$ 。请注意一个巧合（或者说是一种刻意的选择）： $i_{1} (t)$ 其实就是电感电流 $i (t)$ ，而 $v_{2} (t)$ 其实就是输出电压 $v (t)$ 。既然这两个量恰好是变换器里我们最关心的状态变量，那不如就把它们当作自变量——也就是开关网络的「输入」。我们要推导的，是剩下的 $v_{1} (t)$ 和 $i_{2} (t)$ 服从什么规律。

推导的步骤还是那个老套路：替换、平均、线性化。

第一步：用受控源替换开关。

替换之后，晶体管和二极管不见了，取而代之的是两个受控源。

左边的电压源 $v_{1} (t)$ 模拟的是晶体管两端的电压。
右边的电流源 $i_{2} (t)$ 模拟的是二极管流过的电流。

之所以能这样换，是因为我们强迫受控源输出和开关一模一样的波形。回到刚才那组波形：

当晶体管导通时（ $0 < t < d T_{s}$ ）， $v_{1} (t)$ 被钳位到 0。
当二极管导通时（ $d T_{s} < t < T_{s}$ ），晶体管关断， $v_{1} (t)$ 承受输出电压，所以 $v_{1} (t) = v_{2} (t)$ 。

写成式子就是这样：

v_{1} (t) = {\begin{cases} 0, & 0 < t < d T_{s} \\ v_{2} (t), & d T_{s} < t < T_{s} \end{cases}

同理，二极管电流 $i_{2} (t)$ 在晶体管导通时是 0，在二极管导通时等于电感电流 $i_{1} (t)$ ：

i_{2} (t) = {\begin{cases} 0, & 0 < t < d T_{s} \\ i_{1} (t), & d T_{s} < t < T_{s} \end{cases}

这一步没有任何近似，完全等价。

第二步：平均化。

把上面的波形在一个开关周期内做平均（也就是 $⟨ \cdot ⟩_{T_{s}}$ 运算）。假设电感纹波和电容纹波都很小（这是平均法的本分），我们得到：

⟨ v_{1} (t) ⟩_{T_{s}} = d^{'} (t) ⟨ v_{2} (t) ⟩_{T_{s}}

⟨ i_{2} (t) ⟩_{T_{s}} = d^{'} (t) ⟨ i_{1} (t) ⟩_{T_{s}}

这里 $d^{'} (t) = 1 - d (t)$ 。这就得出了大信号非线性模型。注意，这里出现了 $d^{'}$ ，这和之前通用模型里的 $D$ 系数是一脉相承的，只是因为 Boost 的拓扑特性，系数变成了 $d^{'}$ 。

第三步：扰动与线性化。

现在我们有了大信号模型，要把它变成传递函数里用得上的小信号模型。老规矩：引入扰动，扔掉高阶项。

设稳态值为：

⟨ v_{g} (t) ⟩ = V_{g} + {\hat{v}}_{g} (t)

d (t) = D + \hat{d} (t) ⟹ d^{'} (t) = D^{'} - \hat{d} (t)

⟨ i (t) ⟩ = ⟨ i_{1} (t) ⟩ = I + \hat{i} (t)

⟨ v (t) ⟩ = ⟨ v_{2} (t) ⟩ = V + \hat{v} (t)

现在看端口 1 的电压源。它的值是：

(D^{'} - \hat{d} (t)) (V + \hat{v} (t)) = D^{'} (V + \hat{v} (t)) - V \hat{d} (t) - \hat{v} (t) \hat{d} (t)

这里有一项 $\hat{v} (t) \hat{d} (t)$ ，这是两个小信号的乘积，是二阶无穷小。在小信号假设下，这一项可以直接扔掉。剩下两项：

$D^{'} (V + \hat{v} (t))$ ：这一项随输出电压变化，所以它是一个受控于输出电压的受控源。你会发现这其实就是变压器的原边。
$- V \hat{d} (t)$ ：这一项完全受控制输入 $\hat{d} (t)$ 驱动，且只包含稳态值 $V$ ，所以它是一个独立的电压源。

再看端口 2 的电流源。同样的逻辑：

(D^{'} - \hat{d} (t)) (I + \hat{i} (t)) = D^{'} (I + \hat{i} (t)) - I \hat{d} (t) - \hat{i} (t) \hat{d} (t)

扔掉 $\hat{i} (t) \hat{d} (t)$ 。剩下两项：

$D^{'} (I + \hat{i} (t))$ ：受控于电感电流，是变压器的副边。
$- I \hat{d} (t)$ ：独立电流源，受 $\hat{d} (t)$ 控制。

如果你把这些受控源画成一个变比为 $D^{'} : 1$ 的理想变压器，再加上那两个代表扰动的独立源，你就得到了一个完美的直流+交流小信号模型。

对比与验证。

现在你可以停下来，对比一下通用模型应用在 Boost 上的结果，和我们刚才推导的专用模型。它们在数学上是完全等价的——解出来的传递函数一模一样。但在物理直觉上，专用模型完胜。

因为它把 Boost 变换器的两个核心功能拆得清清楚楚：

变压器功能：电压和电流按 $D^{'} : 1$ 的比例进行变换（这是 Boost 的升压本质）。
控制功能：控制变量 $d (t)$ 通过两个独立源（ $V \hat{d}$ 和 $I \hat{d}$ ）向电路注入扰动。

这个模型和我们最早在第 7 章用状态空间法得到的那版 Boost 小信号模型是一模一样的。这再次印证了那句话：路子不一样，终点一样。

14.2.2 Buck 变换器的开关模型

接下来看看老朋友 Buck（降压）变换器。逻辑是一样的，只是由于拓扑变了，端口的选择和波形的关系也随之改变。

看 Buck。Buck 的开关网络里，晶体管和二极管也是共地的（输入输出负极相连）。这次我们选择哪两个作为自变量呢？看波形。 $v_{1} (t)$ 其实就是输入电压 $v_{g} (t)$ ，而 $i_{2} (t)$ 其实就是电感电流 $i (t)$ 。这两个量一个是输入源，一个是状态变量，非常适合当作已知量。

我们需要推导的是剩下两个量：流入开关网络的平均电流 $⟨ i_{1} (t) ⟩$ ，以及输出到电感的平均电压 $⟨ v_{2} (t) ⟩$ 。

对着波形图做平均，这次很简单：

⟨ i_{1} (t) ⟩_{T_{s}} = d (t) ⟨ i_{2} (t) ⟩_{T_{s}}

⟨ v_{2} (t) ⟩_{T_{s}} = d (t) ⟨ v_{1} (t) ⟩_{T_{s}}

这里没有 $d^{'}$ ，全是 $d$ ，因为 Buck 在开通时（ $d T_{s}$ ）传输能量，逻辑比 Boost 简单直接。

接下来是扰动与线性化。设：

⟨ v_{1} (t) ⟩ = V_{1} + {\hat{v}}_{1} (t)

⟨ i_{2} (t) ⟩ = I_{2} + {\hat{i}}_{2} (t)

对电流方程展开：

I_{1} + {\hat{i}}_{1} (t) = D (I_{2} + {\hat{i}}_{2} (t)) + I_{2} \hat{d} (t)

对电压方程展开：

V_{2} + {\hat{v}}_{2} (t) = D (V_{1} + {\hat{v}}_{1} (t)) + V_{1} \hat{d} (t)

对应到电路元件：

$D (I_{2} + {\hat{i}}_{2} (t))$ 和 $D (V_{1} + {\hat{v}}_{1} (t))$ 构成了一个变比为 $1 : D$ 的理想变压器（注意是 $1 : D$ ，代表降压）。
$I_{2} \hat{d} (t)$ 和 $V_{1} \hat{d} (t)$ 是受控的独立源，代表控制变量对系统的扰动注入。

把这个 Buck 的开关模型填回原变换器里，你就得到了完整的平均模型。这个模型告诉我们，Buck 的开关网络干了什么事：

按 $1 : D$ 的比例把电压降下来，把电流升上去（功率守恒）。
同样，引入了控制变量带来的交流扰动。

14.2.3 三种基本开关网络的总结

到这一步，我们可以把工具箱里的东西盘点一下了。

所有的 DC-DC 变换器（至少是我们讨论的这些基本拓扑），其开关网络本质上都可以归结为三种基本形态。把它们并列放在一起，非常有对比价值：

Buck 开关网络：
- 特征：共用参考地。
- 变比： $1 : D$ 。
- 这是一个纯粹的「降压」网络，能量直通。
Boost 开关网络：
- 特征：共用参考地。
- 变比： $D^{'} : 1$ 。
- 这是一个纯粹的「升压」网络。
通用双开关网络：
- 特征：端口悬浮，没有共地。
- 变比： $D : D^{'}$ 。
- 这是 SEPIC、Čuk 等复杂拓扑的基石。

看到这里，你应该能感觉到，电路平均法并不是什么黑魔法。它只是通过「找对端口」，把开关的跳变行为翻译成了受控源和变压器的语言。一旦翻译完成，整个变换器就从「时变的非线性电路」变成了「线性的直流+交流电路」。接下来，你就可以用大一学过的基尔霍夫定律去解它了。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

14.2 开关网络的其他配置 ​

14.2.1 Boost 变换器的另一种视角 ​

14.2.2 Buck 变换器的开关模型 ​

14.2.3 三种基本开关网络的总结 ​

14.2 开关网络的其他配置

14.2.1 Boost 变换器的另一种视角

14.2.2 Buck 变换器的开关模型

14.2.3 三种基本开关网络的总结