17.3 Buck 变换器实例：失控的滤波器

上一节我们给出了“阻抗不等式”这个尚方宝剑，理论上只要搞定 $Z_o$、$Z_N$ 和 $Z_D$ 的关系，系统就稳如泰山。但理论是一回事，实战又是另一回事。

这一节，我们通过一个 Buck 变换器的实例，来看看如果违反了这些不等式，事情到底会变得多难看。你会发现，违规的代价不仅仅是传递函数发生变形，它会引入谐振极点甚至右半平面（RHP）零点——这些幽灵会直接把你的环路增益撕碎，相位裕度变成负数，然后你的电源就开始唱歌了。

另外，根据式 (17.12)，开环输出阻抗 $Z_{out}$ 受到的影响由另一组不等式决定：

$$\parallel Z_o\parallel \ll \parallel Z_E\parallel \text{and}\parallel Z_o\parallel \ll \parallel Z_D\parallel$$

如果你只满足了 (17.19) 但没满足 (17.20)，那么环路增益可能幸存，但你的输出阻抗特性会变——这意味着负载瞬态响应会变差，电源带不动负载。

下面我们直接开干。

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17.3.1 无阻尼输入滤波器的反噬

还是那个经典的 Buck 变换器，我们在它前面挂一个 $L-C$ 输入滤波器。把变换器换成我们熟悉的小信号模型，就得到了入口处多出 $L_f$、$C_f$ 的等效电路。我们的任务是计算式 (17.4)，看看这个输入滤波器是怎么一步步篡改控制到输出传递函数 $G_{vd}(s)$ 的。

第一步：算出 $Z_D(s)$

$Z_N(s)$ 和 $Z_D(s)$ 可以直接查表 17.1，也可以用 EET 手推。$Z_D$ 的抓法很直接：把 $\hat{d}(s)$ 设为 0（也就是把受控源关掉），电路就简化了。你会发现 $Z_D(s)$ 其实就是后面那个 $R-L-C$ 网络的输入阻抗，除以变压器变比的平方：

$$Z_D(s)=\frac{1}{D^2}(sL+R\parallel \frac{1}{sC})$$

这其实是一个经典的端口阻抗问题。我们在 8.4 节详细讲过怎么画这个阻抗的渐近线，结果如下。

• 低频段：负载电阻 $R$ 说了算，直流渐近线是 $R/D^2$。在这个例子里，$R=6\mathrm{\Omega }$（因为 $12\mathrm{\Omega }$ 的负载反射到初级是除以 $D^2$，等等，原文是 $R$ 在次级，这里初级看到的电阻是 $R/D^2=12\mathrm{\Omega }$，注意单位换算）。这个数值是 $12\mathrm{\Omega }$。
• 中频段：对于高 $Q$ 值的情况，曲线会沿着输出电容的阻抗渐近线走，同样要除以 $D^2$ 反射回去。
• 谐振点：在输出滤波器的谐振频率 $f_0$ 处发生串联谐振。$$f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$$代入数值（$L=330\mu H$, $C=470\mu F$），$f_0=1.6\text{kHz}$。 这里的特征阻抗 $R_0$ 反射到初级是 $R_0/D^2$。算出来是 $4\mathrm{\Omega }$。 $Q$ 值由 $R/R_0$ 决定（注意这里的 $R$ 是负载，未反射前），算出 $Q=3$。 所以在谐振点，阻抗的峰值不是 $4\mathrm{\Omega }$，而是要除以 $Q$，也就是 $1.33\mathrm{\Omega }$。
• 高频段：这时候感抗又占上风了，曲线沿着电感 $L$ 的阻抗上升（同样要除以 $D^2$）。

第二步：算出 $Z_N(s)$

$Z_N(s)$ 这个概念稍微反直觉一点。它是指在保持输出电压 $\hat{v}(s)$ 为 0 的条件下，变换器的输入阻抗。 推导思路是这样的：我们在输入端注一个测试电流 ${\hat{i}}_{test}(s)$，然后看测试电压 ${\hat{v}}_{test}(s)$ 是多少。

$$Z_N(s)=\frac{{\hat{v}}_{test}(s)}{{\hat{i}}_{test}(s)}{|}_{\hat{v}\to 0}$$

“$\hat{v}\to 0$”这个条件（Double Injection）简直是个作弊码。 因为 $\hat{v}(s)$ 被强制为 0，所以电容和负载电阻上的电流都是 0。 进而，电感电流 $\hat{i}(s)$ 和变压器绕组电流也是 0。 最后，变压器初级电压（电感电压）也是 0。

既然变压器绕组里没电流，那测试电流 ${\hat{i}}_{test}$ 全部流进了受控源 $I\hat{d}(s)$：

$${\hat{i}}_{test}(s)=I\hat{d}(s)$$

既然变压器初级电压是 0，那次级电压（也就是受控电压源那头）就得等于 $-V_g\hat{d}(s)$。 除以变比 $D$，我们就拿到了测试电压：

$${\hat{v}}_{test}(s)=\frac{-V_g\hat{d}(s)}{D}$$

把这两个代入 $Z_N$ 的定义式：

$$Z_N(s)=\frac{-V_g\hat{d}(s)/D}{I\hat{d}(s)}=-\frac{R}{D^2}$$

（这里用了稳态关系 $I=D{V}_g/R$）。 这就是表 17.1 里的结果。它是一个负电阻，幅值等于反射后的负载电阻。在阻抗波特图上，它是一条水平线，贴着 $Z_D$ 的低频渐近线。

第三步：直面输入滤波器的输出阻抗 $Z_o(s)$

现在的关键变量来了：滤波器输出阻抗 $Z_o(s)$。 把输入源 ${\hat{v}}_g$ 短路，电路就退化成一个典型的 $L-C$ 并联网络。

$$Z_o(s)=s{L}_f\parallel \frac{1}{s{C}_f}$$

它的波特图长这样：

• 低频走电感 $L_f$。
• 高频走电容 $C_f$。
• 两者交点就是谐振频率 $f_f$。$$f_f=\frac{1}{2\pi \sqrt{L_f{C}_f}}$$代入数值（$L_f=100\mu H$, $C_f=100\mu F$），算出 $f_f=400\text{Hz}$。 特征阻抗 $R_{0f}=0.84\mathrm{\Omega }$。

⚠️ 注意，大坑来了 这个滤波器是无阻尼的。理论上 $Q_f$ 是无穷大。 虽然寄生电阻（ESR、线圈电阻）会拉一点 $Q$，但在 $f_f$ 附近，$\parallel Z_o\parallel$ 依然会冲到一个非常夸张的数值。 把这条 $Z_o$ 曲线和 $Z_N$、$Z_D$ 叠在一起看。

第四步：不等式判据的审判

放在一起看，这简直是车祸现场。 我们的设计判据是要求 $\parallel Z_o\parallel$ 远远低于 $Z_N$ 和 $Z_D$。 可是呢？ 在 $f_f=400\text{Hz}$ 附近，$Z_o$ 冲破了天际，直接切开了 $Z_N$ 和 $Z_D$ 的底线。 这说明阻抗不等式 (17.19) 完全失效了。 设计启示录：千万别把输入滤波器的谐振频率 $f_f$ 和输出滤波器的 $f_0$ 靠得太近，否则满足不等式就成了Mission Impossible。最好把它们分得越远越好。

既然不满足条件，修正因子 (17.18) 就会发飙。 后果是这样的：

• 低频段（远离 $f_f$）：不等式勉强还行，修正因子接近 $1\mathrm{\angle }{0}^{\circ }$，传递函数 $G_{vd}$ 还没怎么变形。
• $f_f$ 附近：修正因子崩了。它引入了一对复数极点，更绝的是，还引入了一对右半平面零点（RHP Zeros）。 这直接导致了幅频曲线上的“Glitch”（毛刺）。 相位呢？相位直接暴跌 ${360}^{\circ }$！
• 高频段：修正因子趋于 $1\mathrm{\angle }-{360}^{\circ }$。虽然幅度凑合，但相位损失已经无法挽回。

致命一击 原装的 $G_{vd}(s)$ 在高频就有 $-{180}^{\circ }$ 的滞后（来自两个极点）。 现在输入滤波器又补了 $-{360}^{\circ }$。 如果你在设计中把穿越频率设得比较高（比如靠近 $f_f$），你的总相位裕度就是负数。 负相位裕度 = 振荡器。 这就是为什么加个“朴实无华”的输入滤波器，你的稳压电源就变成了高频信号发生器。

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17.3.2 救火：阻尼输入滤波器

既然问题出在那个刺破天际的 $Z_o$ 峰值上，那我们的对策就是把它按下去——也就是阻尼。

方案 A：直接并联电阻 在电容 $C_f$ 上并联一个电阻 $R_f$。 并联谐振阻抗的峰值会被 $R_f$ 钳位。最大值就是 $R_f$。 为了满足不等式，我们需要 $R_f\ll \parallel Z_N\parallel \approx R/D^2=12\mathrm{\Omega }$。 这听起来不错。 但是，代价是什么？ 直流输入电压 $V_g$ 直接加在 $R_f$ 上！ $R_f$ 上的功耗是 $V_g^2/R_f$。 如果你为了稳定性把 $R_f$ 设得很小（比如 $1\mathrm{\Omega }$），这个电阻会烧掉甚至超过负载功率。 这绝对不是一个工程解。

方案 B：电阻挂在电感两头 那我把 $R_f$ 挂在电感 $L_f$ 两头？ 电感两端直流电压是 0，所以没有直流损耗。问题解决？ 没这么简单。 虽然直流没事了，但在高频下，这个电路的传输函数里会冒出一个零点。 这个零点会让滤波器的高频衰减斜率从 $-40\text{dB/decade}$ 恶化成 $-20\text{dB/decade}$。 电感 $L_f$ 相当于被短路了，整个滤波器退化成了一个普通的 RC 低通滤波。高频噪声抑制能力直接废掉。

方案 C：隔直电容阻尼——真正的工程解

这是我们需要学的正规军打法 [152]。 在阻尼电阻 $R_f$ 上串联一个电容 $C_b$。

• 直流上：$C_b$ 是断路的。没有直流电流流过 $R_f$，直流损耗为 0。
• 谐振频率上：我们选 $C_b$ 足够大，使得在谐振频率 $f_f$ 处，$C_b$ 的阻抗远远小于 $R_f$。 于是，在 $f_f$ 处，$R_f$ 就像直接并联在 $L_f$ 或 $C_f$ 上一样，发挥了强力阻尼作用。 这个电路兼有 A 的阻尼效果和 B 的无损耗特性，同时保留了高频的 -40dB/decade 衰减能力。

来算一下数值 按照阻尼支路的渐近线思路。 我们依然要求 $R_f\ll 12\mathrm{\Omega }$。选 $R_f=1\mathrm{\Omega }$ 很稳。 然后是 $C_b$。我们希望在 $f_f$ 处它表现为短路。 计算容抗：$1/(2\pi f_f{C}_b)$。 选 $C_b=4700\mu F$，这在这个频率下的阻抗只有 $0.084\mathrm{\Omega }$。 相比 $R_f=1\mathrm{\Omega }$，这个值足够小，可以忽略。

把加了阻尼后的 $Z_o$ 拿来对比一下。 看到了吗？之前那个刺破天际的尖峰被削平了。 新的 $\parallel Z_o\parallel$ 整条曲线都乖乖地趴在 $Z_N$ 和 $Z_D$ 下面。 不等式 (17.19) 满足了！

最后看修正因子的结果。 加了阻尼输入滤波器后，控制到输出传递函数 $G_{vd}(s)$ 几乎和原装的一模一样。 相位没有剧烈跳动，增益也没有毛刺。 你的反馈环路现在可以安全地工作，就像输入滤波器不存在一样。

这才是我们想要的结果：输入滤波器安安静静地滤波，不要在后台搞小动作。

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参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。