当 D > 0.5 时：失控的振荡与人工斜坡的救赎

18.2 当 D > 0.5 时：失控的振荡与人工斜坡的救赎

上一节结束时，我们建立了一个基于 $⟨ i_{L} ⟩ \approx i_{c}$ 的「简单一阶模型」。这个模型非常漂亮，它把复杂的二阶系统变成了易于控制的一阶系统，还顺便展示了负阻抗和前馈特性。

但模型里藏着一个我们当时故意跳过的陷阱。

如果你真的拿着这个模型去搭电路，占空比 $D$ 一旦超过 0.5，你会惊讶地发现——系统炸了。电感电流开始剧烈振荡，完全不受控制。

这是电流程序控制（CPM）最著名的「先天缺陷」。本节的任务，就是捅破这张窗户纸，看看为什么 D > 0.5 时会发生「次谐波振荡」，以及如何用一个简单的「人工斜坡」来彻底根治它。

18.2.1 失控的阈值：当 D 跨越 0.5

让我们把目光聚焦到电感电流 $i_{L} (t)$ 的波形上。为了看清本质，我们暂时忽略电压环，假设控制信号 $i_{c}$ 是恒定的，只关注电流内环本身发生了什么。

在连续导通模式（CCM）下，电感电流的波形是大家熟悉的三角波：在开关周期的第一阶段，电流以斜率 $m_{1}$ 上升；在第二阶段，电流以斜率 $- m_{2}$ 下降。对于三种基本拓扑，这些斜率如下（注意这里的定义是斜率的绝对值）：

Buck 变换器

m_{1} = \frac{v_{g} - v}{L}, - m_{2} = - \frac{v}{L}

Boost 变换器

m_{1} = \frac{v_{g}}{L}, - m_{2} = \frac{v_{g} - v}{L}

Buck-Boost 变换器

m_{1} = \frac{v_{g}}{L}, - m_{2} = \frac{v}{L}

掌握了斜率，我们就能建立 $i_{L} (0)$ 、控制阈值 $i_{c}$ 、周期末电流 $i_{L} (T_{s})$ 和占空比 $d$ 之间的数学关系。

当开关导通时，电流 $i_{L} (t)$ 从初始值 $i_{L} (0)$ 开始以斜率 $m_{1}$ 攀升，直到撞上控制信号 $i_{c}$ 。这一刻，控制器动作，关断开关。用公式写出来就是：

i_{L} (d T_{s}) = i_{c} = i_{L} (0) + m_{1} d T_{s} ⟹ d = \frac{i_{c} - i_{L} (0)}{m_{1} T_{s}} (18.31, 18.32)

紧接着，开关关断，电流以斜率 $- m_{2}$ 下降，直到周期结束：

i_{L} (T_{s}) = i_{L} (d T_{s}) - m_{2} d^{'} T_{s} = i_{L} (0) + m_{1} d T_{s} - m_{2} d^{'} T_{s} (18.33)

在稳态下，周期开始和结束的电流是相等的，即 $i_{L} (0) = i_{L} (T_{s})$ ，且 $d = D$ ，斜率为稳态值 $M_{1}, M_{2}$ 。代入上式：

0 = M_{1} D T_{s} - M_{2} D^{'} T_{s} ⟹ \frac{M_{2}}{M_{1}} = \frac{D}{D^{'}} (18.35)

这个式子其实只是电感伏秒平衡原则的另一种说法，但它将是接下来推导的关键。

扰动是如何演变的？

现在，让我们在稳态上叠加一个小扰动 ${\hat{i}}_{L} (0)$ ：

i_{L} (0) = I_{L 0} + {\hat{i}}_{L} (0)

其中 $| {\hat{i}}_{L} (0) | ≪ | I_{L 0} |$ 。

我们要问一个关键问题：这个扰动会随着时间衰减，还是会像滚雪球一样越来越大？

为了看清楚原理，我们把扰动幅度刻意夸大一点来想：实线是稳态波形，虚线是加了扰动后的波形。

假设 ${\hat{i}}_{L} (0)$ 是正的（起始电流偏高），那么为了达到同样的控制阈值 $i_{c}$ ，所需的导通时间就会变短，意味着占空比扰动 $\hat{d}$ 是负的（ $d T s$ 变短了）。

把关键部分放大：在 $(D + \hat{d}) T_{s}$ 到 $D T_{s}$ 这个微小的时间差里，我们可以用几何关系算出 ${\hat{i}}_{L} (0)$ 和周期末扰动 ${\hat{i}}_{L} (T_{s})$ 的关系。

利用稳态波形的斜边三角形：

{\hat{i}}_{L} (0) = - m_{1} \hat{d} T_{s} (18.38)

（注意： $\hat{d}$ 是负的，所以右边是正的，这与图示一致）。

利用扰动波形在关断时刻的斜边三角形：

{\hat{i}}_{L} (T_{s}) = m_{2} \hat{d} T_{s} (18.39)

（注意：这里 $\hat{d} T_{s}$ 是时间差， $m_{2}$ 下降斜率产生的电流差是负的，但这里取的是差值的绝对值关系，实际上 ${\hat{i}}_{L} (T_{s})$ 相对于稳态是负向偏移的）。

把这两个式子联立，消去中间变量 $\hat{d}$ ：

{\hat{i}}_{L} (T_{s}) = {\hat{i}}_{L} (0) (- \frac{m_{2}}{m_{1}}) (18.40)

这行公式揭示了令人不安的真相：在一个开关周期内，扰动的符号翻转了，幅度乘以了一个系数 $- m_{2} / m_{1}$ 。

如果我们把稳态关系 $M_{2} / M_{1} = D / D^{'}$ 代进去，这个系数就变成了：

- \frac{m_{2}}{m_{1}} \approx - \frac{D}{D^{'}}

这意味着，经过 $n$ 个开关周期后，扰动变成了：

{\hat{i}}_{L} (n T_{s}) = {\hat{i}}_{L} (0) {(- \frac{D}{D^{'}})}^{n} (18.43)

现在请盯着这个特征值（Characteristic Value）：

α = - \frac{D}{D^{'}}

如果 $| α | < 1$ ，扰动随 $n \to \infty$ 趋于零，系统稳定。如果 $| α | > 1$ ，扰动发散，系统振荡。

什么时候 $| α | > 1$ ？

| - \frac{D}{D^{'}} | > 1 ⟹ D > 0.5

结论是残酷的：一旦占空比超过 50%，内环电流控制就天然不稳定。

这不仅仅是一个数学游戏。拿一个 Boost 变换器来想：输入 20V，输出 50V，对应的 $D = 0.6$ 。此时特征值 $α = - 1.5$ 。第一周期，误差变 -1.5 倍；第二周期，变 +2.25 倍；第三周期，变 -3.375 倍。短短几个周期，波形就面目全非，甚至会导致开关管在某个周期里完全不关断（饱和）。这叫次谐波振荡。

反观把输出电压降到 30V 的情况，此时 $D = 1 / 3$ ，特征值 $α = - 0.5$ 。扰动每半个周期就减半，系统非常健康。

回到那个「负反馈」的直觉
你可能会觉得奇怪：既然是负反馈控制，为什么不稳定？
这里有一个微妙的时间错位。我们在第 $k$ 个周期采样电流误差 ${\hat{i}}_{L} (k)$ ，并在第 $k + 1$ 个周期通过调整占空比来修正它。如果系统的增益太高（ $α$ 绝对值大于 1），修正会过度，导致第 $k + 1$ 周期的误差反而更大且符号相反。下一个周期又试图「用力修正」，结果再次过头。这种「修正过度」在每个周期交替发生，且幅度不断攀升，就是次谐波振荡的本质。
这和我们上一节提到的那个「一阶模型」并不矛盾——一阶模型假设了我们忽略了这种高频的采样行为，但在 D > 0.5 时，这种行为会从暗处走到台前，直接接管系统。

18.2.2 人工斜坡：一场Gain的手术

既然知道了病根（内环增益太高，修正过度），药方就很明显了：降低内环的增益。

工程师们发明的解法叫人工斜坡。它在采样的电流信号上人为叠加一个随时间下降的斜坡信号 $i_{a} (t)$ （斜率为 $- m_{a}$ ）。

这就好比我们把阈值 $i_{c}$ 变成了一个动态的目标：不再是撞线就停，而是追逐一个不断后退的终点线。

现在，开关关断的条件变成了：

i_{L} (d T_{s}) = i_{c} - i_{a} (d T_{s}) (18.49)

让我们重新推导一下加上这个「人工斜坡」后的稳定性。我们用类似的几何关系，再次计算扰动 ${\hat{i}}_{L} (0)$ 如何传递到 ${\hat{i}}_{L} (T_{s})$ 。

注意现在的斜率变了：

上升段：实际上是电流斜率 $m_{1}$ 和人工斜坡 $m_{a}$ 的叠加。
下降段：同样是 $m_{2}$ 和 $m_{a}$ 的叠加。

根据图中的几何关系（具体推导见 18.50, 18.51 式）：

{\hat{i}}_{L} (T_{s}) = {\hat{i}}_{L} (0) (\frac{m_{a} - m_{2}}{m_{1} + m_{a}})

把符号提出来，写成新的特征值 $α$ ：

{\hat{i}}_{L} (n T_{s}) = {\hat{i}}_{L} (0) α^{n}, 其中 α = - \frac{m_{2} - m_{a}}{m_{1} + m_{a}} (18.54)

仔细看这个公式。 $m_{a}$ 越大，分母变大，分子变小，整个 $| α |$ 就会减小。只要 $m_{a}$ 足够大，就能保证 $| α | < 1$ ，系统就稳定了。

在实际应用中，输出电压 $v (t)$ 通常是受控且恒定的，所以下降斜率 $m_{2}$ （主要取决于 $v$ ）是已知的。利用 $m_{2} / m_{1} = D / D^{'}$ 这个关系，我们可以把 $α$ 表达成 $m_{2}$ 和占空比 $D$ 的函数：

α = \frac{- \frac{D^{'}}{D} \frac{m_{a}}{m_{2}} - 1}{1 + \frac{D^{'}}{D} \frac{m_{a}}{m_{2}}} \dots （推导整理后） \dots = - \frac{1 - \frac{m_{a}}{m_{2}}}{D^{'} + D \frac{m_{a}}{m_{2}}} (式意译)

教科书（18.56 式）给出的形式是：

α = - \frac{1 - \frac{m_{a}}{m_{2}}}{\frac{D}{D^{'}} + \frac{m_{a}}{m_{2}}}

(译注：此处严格对应原文 18.56 的代数形式)

现在我们来选药量。

方案一：刚好够用 令 $m_{a} = 0.5 m_{2}$ 。代入 18.56 可以算出，此时在 $0 \leq D < 1$ 的全范围内， $| α | < 1$ 都成立。这是维持稳定所需的最小 $m_{a}$ 。有趣的是，这个选择还有一个副作用：我们在下一节会看到，它会让 Buck 变换器对输入电压的扰动完全免疫（ $G_{v g} (s) \to 0$ ）。

方案二：一刀切（Deadbeat） 令 $m_{a} = m_{2}$ 。这会让特征值 $α$ 恒等于 0！这意味着什么？意味着 ${\hat{i}}_{L} (T_{s})$ 永远是 0。不管上一个周期有什么误差，只要一个周期过去，系统瞬间把误差清零。这种一个周期搞定一切的控制方式，被称为有限安定时间控制或 Deadbeat Control。它是数字控制领域的圣杯，但在模拟电路里用一个简单的斜坡就能实现。

踩坑提醒：Deadbeat 听起来很爽，但「 $m_{a} = m_{2}$ 」里的 $m_{2}$ 是满载工况下的下降斜率。一旦负载变轻，电感电流下降斜率会跟着输出电压一起变（对 Buck 来说 $m_{2} = V / L$ ，V 没变其实还好；但 Boost 的 $m_{2} = (V - V_{g}) / L$ 就会随工况漂）。如果你的斜坡是按某个工作点硬定死的，轻载时 $m_{a}$ 就可能超过实际的 $m_{2}$ ，特征值 $α$ 会跑成正数并接近 1——这意味着扰动不再符号翻转地衰减，而是缓慢地同号衰减，响应反而变肉。所以很多量产电源会故意把 $m_{a}$ 设在 $0.5 \sim 0.75$ 倍 $m_{2}$ 之间，留一点余量换鲁棒性，而不是死磕 Deadbeat。

18.2.3 抗噪性：意外的惊喜

人工斜坡除了能救火（解决 D>0.5 不稳定），还有一个巨大的副作用：抗噪。

为什么电流模式控制对噪声特别敏感？如果没有人工斜坡，且电感纹波很小，控制信号 $i_{c}$ 的波形在比较点附近非常平缓。这时，只要 $i_{c}$ 上面叠加一点点噪声 ${\hat{i}}_{c}$ ，交点就会在时间轴上剧烈抖动，导致占空比 $\hat{d}$ 大幅波动。这就像用一把极其锋利的刀去切豆腐，手稍微抖一点，切口就歪得离谱——增益太高了。

加上人工斜坡后，情况变了。现在的比较是在一个陡峭的斜坡上进行的，同样的噪声 ${\hat{i}}_{c}$ 引起的时间抖动 $\hat{d}$ 被大大削弱了。斜坡越陡，抗噪能力越强。

所以，如果 PCB 布局不完美，地线上总是有毛刺，一个幅度远大于电感纹波的人工斜坡往往是救命的稻草。

本章小结

这一节我们撕开了「一阶模型」温情脉脉的面纱，直面了电流程序控制最棘手的问题：当 D > 0.5 时，系统会因修正过度而产生次谐波振荡。

我们并没有停留在直觉层面，而是通过离散时间的几何推导，算出了特征值 $α$ ，并量化了不稳定条件。最终，我们找到了那个简单的解法——人工斜坡。

这个小小的斜坡信号（斜率 $m_{a}$ ）不仅是系统的稳定剂，也是完美的抗噪滤镜。当你选择 $m_{a} = m_{2}$ 时，你甚至获得了一个极其强力的 Deadbeat 控制器。

但这还没完。引入了斜坡补偿后，上一节那个漂亮的「一阶模型」会有什么变化？它会变回二阶吗？下一节，我们将修正那个模型，把人工斜坡的影响考虑进去，推导出更精确的传递函数。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

18.2 当 D > 0.5 时：失控的振荡与人工斜坡的救赎 ​

18.2.1 失控的阈值：当 D 跨越 0.5 ​

18.2.2 人工斜坡：一场Gain的手术 ​

18.2.3 抗噪性：意外的惊喜 ​

本章小结 ​

18.2 当 D > 0.5 时：失控的振荡与人工斜坡的救赎

18.2.1 失控的阈值：当 D 跨越 0.5

18.2.2 人工斜坡：一场Gain的手术

18.2.3 抗噪性：意外的惊喜

本章小结