怎么搞定模型的输入端口

3.4 怎么搞定模型的输入端口

上一节我们用 Boost 电路练了手，在那里面，输入电流 $i_{g} (t)$ 恰好就是电感电流 $i_{L} (t)$ 。这让我们很舒服，只要解电感方程和电容方程，整个世界就安静了——输入端口自然而然地就包含在等效电路里了。

但现实总是喜欢在不经意间给你个耳光。不是所有变换器都这么配合的。

现在让我们来看 Buck 变换器。你会发现这里有一个微妙但致命的差异：输入电流不再是连续的电感电流了。

如果你试图直接照搬上一节的方法，你会发现电路缺了一块——那一块连接着电源 $V_{g}$ 。这一节，我们的任务就是把这块拼图找到，并把它按到它该在的地方。

3.4.1 先别急着管输入，输出回路是什么样？

还是老规矩，先画图。我们在电感上串联了一个电阻 $R_{L}$ 用来建模铜损，其他都还是理想状态。

我们要找的方程依然是那两个老朋友：电感电压方程和电容电流方程。

先看电感。根据基尔霍夫电压定律（KVL），电感两端的电压 $v_{L} (t)$ 在稳态下的平均值 $⟨ v_{L} ⟩$ 必须是 0（我们在第 2 章里反复强调过这个概念，如果不记得了，现在是个复习的好机会）。

把 Buck 电路的两个状态（开关导通和关断）过一遍，利用小纹波近似（忽略纹波，用 $I_{L}$ 和 $V_{C}$ 代替瞬时值），你会得到这样一个方程：

⟨ v_{L} ⟩ = 0 = D V_{g} - I_{L} R_{L} - V_{C} (3.24)

别急着划走，盯着这个方程看 10 秒钟。

你在看什么？你在看一个回路电压平衡的方程。

$D V_{g}$ ：这是电源提供的平均推力。因为开关只开了 $D$ 的时间，所以有效电压打了个折。
$I_{L} R_{L}$ ：这是电感自身的内阻吃掉的电压。
$V_{C}$ ：这是输出端顶回来的电压（电容电压）。

这三个东西串在一起，构成了输出回路的完整描述。我们可以把它画成一个电路：一个受控电压源 $D V_{g}$ ，串联一个电阻 $R_{L}$ ，再串联一个代表负载（虽然这里只画了 $V_{C}$ ，但负载电流会从电容方程里出来）。

再来看电容。电容在稳态下的平均电流 $⟨ i_{C} ⟩$ 也是 0。在节点处，流进等于流出：

⟨ i_{C} ⟩ = 0 = I_{L} - \frac{V_{C}}{R} (3.25)

这也太好理解了：电感源源不断地把 $I_{L}$ 送过来，负载电阻 $R$ 却以 $V_{C} / R$ 的速度抽走水。既然是稳态，水池（电容）里的水位必须不变，所以进水量必须等于出水量。

把方程 (3.24) 和 (3.25) 结合起来，你就得到了描述输出回路的那张电路图。这个电路能完美地描述输出电压 $V_{C}$ 是怎么被决定的。

但是，当你盯着这张图看的时候，是不是觉得少点什么？

3.4.2 消失的变压器

上一节我们隆重介绍了“直流变压器”这个概念。对于一个 Buck 变换器，我们理应看到一个变比为 $1 : D$ 的理想变压器。

在这张输出回路图里，你能看到一个受控电压源 $D V_{g}$ 。根据直流变压器的定义，变压器的副边（Secondary）可以等效成一个电压为 $D V_{g}$ 的受控源。

这一块确实在，它就在输出回路图的左边。

但是，变压器的原边（Primary）去哪了？

根据定义，原边应该等效成一个受控电流源。如果你只看那张输出回路图，这个电流源是缺失的。这就好比你买了一双鞋，商家只给了你左脚，右脚说“下次再补”。

这当然不行。一个完整的模型必须告诉电源 $V_{g}$ ：“嘿，我会从你这里拿走多少电流。”

要回答这个问题，我们必须回头去算那该死的输入电流 $i_{g} (t)$ 。

3.4.3 输入波形的真相

让我们把目光投向 Buck 变换器的输入端口，看看输入电流 $i_{g} (t)$ 的波形长什么样。

这个波形长得很简单，甚至有点“蠢”：

当开关在位置 1（导通）时，电源直接挂在电感上，电流 $i_{g} (t)$ 就是电感电流 $i_{L} (t)$ 。忽略纹波，它就是 $I_{L}$ 。
当开关在位置 2（关断）时，电源被切断了，电流 $i_{g} (t)$ 直接掉到 0。

这就是典型的脉动电流。

现在我们要算它的直流分量，也就是平均值 $I_{g}$ 。既然波形是个矩形，面积法最好用。

在一个周期 $T_{s}$ 里，电流只有在前 $D T_{s}$ 的时间里是 $I_{L}$ ，剩下的时间是 0。波形下的面积就是一个高为 $I_{L}$ 、宽为 $D T_{s}$ 的矩形：

Area = D T_{s} I_{L}

平均值 $I_{g}$ 就是面积除以周期 $T_{s}$ ：

I_{g} = \frac{1}{T_{s}} \int_{0}^{T_{s}} i_{g} (t) d t = \frac{D T_{s} I_{L}}{T_{s}} = D I_{L} (3.26)

这就是那个缺失的拼图！

这个方程告诉我们要怎么建模输入端口：电源 $V_{g}$ 看到的，是一个汲取电流为 $D I_{L}$ 的黑洞。

注意这个 $D$ 的位置。它不在电压上，而在电流上。这意味着，从电源的角度看，它并不知道自己只工作了一部分时间，它只知道：我输出的电流 $I_{g}$ 是输出端电感电流 $I_{L}$ 的 $D$ 倍。

这其实就是功率守恒的另一种写法（ $P_{i n} = P_{o u t}$ ，忽略损耗时 $V_{g} I_{g} = V_{g} (D I_{L}) = (D V_{g}) I_{L}$ ）。

把方程 (3.26) 画成电路，就是一个电流值为 $D I_{L}$ 的受控电流源。

3.4.4 最后的拼图

现在，手里有了两张图：

输出回路图：描述输出回路的（电压源 $D V_{g}$ ，电阻 $R_{L}$ ）。
输入端口图：描述输入端口的（电流源 $D I_{L}$ ）。

把它们拼到一起，就得到了一张完整的图。

这时候，奇迹发生了。

你看左边那个电流源 $D I_{L}$ ，它流过谁？它流过电压源 $V_{g}$ 。你看右边那个电压源 $D V_{g}$ ，它被谁流过？它被电流 $I_{L}$ 流过。

这两个受控源，一个是 $D$ 乘电压，一个是 $D$ 乘电流，并且 $D$ 是同一个 $D$ 。这正是我们在 3.1 节里定义的理想直流变压器的特征。

既然它们完美符合变压器的 V-I 关系，我们就没必要画两个圈圈叉叉的受控源了——直接把它们合并成一个理想的 $1 : D$ 直流变压器。

这就是 Buck 变换器完整模型的由来。它干净、利落，完整描述了一个 Buck 变换器的稳态行为：

输入端通过变压器汲取电流。
输出端通过变压器提供电压。
中间串联了一个 $R_{L}$ 用来表示“世界是不完美的，我们要发热”。

3.4.5 为什么我们要这么费劲？

你可能会问：“直接算不行吗？为什么要画这个输入端口？”

如果你只是要算个电压，也许行。但如果你想理解负载调整率（当负载变化时输出电压跌多少），或者想算输入纹波电流对电源的冲击，这个输入端口的模型就是必须的。

而且，这里埋了一个伏笔：对于 Boost 这种连续输入电流的电路，输入电流就是电感电流，我们不费劲就能得到完整模型。但对于 Buck、Buck-Boost 这类脉动输入电流的电路，如果你忘了推导输入端口，你的模型就只有一条腿，是站不稳的。

这就是为什么在工程上，我们要养成一种直觉：看到电源线，就要问“源电流是谁”；看到负载线，就要问“源电压是谁”。少看一边，都会在仿真或实测时遇到“幽灵现象”——比如输出电压明明算对了，但输入电源就是莫名其妙地发烫。

一句直觉：判断要不要单独推导输入端口，看一眼输入电流波形就够了——输入电流跟着电感走（连续）的，输入端口天然就在模型里；输入电流被开关切成一段一段（脉动）的，必须补一个受控电流源。Buck、Buck-Boost 属于后者，Boost、Ćuk 属于前者。记住这条，就不会再出现「鞋只买到左脚」的尴尬。

（本节完，下一节将继续引入半导体损耗，看看真实的 MOSFET 电阻 $R_{o n}$ 和二极管压降 $V_{D}$ 会如何“污染”这个漂亮的模型。）

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

3.4 怎么搞定模型的输入端口 ​

3.4.1 先别急着管输入，输出回路是什么样？ ​

3.4.2 消失的变压器 ​

3.4.3 输入波形的真相 ​