断续导通模式（DCM） | 硬件学习笔记

18.8 断续导通模式（DCM）

上一节我们在 CCM 的泥潭里深挖了一通，盯着采样数据模型的频域响应，试图搞清楚那个在 $f_{s} / 2$ 处隐现的次谐波振荡到底是怎么回事。现在，让我们把目光从高频振荡上移开，转向另一种完全不同的工作状态。

这一节的主题是断续导通模式（DCM）。

我们之前推导的那套「一阶近似」、「采样数据模型」乃至「特征值 $α$ 」，都假定电感电流是连续的——即电感里总存着能量。但在 DCM 下，这个假设不成立了。每个开关周期结束时，电感电流都会清零。这一事实的物理后果是惊人的：它把原本复杂的二阶系统，硬生生地降阶成了近乎一阶的玩意儿。

18.8.1 开关网络的平均模型：功率源与功率汇

在 15.2 节里，我们用平均开关建模的方法处理过 DCM。在这里，我们将把这个工具箱拿出来，再次应用到 CPM 控制的 DCM 变换器上。你会发现，结果在物理意义上异常简洁。

以 Buck-Boost 变换器为例。我们关注的是开关网络的端口特性：输入端口是晶体管（ $v_{1}, i_{1}$ ），输出端口是二极管（ $v_{2}, i_{2}$ ）。

先看看波形。电感电流从零开始，在第 1 个子区间（晶体管导通）上升到峰值 $i_{p k}$ ，然后关断，在第 2 个子区间（二极管导通）下降回零，之后在第 3 个子区间保持为零。

这里有个关键点：因为是 CPM 控制，我们有一个人工斜坡（斜率为 $- m_{a}$ ）来决定关断时刻。根据 CPM 的控制逻辑，关断发生的瞬间满足：

i_{c} = i_{p k} + m_{a} d_{1} T_{s}

又因为上升斜率是 $m_{1}$ ，所以峰值电流也可以写为：

i_{p k} = m_{1} d_{1} T_{s}

把这两个式子结合起来，我们就能解出占空比 $d_{1}$ ：

d_{1} (t) = \frac{i_{c} (t)}{(m_{1} + m_{a}) T_{s}} (18.179)

输入端口：功率汇

现在看输入端口的平均电流 $⟨ i_{1} (t) ⟩_{T_{s}}$ 。它是三角形面积除以周期：

⟨ i_{1} (t) ⟩_{T_{s}} = \frac{1}{T_{s}} \int_{0}^{T_{s}} i_{1} (τ) d τ = \frac{1}{T_{s}} \cdot \frac{1}{2} i_{p k} d_{1} T_{s} = \frac{1}{2} i_{p k} d_{1} (18.180 - 18.181)

这是一个纯粹的能量转移过程。在第一个子区间，电感从输入端口吸取能量，存储为 $W = \frac{1}{2} L i_{p k}^{2}$ 。因为频率是 $f_{s}$ ，所以平均功率传输为：

⟨ p (t) ⟩_{T_{s}} = \frac{W}{T_{s}} = \frac{1}{2} L i_{p k}^{2} f_{s} (18.185)

利用式 (18.179) 把 $i_{p k}$ 和 $d_{1}$ 替换成控制信号 $i_{c}$ 和斜率 $m_{1}$ ，经过一番代数操作（原文 18.182 式），我们可以得到一个非常优雅的关系：

⟨ i_{1} (t) ⟩_{T_{s}} ⟨ v_{1} (t) ⟩_{T_{s}} = \frac{\frac{1}{2} L i_{c}^{2} f_{s}}{{(\frac{1 + m_{a} / m_{1}}{2})}^{2}} = ⟨ p (t) ⟩_{T_{s}} (18.183)

这告诉我们什么？平均输入电压乘以平均输入电流，等于一个固定的平均功率 $⟨ p (t) ⟩_{T_{s}}$ 。

这不仅仅是一个数学巧合，这是物理本质。在 DCM CPM 下，开关网络的输入端表现得像一个功率汇——无论输入电压怎么变，它只管按功率 $P$ 吃进能量。如果你不加人工斜坡（ $m_{a} = 0$ ），这个功率只取决于电感、控制信号和频率。

输出端口：功率源

既然输入是一个功率汇，那能量去哪了？在 DCM 下，电感在第 2 个子区间把刚才存的所有能量都吐给了输出端。

我们可以用类似的方法推导输出端口（二极管侧）的平均电流 $⟨ i_{2} (t) ⟩_{T_{s}}$ （18.186-18.189 式）。最终的结果是：

⟨ i_{2} (t) ⟩_{T_{s}} ⟨ v_{2} (t) ⟩_{T_{s}} = \frac{\frac{1}{2} L i_{c}^{2} f_{s}}{{(\frac{1 + m_{a} / m_{1}}{2})}^{2}} = ⟨ p (t) ⟩_{T_{s}} (18.190)

看到了吗？右边的功率 $⟨ p (t) ⟩_{T_{s}}$ 和输入端的一模一样。

这意味着，在平均模型中，开关网络的输出端可以等效为一个功率源，其值严格等于输入端消耗的功率。电感在这里的作用就像一个搬运工，每个周期把固定的一份能量从左边搬到右边，绝不截留。

把这套逻辑画成平均开关模型：晶体管被替换为一个受控功率源元件（功率汇），二极管被替换为功率源，两者数值相等，由 $L, f_{s}, i_{c}$ 和斜率决定。

18.8.2 稳态与控制特性

有了上面这个模型，求稳态解简直是降维打击。

稳态等效电路里，电感短路、电容开路，剩下的就是功率源对着负载电阻 $R$ 发力。

\frac{V^{2}}{R} = P (18.191)

这里的 $P$ 就是那个固定的平均功率（18.192 式）。解出输出电压 $V$ ，你会得到一个开方关系：

V = \sqrt{P R} = I_{c} \sqrt{\frac{R L f_{s}}{2}} \sqrt{\frac{1}{{(\frac{1 + M_{a} / M_{1}}{2})}^{2}}} (18.193)

这个公式值得你盯着看两秒。 在 CCM 下，我们习惯了 $V \approx D V_{g}$ 这种线性关系。但在 DCM CPM 下，输出电压和负载电阻的平方根成正比。这是因为功率是恒定的，而 $P = V^{2} / R$ ，所以 $V$ 被 $R$ 锁死了。

同样的推导适用于 Buck 和 Boost。它们的平均模型结构是一样的：输入口依然是功率汇，输出口依然是功率源，只是端口的定义位置变了，但本质没变。

18.8.3 小信号模型：又是单极点世界

我们终于到了这一步：扰动它，线性化它。

对前面那个功率源/功率汇模型进行小信号扰动，就能得到对应的小信号模型。这个过程我们在 15 章已经走过一遍了，唯一的区别是这里的受控源参数表达式里多了 CPM 特有的 $i_{c}$ 和 $m_{a}$ 项（具体参数见 Table 18.7 和 18.8）。这个等效电路里包含了 $g_{1}, g_{2}, r_{1}, r_{2}$ 等参数。

但是，我们不需要死记硬背那些复杂的传递函数。这里有一个重要的工程近似。

在 DCM 下，电感 $L$ 通常选得很小，甚至可以说它就是为了电流断续而存在的。这意味着，由 $L$ 引起的那个极点（以及可能存在的 RHP 零点）频率极高，往往高过开关频率 $f_{s}$ 。

对于我们要关注的低频段（远低于 $f_{s}$ ），我们可以直接把这个模型里的电感 $L$ 设为零（短路）。

当你把 $L$ 短路之后，所有拓扑（Buck, Boost, Buck-Boost）瞬间坍缩成了同一个极其简单的电路：一个受控电流源 $g_{2} {\hat{v}}_{g}$ （对输入扰动）加上另一个受控源 $f_{2} {\hat{i}}_{c}$ （对控制扰动），并联上等效电阻 $r_{2}$ 和输出电容 $C$ 。

这个模型只有一个极点，由输出电容 $C$ 和等效电阻决定：

ω_{p} = \frac{1}{(R ∥ r_{2}) C} (18.196)

看看这有多简单！控制到输出的传递函数 $G_{v c} (s)$ 和输入到输出的传递函数 $G_{v g} (s)$ 现在变成了标准的一阶低通滤波器形式：

控制-输出：
$G_{v c} (s) = \frac{\hat{v}}{{\hat{i}}_{c}} = \frac{G_{c 0}}{1 + s / ω_{p}}$
其中直流增益 $G_{c 0} = f_{2} (R ∥ r_{2})$ 。这里 $f_{2}$ 是控制信号对输出电流的增益。
线-输出：
$G_{v g} (s) = \frac{\hat{v}}{{\hat{v}}_{g}} = \frac{G_{g 0}}{1 + s / ω_{p}}$
其中直流增益 $G_{g 0} = g_{2} (R ∥ r_{2})$ 。

这意味着什么？

在 DCM CPM 下，你不再需要担心那个令人讨厌的 RHP 零点（在 Boost 或 Buck-Boost CCM 里它会让补偿网络设计变得噩梦）。也不用管次谐波振荡了——电流每个周期都归零，扰动没法积累（虽然 Buck 变换器在 $M > 2 / 3$ 时会因为非线性负载特性导致另一种不稳定，但那可以通过加一点斜坡补偿 $m_{a} > 0.086 m_{2}$ 解决）。

剩下的，就是一个干净利落的一阶系统。

总结

这一节我们从 CCM 的复杂性跳进了 DCM 的简洁性。

开关网络在 DCM CPM 下变成了理想的能量传输管道：输入端是功率汇，输出端是功率源。这一物理特性使得小信号模型极其简单——在低频段，它就是个单极点系统。

如果你在做 DCM 下的 CPM 设计，请记住这个图景：不必纠缠于电感的动态，那个 $L$ 在信号处理的意义上几乎不存在。 这是一个让你在设计补偿网络时可以稍微松口气的工作模式。

踩坑提醒：DCM CPM 下输出电压 $V \propto \sqrt{R}$ 这个关系，意味着你的输出电压对负载电阻极度敏感。负载从满载切到轻载（ $R$ 变大几倍）， $V$ 会跟着飙升 $\sqrt{几倍}$ 。所以 DCM CPM 几乎一定要套外环电压反馈，否则开环工作时机子一空载就过压。这一点和 CCM 下 $V \approx D V_{g}$ （几乎与负载无关）的脾气完全相反，从 CCM 调试切到 DCM 的同学特别容易栽在这里。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

18.8 断续导通模式（DCM） ​

18.8.1 开关网络的平均模型：功率源与功率汇 ​

输入端口：功率汇 ​

输出端口：功率源 ​

18.8.2 稳态与控制特性 ​

18.8.3 小信号模型：又是单极点世界 ​