18.6 电流程序控制变换器的外环电压反馈

到现在为止，我们一直在剖析 CPM（电流程序控制）本身。我们看到了它是如何把电感变成受控源的，看到了它是如何通过「前馈」来抑制输入电压扰动的，甚至看到了它如何驯服 LC 滤波器的谐振。

这些特性都很迷人，但它们并不是故事的终点。

如果你看一眼实际的工程板子，你会发现在那个巧妙的 CPM 控制器外面，一定还套着一层「壳子」。这层壳子就是电压反馈环。

CPM 的角色是把电流控制好——快速、精准、不出乱子。但最终，我们需要稳住的不是电流，而是输出电压。

这就是本节要构建的东西：一个完整的双环系统。

---

18.6.1 系统模型：把 CPM 装进环路里

让我们把视角拉高一点。我们在开篇其实已经暗示了这个双环结构，但我们需要把它抽象成一个清晰的数学模型，才能进行环路设计。

把旧模型升级一下

回想一下我们在第 9 章里学的那些东西。在传统的电压模式控制里，电压环的输出直接送到了 PWM 比较器，变成了占空比 $d(t)$。

现在在 CPM 系统里，逻辑稍微变了一点，但结构惊人地相似。我们只是把那个「PWM 模块」换成了「CPM 控制器模块」。

这套完整的系统模型可以一句话概括：电压环补偿器 $G_{cv}(s)$ 的输出不再是直接去调脉宽，而是变成了 CPM 控制器的控制输入 $v_c=R_f{i}_c$。

简化的切入点：闭环传递函数

虽然完整模型很严谨，但真要动手设计电压环补偿器 $G_{cv}(s)$ 时，我们并不想每次都对着这么复杂的方块图发呆。我们希望能像第 9 章那样，用波特图来「画」出答案。

要做到这一点，我们需要一个简化的入口。

还记得 18.4 节里那个惊心动魄的对比吗？我们推导了精确的 CPM 模型，并画出了 $G_{vc}(s)$（从控制电流 ${\hat{i}}_c$ 到输出电压 $\hat{v}$ 的传递函数）。既然我们已经有了这个「闭环后」的传递函数，为什么不直接把它当作黑盒子用呢？

思路就是这样：把 CPM 变换器和它的内环折叠成 $G_{vc}(s)$，外面再套电压采样 $H$ 和补偿器 $G_{cv}(s)$，一目了然。

在这个模型里，我们的任务变得非常纯粹：设计 $G_{cv}(s)$，去整形整个电压环的环路增益 $T_v$：

$$T_v=H{G}_{cv}(s)\frac{1}{R_f}{G}_{vc}(s)$$

这就完全回到了第 9 章的熟悉节奏里：我们需要把这个 $T_v$ 画出来，调整穿越频率 $f_{cv}$，保证足够的相位裕度。

还有一个伏笔：闭环输入阻抗

虽然我们现在盯着电压环，但别忘了我们之前在 18.4.4 节留下的那个关于「负电阻」和「输入滤波器」的警告。

当电压环闭合之后，整个变换器的输入阻抗 $Z_i$ 会发生变化。这就好比你给一个本来就容易手抖的人（CPM 变换器）加上了一个自动平衡系统（电压环），他的稳定性会有什么改变？

根据反馈定理（Extra Element Theorem），闭环输入导纳 $Y_i=1/Z_i$ 可以表示为：

$$Y_i=\frac{1}{1+T_v}(\frac{1}{Z_{N-cpm}}+\frac{T_v}{Z_{D-cpm}})$$

这个公式看起来有点吓人，但它只是告诉我们要算清楚两件事：$Z_{N-cpm}$ 和 $Z_{D-cpm}$。我们在 18.4.4 节已经算出过这两个东西了。现在的区别在于，它们被电压环的增益 $T_v$ 加权了。

为什么要在意这个？

还记得 17.5.2 节的那个警告吗？如果你的输入源不是理想电压源，而是带了个输出阻抗（比如加了个 EMI 滤波器），那么这个 $Z_i$ 就决定了你的系统会不会炸。虽然这节的主角是电压环设计，但心里要有这根弦：电压环不仅管输出电压，它还顺手改变了系统对输入源的性格。

---

18.6.2 实战演练：设计一个宽带宽电压环

光说不练假把式。让我们把刚才那些模型套到一个具体的 CPM Buck 变换器上，看看怎么一步步把补偿器算出来。

我们的舞台：依然是 18.5 节那个 CPM Buck 变换器，但现在我们把电压环给它加上去。

第一步：稳态参数对标

先看看我们要稳什么。

• 参考电压：$V_{ref}=3\text{ V}$。
• 分压增益：$H=0.375$。

这意味着我们期望的输出电压是：

$$V=\frac{V_{ref}}{H}=\frac{3}{0.375}=8\text{ V}$$

这和我们在 18.5.3 节用的那个例子是一样的，只是现在我们要把电压环真正闭上。

参数列表如下（这些值在之前的小节里已经反复出现，你应该很眼熟了）：

• 占空比 $D=0.67$
• 负载电流 $I_L=V/R=0.8\text{ A}$
• 斜坡补偿比 $M_a/M_2=0.525$
• 调制器增益 $F_m=3.2{\text{ A}}^{-1}$
• 前馈增益 $\text{F\_g = 0.016 text{ Omega}^{-1}}$
• $F_v\approx 0$ （在这个设计里，输出电压对占空比的前馈效应可以忽略）

第二步：利用精确模型的成果

现在我们需要 $G_{vc}(s)$。

请注意，这里不能用 18.1 节那个「简单一阶模型」来糊弄事。虽然它看起来很诱人，但它在预测高频极点时无能为力。为了保证设计靠谱，我们用表 18.3 里那个基于精确模型的 $G_{vc}(s)$ 表达式。

它长这样：

$$G_{vc}(s)=\frac{G_{c0}}{1+\frac{s}{{\omega }_{p1}{Q}_c}+(\frac{s}{{\omega }_c}{)}^2}\approx \frac{G_{c0}}{(1+\frac{s}{{\omega }_{p1}})(1+\frac{s}{{\omega }_{hf}})}$$

这里有几个关键特征频率，是我们设计电压环的「路标」：

1. 直流增益 $G_{c0}$：

   $$\text{G\_{c0} = frac{V}{D cdot F\_m V} frac{1 + F\_m V}{1 + F\_m V} approx 7.92 text{ Omega} quad (约 18 text{ dB}Omega)}$$

   注：这个分母里的 $1+F_{m}V$ 项会在最后消掉，但推导过程中体现了电流环的作用。

2. 特征频率 ${\omega }_c$（也就是原来的谐振频率，现在变味了）：

   $$f_c=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\sqrt{1+\frac{F_{m}VR}{D}}\approx 5.9\text{ kHz}$$

3. 等效品质因数 $Q_c$：

   $$Q_c=\frac{R\sqrt{1+\frac{F_{m}VR}{D}}}{{\omega }_{c}L\sqrt{1+RC{F}_{m}V}}\approx 0.034$$

   注意这个 $Q_c$ 值很小！这印证了我们在 18.4 节的观察：CPM 把那个尖锐的 LC 双极点变成了两个独立的实数极点，谐振被强力阻尼掉了。

4. 两个低频极点/高频极点： 根据那两个根，我们可以分解出：

   • 主极点 $f_{p1}$：$f_{p1}=Q_c{f}_c\approx 201\text{ Hz}$
   • 高频极点 $f_{hf}$：$f_{hf}=f_c/Q_c\approx 174\text{ kHz}$

这一步实际上是为后面 PI 补偿器的设计铺路。前面仿真已经把这个传递函数的形状画出来了：它看起来就像一个单极点系统，从直流开始一直以 -20dB/dec 的斜率滚降，直到遇到 174kHz 的高频极点。

这意味着我们有机会把电压环做得非常宽。

第三步：PI 补偿器的介入

既然对象 $G_{vc}(s)$ 这么温顺（只有一个 200Hz 的主极点），我们的补偿器就可以设计得很简单：一个经典的 PI（比例-积分）就够了。

$$G_{cv}(s)=G_{cm}(1+\frac{{\omega }_{zv}}{s})$$

我们的目标是在保证稳定的前提下，把带宽拉得尽可能高。这年头，谁不喜欢响应快的电源呢？

第四步：穿越频率的选择

我们想要多快？ 让我们定个激进点的目标：$f_{cv}=40\text{ kHz}$。 这已经是开关频率 $f_s$（200kHz）的五分之一了。在电压模式控制里，这通常很难做到，因为你要避开 LC 谐振的坑。但在 CPM 里？没问题。

看看波特图草图。 在穿越频率 $f_{cv}$ 处，我们要保证环路增益 $T_v$ 的斜率是 -20dB/dec。根据 PI 补偿器的特性，零点 ${\omega }_{zv}$ 会贡献 +20dB/dec，抵消掉对象 $G_{vc}(s)$ 的 -20dB/dec。

所以在 $f_{cv}$ 处，幅值大约是：

$$|T_v|\to \frac{H}{R_f}\frac{G_{c0}{G}_{cm}{\omega }_{p1}}{\omega }$$

为了让 $|T_v|$ 在 $\omega =2\pi f_{cv}$ 时等于 1（即 0dB），我们可以反推出 $G_{cm}$：

$$G_{cm}=\frac{R_f}{H{G}_{c0}}\frac{f_{cv}}{f_{p1}}$$

把数值代进去：

$$G_{cm}=\frac{0.5}{0.375\times 7.92}\frac{40000}{201}\approx 67.1$$

算出 $G_{cm}$ 是 67.1，这个数字很合理，既不是大得离谱，也不是小得可怜。

第五步：相位裕度的校验

增益搞定了，现在来看看稳不稳。 相位裕度的公式可以写成各部分贡献之和：

$${\varphi }_v={180}^{\circ }+\mathrm{\angle }{T}_v(j\omega )$$$${\varphi }_v={180}^{\circ }-{90}^{\circ }(\text{积分})-{90}^{\circ }(\text{主极点})+{\tan }^{-1}(\frac{f_{cv}}{f_{zv}})-{\tan }^{-1}(\frac{f_{cv}}{f_{hf}})$$

前两个 $-{90}^{\circ }$ 被基准的 ${180}^{\circ }$ 扛住了，关键在于后面两项：

• 零点贡献：${\tan }^{-1}(f_{cv}/f_{zv})$ —— 拉升相位。
• 高频极点贡献：${\tan }^{-1}(f_{cv}/f_{hf})$ —— 拉低相位。

在我们的设计里，高频极点 $f_{hf}$ 在 174kHz，而穿越频率 $f_{cv}$ 在 40kHz。这个极点会吃掉一部分相位：

$${\tan }^{-1}(\frac{40000}{174000})\approx {13}^{\circ }$$

为了把这部分补回来，我们需要精心放置零点 $f_{zv}$。 让我们试着把零点放在穿越频率的三分之一处：$f_{zv}=f_{cv}/3\approx 13.3\text{ kHz}$。

这时候相位裕度是多少？

$${\varphi }_v={\tan }^{-1}(\frac{40}{13.3})-{13}^{\circ }\approx {72}^{\circ }-{13}^{\circ }={59}^{\circ }$$

59 度。 这简直是个完美的数字。既没有太保守（比如 90 度那样反应迟钝），也没有太激进（比如 45 度那样容易振铃）。这意味着你的系统在阶跃响应时会非常干脆，只有一点点过冲。

最终的仿真结果就是：在 40kHz 处，增益正好穿过 0dB，相位保持在安全区。

就这样，一个外环电压反馈设计完成了。它坐在 CPM 这个强壮的内环肩膀上，轻松实现了一个电压模式控制很难企及的带宽和响应速度。这就是双环架构的威力。

踩坑提醒：把穿越频率推到 $f_s/5$ 这种激进位置，前提是你的精确模型和实际电路对得上。这里最容易翻车的是采样电阻 $R_f$ 的寄生电感——电流模式控制对电流采样的边沿非常敏感，$R_f$ 上哪怕几 nH 的寄生电感，在 200kHz 开关边沿处都会感应出尖峰，直接糊在比较器输入上，让你精心算的 59 度相位裕度变成纸面数字。布板时 $R_f$ 一定要走开尔文接法，并且紧贴电流采样运放的输入端。否则仿真里 59 度，板子上可能只有 20 度，一上电就啸叫。

---

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。