DCM 变换器的高频动力学 | 硬件学习笔记

15.5 DCM 变换器的高频动力学

上一节我们盯着那个通用的 CCM-DCM1 仿真模型，把 DCM 的低频特性摸了个底透。结论很清晰：DCM 的低频行为像一阶系统，电感几乎不参与动态过程（被近似成了短路）。

但这事儿还没完。

如果这时候你把仿真频率拉高，或者去观察真实电路在开关频率附近的波动，你会发现刚才那个「完美的一阶系统」开始撒谎了。15.3 节留了个伏笔：为了简化模型，我们假设电感两端的交流电压平均值为零。在低频段这个假设很稳，但到了高频段，这个假设得扔掉。

本节的任务就是扒开这个高频极点的皮，看看它到底是从哪儿冒出来的。你会发现，它和 PWM 调制器的「采样」特性，以及电感电流那种奇特的「脉冲响应」有着脱不开的关系。

15.5.1 隐藏在采样过程中的幽灵

让我们回到时域，盯着波形看。把 DCM 变换器稳态和受到小信号扰动时的波形放到一起放大对比，里面藏着一个很有意思的现象。

扰动是怎么被「锁存」下来的

假设 PWM 调制器的输入信号 $v_{c} (t)$ 包含一个直流分量 $V_{c}$ 和一个极小的交流扰动 ${\hat{v}}_{c}$ 。

这个 ${\hat{v}}_{c}$ 不会立刻改变电路的状态。它得等。

等到什么时候？等到 PWM 比较器的输出被触发的那一刻——也就是开关管关断（Trailing Edge，后沿）的那一瞬间。

在那一刻，你会看到开关管的驱动波形被拉长了一小段时间 $\hat{d} T_{s}$ 。这一拉长不要紧，电感电流 $i_{L}$ 的波形也被「传染」上了一个扰动。

仔细看这个电流扰动 ${\hat{i}}_{L}$ 。

它不是正弦波，也不是连续的曲线。
它是一个梯形脉冲。
这个脉冲从开关管关断的那一刻开始，持续了大约 $D_{2} T_{s}$ 的时间。

这揭示了 DCM 高频动力学的第一个真相：扰动是被「锁存」住的。在扰动发生之前，系统对此一无所知；扰动发生后，其影响会持续一个固定的时间窗口（二极管导通的子区间）。

15.5.2 等效保持过程

如果把扰动 $\hat{d} T_{s}$ 无限缩小（趋向于零），刚才那个梯形脉冲就变成了一系列极窄的尖峰。

这就是所谓的脉冲响应。

你可以把这个过程想象成「采样-保持」电路，但它是开关变换器自带的物理特性：

采样：PWM 调制器的后沿对控制电压 ${\hat{v}}_{c} (t)$ 进行了一次「采样」，产生了一个理想的冲激信号 $\hat{d} T_{s} δ (t)$ 。
保持：这个冲激并没有立刻消失，而是被电感电流的物理过程「展宽」成了一个矩形脉冲。这个脉冲的宽度是 $D_{2} T_{s}$ ，高度取决于电感电流的上升和下降斜率 $(m_{1} + m_{2}) \hat{d} T_{s}$ 。

这就是为什么我们叫它「等效保持」。它像极了数字信号处理里的零阶保持器（ZOH）：输入是一个离散的采样点，输出是一段持续时间的方波。

在 15.3 节里，我们粗暴地把电感电压设为零，等于假设这个「保持」过程是瞬间完成的。但在高频下，这个 $D_{2} T_{s}$ 的延时效应无法忽视——它就是相位滞后的来源。

15.5.3 从时域脉冲到频域极点

现在让我们把这些直觉翻译成数学。

步骤 1：定义采样变量

占空比扰动 $\hat{d}$ 不是连续时间的函数，它是一个被采样后的变量。在数学上，我们用星号上标表示采样变量：

{\hat{d}}^{*} (t) = \frac{{\hat{v}}_{c} (t)}{V_{M}} \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} δ (t - k T_{s})

这串公式只是在说： $\hat{d}$ 是 ${\hat{v}}_{c}$ 在每个开关周期 $T_{s}$ 开始时的采样值。对它做拉普拉斯变换，你会得到一串边带：

{\hat{d}}^{*} (s) = \frac{1}{V_{M}} \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} {\hat{v}}_{c} (s - j k ω_{s})

这是采样系统的标准操作，没什么新鲜的。

步骤 2：描述「保持」的传递函数

关键在于电感电流 ${\hat{i}}_{L}$ 对这个采样扰动的响应。前面说过， ${\hat{i}}_{L}$ 是一个矩形脉冲。

在时域上，这个脉冲可以写成两个阶跃函数之差（一个上升沿减去一个下降沿）：

{\hat{i}}_{L} (t) = (m_{1} + m_{2}) \hat{d} T_{s} (h (t) - h (t - D_{2} T_{s}))

其中 $h (t)$ 是单位阶跃函数。

对这段时域描述做拉普拉斯变换，你就能得到这个「等效保持器」的传递函数：

L {{\hat{i}}_{L} (t)} = (m_{1} + m_{2}) \hat{d} T_{s} (\frac{1 - e^{- s D_{2} T_{s}}}{s})

注意到了吗？分子那个 $(1 - e^{- s D_{2} T_{s}})$ 就是延时特性的典型特征。

步骤 3：拼出完整的 $G_{i c} (s)$

现在把两部分拼起来。控制电压 ${\hat{v}}_{c}$ 先被调制器采样变成 ${\hat{d}}^{*}$ ，再经过电感的「等效保持」变成 ${\hat{i}}_{L}$ 。

因为我们只关心低于开关频率的低频特性（ $k = 0$ 的主频带），其他的边带可以滤掉。于是，控制到电感电流的传递函数就出来了：

G_{i c} (s) = \frac{{\hat{i}}_{L} (s)}{{\hat{v}}_{c} (s)} = \frac{(m_{1} + m_{2})}{V_{M}} T_{s} \frac{1 - e^{- s D_{2} T_{s}}}{s}

这就是真相。

这不是我们在教科书里常见的那种简单的 $1 / (1 + s / ω_{0})$ 形式。它包含一个讨厌的指数项 $e^{- s D_{2} T_{s}}$ 。这个指数项，正是时域里那段「持续 $D_2T_s 时间的脉冲」在频域的投影。

15.5.4 Padé 近似与高频极点

虽然 $e^{- s D_{2} T_{s}}$ 是精确的，但它不好用。工程师喜欢有理函数（多项式之比），因为好画波特图，好做补偿设计。

这里我们祭出一个经典工具：Padé 近似。它的作用是用一阶有理函数去逼近那个讨厌的指数项（也就是纯延时）。

一阶 Padé 近似公式告诉我们：

e^{- s D_{2} T_{s}} \approx \frac{1 - s / ω_{2}}{1 + s / ω_{2}}

其中，转折频率 $ω_{2}$ 定义为：

ω_{2} = \frac{1}{π D_{2} T_{s}} = \frac{f_{s}}{π D_{2}}

把这个近似代回刚才的 $G_{i c} (s)$ ，经过一番化简，那个 $(1 - e^{- x})$ 和分母的 $(1 + x)$ 一碰撞，奇迹发生了：

G_{i c} (s) \approx \frac{(m_{1} + m_{2}) D_{2} T_{s}}{V_{M}} \frac{1}{1 + s / ω_{2}}

看，指数项消失了，取而代之的是一个标准的一阶低通滤波器形式。

这就是高频极点的真身。

这个极点有多高？

这就很有意思了。既然 $ω_{2} = \frac{f_{s}}{π D_{2}}$ ，而我们知道 $D_{2}$ 永远小于 1（在 DCM 下二极管导通时间肯定小于一个周期）。

这意味着 $ω_{2}$ 至少是开关频率 $f_{s}$ 的 $1 / π$ 倍，也就是大约 1/3 倍的开关频率。

这非常高！这解释了为什么我们在做低频环路分析时可以大胆地忽略电感动态——因为它的反应太快了，完全躲在那些我们要重点关注的低频极点后面。

表 15.4 给出了三种基本变换器（Buck, Boost, Buck-boost）的具体高频极点位置公式。你会发现它们的形式都大同小异，核心都是 $f_{s}$ 除以一个和占空比相关的因子。

表 15.4 DCM 变换器控制-输出传递函数中的高频极点

变换器	高频极点 $f_{2}$
Buck	$\frac{M}{D (1 - M)} \frac{f_{s}}{π}$
Boost	$\frac{M - 1}{D} \frac{f_{s}}{π}$
Buck-boost	$\frac{

15.5.5 右半平面零点（RHP）的命运

这时候你可能会问：8.2.3 节里那个让 Boost 变换器闻风丧胆的「右半平面零点」，在 DCM 里怎么样了？

好消息：在 DCM 里，RHP 零点的影响被大大削弱了。

原因还是那个「脉冲响应」。在 CCM 里，占空比增加会导致电感电流上升，进而导致二极管续流时间（关断时间）变长，这会导致一个持续很久的电压下跌——这就是 RHP 零点的物理来源。

但在 DCM 里，二极管本来就是在电流为零时自然关断的。那个「反向的瞬态响应」被限制在了一个极短的时间窗口内（就是那个 $D_{2} T_{s}$ ）。

因为 $D_{2} T_{s}$ 很短，这个 RHP 零点被推到了极高的频率（远高于开关频率）。在实用的控制环路设计中，它几乎可以忽略不计。

本章小结

这一章我们走了一段漫长的路，从 DCM 的物理直觉开始，建立了无损电阻模型，推导了有效电阻 $R_{e}$ ，最后把它和 CCM 模型「强行」融合在了一起。

回到开头那个困惑：为什么我们不能只用简单的平均模型？因为 DCM 的本质变了。电感不再总是存储能量，它变成了一种「受控的能量传递媒介」。这种机制的改变，让我们在面对环路设计时，必须时刻警惕两种模式之间的鸿沟。

现在手里有了 CCM-DCM1 这个仿真器，你就有了一个可靠的「数字沙盘」。下次当你设计一个可能跨越 CCM/DCM 边界的变换器时，别光盯着稳态曲线，一定要在 SPICE 里跑一圈 AC 分析，看看那条相位曲线是不是在某个时刻突然给你来个九十度急转弯。

💡 那个 $π$ 是从哪冒出来的？ 高频极点公式 $f_{2} = \frac{f_{s}}{π D_{2}}$ 里藏着一个 $π$ ，看着很玄乎，其实它的来历朴素得很。Padé 近似把「持续 $D_{2} T_{s}$ 的延时」近似成一个极点，而一阶 Padé 的转折点正好落在延时长度乘以 $π$ 处（这是 $\tan$ 函数的级数展开带来的系数）。换句话说：延时越长，极点越低；延时越短（ $D_{2}$ 小），极点越高。这也是为什么 DCM 下二极管导通时间 $D_{2} T_{s}$ 一短，电感动态就躲到天上去——它的「延时」太小，根本来不及在你关心的低频段兴风作浪。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

15.5 DCM 变换器的高频动力学 ​

15.5.1 隐藏在采样过程中的幽灵 ​

扰动是怎么被「锁存」下来的 ​

15.5.2 等效保持过程 ​

15.5.3 从时域脉冲到频域极点 ​

步骤 1：定义采样变量 ​

步骤 2：描述「保持」的传递函数 ​

步骤 3：拼出完整的 Gic(s) ​

15.5.4 Padé 近似与高频极点 ​

这个极点有多高？ ​

15.5.5 右半平面零点（RHP）的命运 ​

本章小结 ​