7.5.3 深入理解状态空间平均法的结果

上一节我们用一套看起来很高级的矩阵操作，直接「砸」出了线性化模型的结果 (7.110)。但如果你回头看一眼那个过程，可能会有点眩晕——我们是怎么从离散的开关动作跳到连续的微分方程的？那个 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 矩阵的加权平均到底代表了什么物理意义？

这不仅仅是数学游戏。这一节，我们要把这个数学过程和物理波形重新对齐。

你会发现，这套「状态空间平均法」其实和 7.2 节里我们用手算推导平均模型的过程是同一件事——只是这一次，我们用矩阵的语言把它说得更清楚、更通用。

从平均定义开始：把时间轴抹平

就像我们之前处理电感电流和电容电压一样，建模的第一步是承认一个事实：我们只关心低频分量。

对于电感电流或电容电压这些状态变量，我们可以把它们打包成一个向量 $\mathbf{x}(t)$。为了去掉那些让我们心烦的开关纹波，我们对它在一个开关周期 $T_s$ 内进行积分平均：

$$⟨\mathbf{x}(t){⟩}_{T_s}=\frac{1}{T_s}{\int }_{t-T_s/2}^{t+T_s/2}\mathbf{x}(\tau )d\tau (7.111)$$

输入向量 $\mathbf{u}(t)$ 和输出向量 $\mathbf{y}(t)$ 也照此办理。这个操作的核心目的只有一个：把高频开关动作造成的锯齿波抹平，只留下低频包络。

接下来，我们对电感电压方程和电容电流方程（也就是状态方程）两边同时取平均。这就得到了描述低频动态的核心方程：

$$K\frac{d⟨\mathbf{x}(t){⟩}_{T_s}}{dt}=[d(t){\mathbf{A}}_1+d^{\prime }(t){\mathbf{A}}_2]⟨\mathbf{x}(t){⟩}_{T_s}+[d(t){\mathbf{B}}_1+d^{\prime }(t){\mathbf{B}}_2]⟨\mathbf{u}(t){⟩}_{T_s}(7.112)$$

如果你觉得眼熟，没错——这其实就是我们在 7.2 节里用「小纹波近似」推导出的 (7.2) 式的矩阵版。只不过那时我们在算 $v_L$ 和 $i_C$，现在我们在算整个系统的状态矩阵。

这一步到底做了什么？——把矩阵推导拉回物理世界

让我们停下来，看看 (7.112) 式是怎么从实际电路行为中长出来的。不要被矩阵符号吓跑，它其实只是在描述一个非常直观的过程：分段线性 + 拼接。

想象我们在观察状态向量 $\mathbf{x}(t)$ 中的一个元素（比如电感电流 $i_L(t)$）在一个开关周期内的变化。

第一阶段：开关在位置 1 在这个子区间内，电路拓扑是固定的。根据 (7.104) 式，状态变量变化的斜率由矩阵 ${\mathbf{A}}_1$ 和 ${\mathbf{B}}_1$ 决定：

$$\frac{d\mathbf{x}(t)}{dt}={\mathbf{K}}^{-1}[{\mathbf{A}}_1\mathbf{x}(t)+{\mathbf{B}}_1\mathbf{u}(t)]$$

如果你使用了「小纹波近似」，也就是假设 $\mathbf{x}(t)$ 和 $\mathbf{u}(t)$ 在一个周期内几乎没变（或者变化非常慢），那么这个斜率在子区间内就是常数。我们可以直接用平均值代替瞬时值：

$$\frac{d\mathbf{x}(t)}{dt}\approx {\mathbf{K}}^{-1}[{\mathbf{A}}_1⟨\mathbf{x}(t){⟩}_{T_s}+{\mathbf{B}}_1⟨\mathbf{u}(t){⟩}_{T_s}](7.113)$$

这不仅是数学近似，这是我们在工程上做出的一次豪赌：赌开关频率足够高，高到波形看起来几乎是直的。如果这个假设不成立，后面的推导全是废纸。

在这个恒定斜率的作用下，经过时长 $d{T}_s$ 后，状态向量的值从初始值 $\mathbf{x}(0)$ 变成了 $\mathbf{x}(d{T}_s)$：

$$\mathbf{x}(d{T}_s)=\underset{\text{初值}}{\underbrace{\mathbf{x}(0)}}+\underset{\text{时间长度}}{\underbrace{(d{T}_s)}}\cdot \underset{\text{斜率}}{\underbrace{{\mathbf{K}}^{-1}[{\mathbf{A}}_1⟨\mathbf{x}(t){⟩}_{T_s}+{\mathbf{B}}_1⟨\mathbf{u}(t){⟩}_{T_s}]}}(7.114)$$

第二阶段：开关跳到位置 2 同样的逻辑，此时状态方程变成了 (7.105) 式，由 ${\mathbf{A}}_2$ 和 ${\mathbf{B}}_2$ 接管。斜率也变了：

$$\frac{d\mathbf{x}(t)}{dt}\approx {\mathbf{K}}^{-1}[{\mathbf{A}}_2⟨\mathbf{x}(t){⟩}_{T_s}+{\mathbf{B}}_2⟨\mathbf{u}(t){⟩}_{T_s}](7.115)$$

这次区间长度是 $d^{\prime }{T}_s$。从 $\mathbf{x}(d{T}_s)$ 走到这一周期结束时的 $\mathbf{x}(T_s)$：

$$\mathbf{x}(T_s)=\underset{\text{初值}}{\underbrace{\mathbf{x}(d{T}_s)}}+\underset{\text{时间长度}}{\underbrace{(d^{\prime }{T}_s)}}\cdot \underset{\text{斜率}}{\underbrace{{\mathbf{K}}^{-1}[{\mathbf{A}}_2⟨\mathbf{x}(t){⟩}_{T_s}+{\mathbf{B}}_2⟨\mathbf{u}(t){⟩}_{T_s}]}}(7.116)$$

拼接时刻 现在把 (7.114) 代入 (7.116)。你会发现这一长串式子其实只是在说：把两段路程加起来。

$$\mathbf{x}(T_s)=\mathbf{x}(0)+d{T}_s{\mathbf{K}}^{-1}[\dots ]+d^{\prime }{T}_s{\mathbf{K}}^{-1}[\dots ]$$

把公共项 ${\mathbf{K}}^{-1}$ 和 $T_s$ 提出来，整理一下：

$$\mathbf{x}(T_s)=\mathbf{x}(0)+T_s{\mathbf{K}}^{-1}\{[d(t){\mathbf{A}}_1+d^{\prime }(t){\mathbf{A}}_2]⟨\mathbf{x}(t){⟩}_{T_s}+[d(t){\mathbf{B}}_1+d^{\prime }(t){\mathbf{B}}_2]⟨\mathbf{u}(t){⟩}_{T_s}\}(7.118)$$

到了这一步，离终点只差最后一步数学操作。

从离散跳到连续

我们有一个周期结束时的值 $\mathbf{x}(T_s)$ 和初始值 $\mathbf{x}(0)$。对于平均向量 $⟨\mathbf{x}(t){⟩}_{T_s}$ 来说，它的导数近似等于一个周期内的净变化量除以时间：

$$\frac{d⟨\mathbf{x}(t){⟩}_{T_s}}{dt}\approx \frac{\mathbf{x}(T_s)-\mathbf{x}(0)}{T_s}(7.119)$$

把刚才算出来的 $\mathbf{x}(T_s)$ (也就是 7.118 式) 代进去，减去 $\mathbf{x}(0)$，再除以 $T_s$。你会惊讶地发现，$\mathbf{x}(0)$ 抵消了，$T_s$ 也约掉了，剩下的正是我们一开始给出的 (7.112) 式：

$$K\frac{d⟨\mathbf{x}(t){⟩}_{T_s}}{dt}=[d(t){\mathbf{A}}_1+d^{\prime }(t){\mathbf{A}}_2]⟨\mathbf{x}(t){⟩}_{T_s}+[d(t){\mathbf{B}}_1+d^{\prime }(t){\mathbf{B}}_2]⟨\mathbf{u}(t){⟩}_{T_s}(7.120)$$

这就是我们一直在寻找的基本平均模型。

但这故事还没完。如果你盯着 (7.120) 看几秒钟，你会发现一个麻烦事：它是非线性的。

看那个 $d(t){\mathbf{A}}_1⟨\mathbf{x}(t){⟩}_{T_s}$ 项——控制输入 $d(t)$ 居然和状态变量 $⟨\mathbf{x}(t){⟩}_{T_s}$ 乘在了一起。这就好比你开车的油门效果不仅取决于你踩多深，还取决于车速有多快——这就是典型的非线性系统。想象那条平均量虚线是如何在两个斜率之间来回切换的，就是这个物理过程。

输出向量的平均

除了状态变量（电感电流、电容电压），我们还得关心输出向量 $\mathbf{y}(t)$（比如输出电压 $v(t)$ 或输入电流 $i_g(t)$）。

$\mathbf{y}(t)$ 的平均过程稍微有点不同。在 7.104 和 7.105 式中，输出方程是代数方程（没有导数）。这意味着在开关瞬间，输出量可能会发生突变（跳变）。

$\mathbf{y}(t)$ 在开关瞬间可能是不连续的（会跳变）。但没关系，平均法依然有效——我们照样在一个周期内积分：

$$⟨\mathbf{y}(t){⟩}_{T_s}=d(t)[{\mathbf{C}}_1⟨\mathbf{x}(t){⟩}_{T_s}+{\mathbf{E}}_1⟨\mathbf{u}(t){⟩}_{T_s}]+d^{\prime }(t)[{\mathbf{C}}_2⟨\mathbf{x}(t){⟩}_{T_s}+{\mathbf{E}}_2⟨\mathbf{u}(t){⟩}_{T_s}](7.121)$$

整理一下矩阵，得到输出方程的平均形式：

$$⟨\mathbf{y}(t){⟩}_{T_s}=[d(t){\mathbf{C}}_1+d^{\prime }(t){\mathbf{C}}_2]⟨\mathbf{x}(t){⟩}_{T_s}+[d(t){\mathbf{E}}_1+d^{\prime }(t){\mathbf{E}}_2]⟨\mathbf{u}(t){⟩}_{T_s}(7.122)$$

同样，这也是个非线性方程（$d(t)$ 又乘进去了）。

现在，我们把平均后的状态方程 (7.120) 和输出方程 (7.122) 放在一起，这就是完整的平均模型：

$$\begin{array}{rl}K\frac{d⟨\mathbf{x}(t){⟩}_{T_s}}{dt}& =[d(t){\mathbf{A}}_1+d^{\prime }(t){\mathbf{A}}_2]⟨\mathbf{x}(t){⟩}_{T_s}+[d(t){\mathbf{B}}_1+d^{\prime }(t){\mathbf{B}}_2]⟨\mathbf{u}(t){⟩}_{T_s}\\ ⟨\mathbf{y}(t){⟩}_{T_s}& =[d(t){\mathbf{C}}_1+d^{\prime }(t){\mathbf{C}}_2]⟨\mathbf{x}(t){⟩}_{T_s}+[d(t){\mathbf{E}}_1+d^{\prime }(t){\mathbf{E}}_2]⟨\mathbf{u}(t){⟩}_{T_s}\end{array}(7.123)$$

最后一步：扰动与线性化

现在我们手里有一个非线性的平均模型 (7.123)。为了得到传递函数，必须把它拉直成线性的。这就像我们在 7.2 节做的那样：找个直流工作点站住，然后轻轻推一下。

第一步：找直流工作点 当输入是直流 ($d(t)=D,\mathbf{u}(t)=\mathbf{U}$) 时，系统达到稳态。稳态意味着导数为零。令 (7.123) 式导数为零，解出的稳态值 $\mathbf{X},\mathbf{Y}$ 就是准静态工作点：

$$0=\mathbf{A}\mathbf{X}+\mathbf{B}\mathbf{U}(7.124)$$$$\mathbf{Y}=\mathbf{C}\mathbf{X}+\mathbf{E}\mathbf{U}$$

这里的 $\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{E}$ 就是代入直流占空比 $D$ 和 $D^{\prime }$ 后的加权平均矩阵。

第二步：引入扰动 现在，我们在直流工作点上叠加一个小得多的交流扰动：

$$\begin{array}{rl}⟨\mathbf{x}(t){⟩}_{T_s}& =\mathbf{X}+\hat{\mathbf{x}}(t)\\ ⟨\mathbf{u}(t){⟩}_{T_s}& =\mathbf{U}+\hat{\mathbf{u}}(t)\\ ⟨\mathbf{y}(t){⟩}_{T_s}& =\mathbf{Y}+\hat{\mathbf{y}}(t)\\ d(t)& =D+\hat{d}(t)\Rightarrow d^{\prime }(t)=D^{\prime }-\hat{d}(t)\end{array}(7.125)$$

这里有个必须遵守的前提：交流量必须远小于直流量。如果 $\hat{d}(t)$ 大到让 $d(t)$ 在 0 和 1 之间饱和，或者 $\hat{\mathbf{x}}(t)$ 大到让电感电流过零，那这个模型就崩了。

$$\parallel \mathbf{U}\parallel \gg \parallel \hat{\mathbf{u}}(t)\parallel ,D\gg |\hat{d}(t)|,\parallel \mathbf{X}\parallel \gg \parallel \hat{\mathbf{x}}(t)\parallel (7.126)$$

第三步：代入并展开（重头戏来了） 把 (7.125) 代回平均方程 (7.123)。注意 $d(t)$ 和 $d^{\prime }(t)$ 也进去了，展开时会有一堆项冒出来。让我们只看状态方程的展开过程：

$$K\frac{d(\mathbf{X}+\hat{\mathbf{x}}(t))}{dt}=[(D+\hat{d}){\mathbf{A}}_1+(D^{\prime }-\hat{d}){\mathbf{A}}_2](\mathbf{X}+\hat{\mathbf{x}})+[(D+\hat{d}){\mathbf{B}}_1+(D^{\prime }-\hat{d}){\mathbf{B}}_2](\mathbf{U}+\hat{\mathbf{u}})(7.127)$$

展开左边，$\frac{d\mathbf{X}}{dt}=0$（直流不变）。 展开右边，会得到两类东西：

1. 直流项：不含 $\hat{}$ 的，比如 $(D{\mathbf{A}}_1+D^{\prime }{\mathbf{A}}_2)\mathbf{X}$。
2. 一阶交流项：含一个 $\hat{}$ 的，比如 $(D{\mathbf{A}}_1+D^{\prime }{\mathbf{A}}_2)\hat{\mathbf{x}}$，或者是 $({\mathbf{A}}_1-{\mathbf{A}}_2)\mathbf{X}\hat{d}$。
3. 二阶非线性项：含两个 $\hat{}$ 的，比如 $({\mathbf{A}}_1-{\mathbf{A}}_2)\hat{\mathbf{x}}\hat{d}$。

把 (7.127) 全部展开写出来就是 (7.128) 式。看着吓人，其实就是把上面的三类东西排队：

$$K\frac{d\hat{\mathbf{x}}(t)}{dt}=\underset{\text{一阶交流项：我们要的}}{\underbrace{\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}(t)+\mathbf{B}\hat{\mathbf{u}}(t)+[({\mathbf{A}}_1-{\mathbf{A}}_2)\mathbf{X}+({\mathbf{B}}_1-{\mathbf{B}}_2)\mathbf{U}]\hat{d}(t)}}+\underset{\text{二阶非线性项：丢掉}}{\underbrace{({\mathbf{A}}_1-{\mathbf{A}}_2)\hat{\mathbf{x}}\hat{d}+({\mathbf{B}}_1-{\mathbf{B}}_2)\hat{\mathbf{u}}\hat{d}}}+\underset{\text{直流项：等于0}}{\underbrace{\mathbf{A}\mathbf{X}+\mathbf{B}\mathbf{U}}}(7.128)$$

现在，让我们清理现场：

• 直流项：根据 (7.124)，这部分本来就是 0，直接扔掉。
• 二阶项：比如 $\hat{\mathbf{x}}\hat{d}$。这是两个微小量相乘，相比于 $\hat{\mathbf{x}}$ 或 $\hat{d}$ 自身，它小得可以忽略不计（前提是 7.126 成立）。这就是线性化的本质——扔掉高阶小量。

剩下的，就是我们梦寐以求的线性化交流小信号模型：

$$K\frac{d\hat{\mathbf{x}}(t)}{dt}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}(t)+\mathbf{B}\hat{\mathbf{u}}(t)+\{({\mathbf{A}}_1-{\mathbf{A}}_2)\mathbf{X}+({\mathbf{B}}_1-{\mathbf{B}}_2)\mathbf{U}\}\hat{d}(t)(7.129)$$

以及对应的输出方程：

$$\hat{\mathbf{y}}(t)=\mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}(t)+\mathbf{E}\hat{\mathbf{u}}(t)+\{({\mathbf{C}}_1-{\mathbf{C}}_2)\mathbf{X}+({\mathbf{E}}_1-{\mathbf{E}}_2)\mathbf{U}\}\hat{d}(t)$$

仔细看这个结果。第一项 $\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\hat{\mathbf{u}}$ 描述了系统在固定拓扑下的自然响应（由 LC 决定）；而那个长长的 $\hat{d}(t)$ 项，描述了控制输入（占空比）是如何通过改变拓扑结构（${\mathbf{A}}_1\to {\mathbf{A}}_2$）来微调系统状态的。

这个结果，正是上一节末尾我们一笔带过的 (7.109) 式。现在你不仅看到了结果，还看到了它背后的血肉——从分段线性推导，到平均化近似，再到泰勒展开扔掉高阶项的全过程。

💡 矩阵差 $({\mathbf{A}}_1-{\mathbf{A}}_2)$ 的直觉：线性化结果里那个最唬人的系数 $({\mathbf{A}}_1-{\mathbf{A}}_2)\mathbf{X}$，其实有个非常直白的物理解释——它衡量的是「两个子拓扑到底差在哪」。如果开关动作只是把一个理想开关短路/开路、对储能元件的连接关系几乎没变（${\mathbf{A}}_1\approx {\mathbf{A}}_2$），那这个系数就接近零，意味着控制对系统几乎没有直接注入，$G_{vd}$ 会很弱。反过来，拓扑切换越剧烈，控制权越大。所以调试时如果你发现占空比怎么调输出都不动，先去查 ${\mathbf{A}}_1,{\mathbf{A}}_2$ 是不是写得太像了——很可能你把两个子区间的拓扑列重了。

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参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。