7.5.1 网络的状态方程

上一节我们搞出了标准模型，那个模型其实就是一个「通用翻译器」——把任何 PWM 变换器都翻译成电路图。 但这事有一个更底层的玩法，也就是教科书里的「硬核模式」：状态空间平均法。

在翻开这本硬核手册之前，我们需要先统一一下语言——这就是状态方程。

写方程的终极规范

我们在第 2 章一开始其实就在干这件事，只是当时没把它写成这么整齐的矩阵形式。对于一个线性网络，它的物理核心是什么？是储能元件。

• 电感里的电流
• 电容两端的电压

这些变量描述了系统的「能量状态」。在物理课上你可能背过，要描述一个质点的运动，你需要它的位置和速度——这里也是一样，电感电流和电容电压就是电路世界的「位置和速度」。只要知道了这些状态变量在 $t_0$ 时刻的值，再加上系统的输入（比如电压源），原则上你就能推算出未来任何时刻系统的样子。

为了让计算机（或者搞控制的数学家）看着舒服，我们把这一堆微分方程塞进一个矩阵的「标准容器」里：

$$K\frac{d\mathbf{x}(t)}{dt}=\mathbf{A}\mathbf{x}(t)+\mathbf{B}\mathbf{u}(t)\text{--- (7.91)}$$$$\mathbf{y}(t)=\mathbf{C}\mathbf{x}(t)+\mathbf{E}\mathbf{u}(t)$$

这里的每一项都有它的物理含义，我们得把它们对上号：

• $\mathbf{x}(t)$ 是状态向量：这就是你的「记忆黑匣子」，里面装着所有的电感电流 $i_L$ 和电容电压 $v_C$。写成列向量就是：

  $$\mathbf{x}(t)=\left[\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ ⋮\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{v}_1(t)\\ v_2(t)\\ i(t)\end{array}\right]\text{--- (7.93)}$$

• $\mathbf{u}(t)$ 是输入向量：这是外部施加的暴力，独立的电压源 $v_g(t)$ 或者电流源 $i_{in}(t)$。

• $\mathbf{K}$ 矩阵：这是个物理参数矩阵，通常是诊断的。它里面填的是电容值 $C$、电感值 $L$。如果是耦合电感，还要加上互感 $M$。它的作用是把 $d\mathbf{x}/dt$（电流/电压的导数）转换成物理上的电压/电流（电感电压 $Ldi/dt$，电容电流 $Cdv/dt$）。

  $$\mathbf{K}\frac{d\mathbf{x}(t)}{dt}=\left[\begin{array}{c}{C}_1\frac{d{v}_1}{dt}\\ C_2\frac{d{v}_2}{dt}\\ L\frac{di}{dt}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{i}_{C1}\\ i_{C2}\\ v_L\end{array}\right]\text{--- (7.92 近似)}$$

• $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 矩阵：这两个矩阵描述了电路内部的连接关系（拓扑结构）。它们告诉我们，电感电压和电容电流是如何由状态变量和输入源线性组合而成的。

• $\mathbf{y}(t)$ 是输出向量：这是你想算出来的任何东西，不一定是物理上的输出端电压，也可以是你关心的任意支路电流（比如输入电流 $i_g$）。

• $\mathbf{C},\mathbf{E}$ 矩阵：这两个矩阵告诉你，那些「被观测」的信号是如何由状态和输入组合而成的。

实战演练：把电路塞进矩阵

光看定义容易晕，我们直接上手撸一个电路。 来看一个示例电路：这玩意儿有两个电容 $C_1,C_2$ 和一个电感 $L$，外加一个电流源 $i_{in}(t)$ 和一堆电阻。

第一步：定义变量 我们要选状态变量 $\mathbf{x}(t)$。别忘了，只选独立的储能元件。 这里 $C_1,C_2,L$ 都是独立的，所以：

$$\mathbf{x}(t)=\left[\begin{array}{c}{v}_1(t)\\ v_2(t)\\ i(t)\end{array}\right]$$

输入向量很简单，就一个电流源：

$$\mathbf{u}(t)=[i_{in}(t)]$$

输出向量 $\mathbf{y}(t)$ 我们可以自己定。假设我们关心输出电压 $v_{out}$ 和电阻 $R_1$ 上的电流 $i_{R1}$，那就把这两个塞进去：

$$\mathbf{y}(t)=\left[\begin{array}{c}{v}_{out}(t)\\ i_{R1}(t)\end{array}\right]$$

第二步：构建 $\mathbf{K}$ 矩阵 因为没有耦合电感，$\mathbf{K}$ 矩阵就是对角阵，直接把 $L,C$ 塼进去：

$$\mathbf{K}=\left[\begin{array}{ccc}{C}_1& 0& 0\\ 0& C_2& 0\\ 0& 0& L\end{array}\right]\text{--- (7.94)}$$

第三步：列 KVL/KVL 方程（这是核心） 我们现在要把电感电压 $v_L$ 和电容电流 $i_{C1},i_{C2}$ 表示成 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{u}$ 的线性组合。也就是要把方程写成「$a\cdot v_1+b\cdot v_2+c\cdot i+d\cdot i_{in}$」这种形式。

1. 电容 $C_1$ 的电流（对节点列 KCL）： 电流源进来，分成两路，一路去 $R_1$，一路去电感。

   $$i_{C1}(t)=C_1\frac{d{v}_1}{dt}=i_{in}(t)-\frac{v_1(t)}{R_1}-i(t)\text{--- (7.97)}$$

   看到了吗？右边全是状态变量和输入变量。

2. 电容 $C_2$ 的电流（对节点列 KCL）： 电感电流进来，分流到 $R_2$ 和 $R_3$。

   $$i_{C2}(t)=C_2\frac{d{v}_2}{dt}=i(t)-\frac{v_2(t)}{R_2+R_3}\text{--- (7.98)}$$

   注意这里 $R_2$ 和 $R_3$ 是串联的，所以用 $v_2$ 除以总电阻。这确保了右边只出现 $v_2$ 这个状态变量。

3. 电感 $L$ 的电压（对回路列 KVL）：

   $$v_L(t)=L\frac{di}{dt}=v_1(t)-v_2(t)\text{--- (7.99)}$$

第四步：组装矩阵方程 把 (7.97), (7.98), (7.99) 这三个方程拼起来，左边就是 $\mathbf{K}\frac{d\mathbf{x}}{dt}$（也就是 $[i_{C1},i_{C2},v_L{]}^T$）。

$$\left[\begin{array}{ccc}{C}_1& 0& 0\\ 0& C_2& 0\\ 0& 0& L\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{d{v}_1}{dt}\\ \frac{d{v}_2}{dt}\\ \frac{di}{dt}\end{array}\right]=\underset{\mathbf{A}}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{R_1}& 0& -1\\ 0& -\frac{1}{R_2+R_3}& 1\\ 1& -1& 0\end{array}\right]}}\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ i\end{array}\right]+\underset{\mathbf{B}}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]}}[i_{in}]\text{--- (7.100)}$$

仔细对照一下：

• $\mathbf{A}$ 矩阵的第一行对应 $C_1$：系数是 $-1/R_1,0,-1$。完全对得上 (7.97)。
• $\mathbf{A}$ 矩阵的第二行对应 $C_2$：系数是 $0,-1/(R_2+R_3),1$。完全对得上 (7.98)。
• $\mathbf{A}$ 矩阵的第三行对应 $L$：系数是 $1,-1,0$。完全对得上 (7.99)。

第五步：搞定输出方程 $\mathbf{y}$ 我们定义了 $\mathbf{y}$ 包含 $v_{out}$ 和 $i_{R1}$。我们也得把它们写成 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{u}$ 的线性组合。

1. $v_{out}$：它是 $v_2$ 的分压。

   $$v_{out}(t)=v_2(t)\frac{R_3}{R_2+R_3}\text{--- (7.101)}$$

   这意味着 $v_{out}$ 只跟 $v_2$ 有关，跟 $v_1,i$ 没关系。

2. $i_{R1}$：欧姆定律。

   $$i_{R1}(t)=\frac{v_1(t)}{R_1}\text{--- (7.102)}$$

   只跟 $v_1$ 有关。

把它们也写成矩阵形式：

$$\left[\begin{array}{c}{v}_{out}\\ i_{R1}\end{array}\right]=\underset{\mathbf{C}}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}0& \frac{R_3}{R_2+R_3}& 0\\ \frac{1}{R_1}& 0& 0\end{array}\right]}}\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ i\end{array}\right]+\underset{\mathbf{E}}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]}}[i_{in}]\text{--- (7.103)}$$

你看，一旦把 $\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{D}(\text{即}\mathbf{E}),\mathbf{K}$ 这五个矩阵填好，这个电路的动态模型就彻底描述完了。

一个小注记

其实从第 2 章开始，我们一直在列状态方程，只是当时我们只盯着一个电感或一个电容，用标量方程来解。 现在我们只是把那些老朋友塞进了一个向量矩阵的「西装」里。这套西装的好处是：对于那种有 5 个电感、7 个电容的变态电路，矩阵形式能让你不至于疯掉。

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7.5.2 基本的状态空间平均模型

好了，热身结束。 上一节我们学会了怎么把一个「线性电路」塞进矩阵里。 但变换器的问题是：它是非线性的。因为它在不停地切换拓扑。 开关在位置 1 时，电路是一套 ${\mathbf{A}}_1,{\mathbf{B}}_1$ 矩阵；开关在位置 2 时，电路变成另一套 ${\mathbf{A}}_2,{\mathbf{B}}_2$ 矩阵。

这怎么办？ 状态空间平均法 的逻辑是：既然我们在 7.2 节里把波形平均了（忽略了纹波），那我们也应该把方程平均了。

两个世界的切换

假设我们在处理一个工作在 CCM（连续导通模式）下的 PWM 变换器。 在一个周期内，它经历两个子区间：

1. 子区间 1（导通，占空比 $d$）： 开关动作把电路接成了某种线性网络。此时状态方程是：

   $$\mathbf{K}\frac{d\mathbf{x}(t)}{dt}={\mathbf{A}}_1\mathbf{x}(t)+{\mathbf{B}}_1\mathbf{u}(t)\text{--- (7.104)}$$

2. 子区间 2（关断，占空比 $d^{\prime }$）： 开关动作变了，拓扑变了。此时状态方程是：

   $$\mathbf{K}\frac{d\mathbf{x}(t)}{dt}={\mathbf{A}}_2\mathbf{x}(t)+{\mathbf{B}}_2\mathbf{u}(t)\text{--- (7.105)}$$

注意这里的 ${\mathbf{A}}_1$ 和 ${\mathbf{A}}_2$ 是完全不同的两套连接关系。比如 Buck 变换器，导通时电感接在 $V_{in}$，关断时电感接在 地（通过二极管），矩阵里的系数自然不同。

平均的魔法

如果我们假设变换器的自然频率（也就是我们要关心的动态变化速度）远低于开关频率——这正是我们做小信号分析的前提——那么我们可以大胆地做一个操作：对状态方程本身进行加权平均。

正如我们在 7.2 节里把 $v_L(t)$ 和 $i_C(t)$ 在一个周期内平均成 $⟨v_L⟩=d\cdot (\text{on值})+d^{\prime }\cdot (\text{off值})$ 一样，这里的矩阵也可以这么干。

平均后的直流平衡方程是：

$$0=\mathbf{A}\mathbf{X}+\mathbf{B}\mathbf{U}\text{--- (7.106)}$$$$\mathbf{Y}=\mathbf{C}\mathbf{X}+\mathbf{E}\mathbf{U}$$

这里大写的 $\mathbf{X},\mathbf{U},\mathbf{Y}$ 代表稳态值（Quiescent values），也就是没有扰动时的直流分量。

而那个被平均出来的矩阵 $\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{E}$ 是怎么来的？是两个子拓扑矩阵的「混合体」：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{A}& =d{\mathbf{A}}_1+d^{\prime }{\mathbf{A}}_2\\ \mathbf{B}& =d{\mathbf{B}}_1+d^{\prime }{\mathbf{B}}_2\\ \mathbf{C}& =d{\mathbf{C}}_1+d^{\prime }{\mathbf{C}}_2\\ \mathbf{E}& =d{\mathbf{E}}_1+d^{\prime }{\mathbf{E}}_2\end{array}\text{--- (7.107)}$$

这就是状态空间平均法的核心一步。 它把一个时变的、非线性的切换系统，变成了一个（在一定近似下的）线性的、连续的平均模型。

如果你只想算稳态（比如给定输入电压 $V_g$ 和占空比 $D$，求输出电压 $V$），你只需要解 (7.106) 这个代数方程组：

$$\mathbf{X}=-{\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{U}\text{--- (7.109)}$$

这其实就是我们在第 2 章里算 $V=D{V}_g$ 的矩阵版通用公式。

扰动：真正的交流模型

但我们的目标是交流小信号模型。我们要引入扰动。 还记得我们在 7.2 节里怎么推导 $M(D){\hat{v}}_g+\dots$ 的吗？我们把 $v_g=V_g+{\hat{v}}_g$ 代入，然后展开。 这里完全一样。我们对状态方程里的所有变量都引入交流小扰动：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{x}(t)& =\mathbf{X}+\hat{\mathbf{x}}(t)\\ \mathbf{u}(t)& =\mathbf{U}+\hat{\mathbf{u}}(t)\\ d(t)& =D+\hat{d}(t)\end{array}$$

把这些代入平均后的方程，利用泰勒展开的一阶近似（忽略 $\hat{x}\cdot \hat{d}$ 这种二阶小量），你会得到一个不仅含有 $\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{u}}$，还多了一项含有 $\hat{d}(t)$ 的方程。

最终得到的小信号交流状态方程长这样：

$$\mathbf{K}\frac{d\hat{\mathbf{x}}(t)}{dt}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}(t)+\mathbf{B}\hat{\mathbf{u}}(t)+\{({\mathbf{A}}_1-{\mathbf{A}}_2)\mathbf{X}+({\mathbf{B}}_1-{\mathbf{B}}_2)\mathbf{U}\}\hat{d}(t)\text{--- (7.110)}$$$$\hat{\mathbf{y}}(t)=\mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}(t)+\mathbf{E}\hat{\mathbf{u}}(t)+\{({\mathbf{C}}_1-{\mathbf{C}}_2)\mathbf{X}+({\mathbf{E}}_1-{\mathbf{E}}_2)\mathbf{U}\}\hat{d}(t)$$

这一大坨东西里，真正值得关注的是那个 $\hat{d}(t)$ 前面的系数。 $\{({\mathbf{A}}_1-{\mathbf{A}}_2)\mathbf{X}+({\mathbf{B}}_1-{\mathbf{B}}_2)\mathbf{U}\}$ 这一项是什么？它就是控制信号对系统的直接注入。 它反映了这么一个物理事实：当你改变占空比 $d$ 时，你不仅改变了电路拓扑的权重（$\mathbf{A}$ 的变化），还直接改变了等效电压源的幅度（$\mathbf{B}$ 的变化）。

总结一下这条路径

状态空间平均法给了我们一套「全自动」流程：

1. 写子拓扑方程：分别写出开关在位置 1 和位置 2 时的 ${\mathbf{A}}_1,{\mathbf{B}}_1,{\mathbf{A}}_2,{\mathbf{B}}_2$。
2. 平均：用 $d$ 和 $d^{\prime }$ 把它们加权混合，得到 $\mathbf{A},\mathbf{B}$。
3. 扰动与线性化：把矩阵方程在直流工作点附近展开，丢掉高阶项。

做完这三步，你就得到了 (7.110)。这就包含了你需要的一切信息：输入到输出的传递函数（在 $\hat{\mathbf{u}}$ 那一项），以及控制到输出的传递函数（在 $\hat{d}$ 那一项）。

接下来，只要把这个通用的矩阵形式，应用到具体的 Buck、Boost 或者 Buck-Boost 电路上，我们就能推导出那个传说中的「标准模型」了。这就是下一节要干的事——我们会看到那些枯燥的矩阵是如何变回成 $e(s)$ 和 $j(s)$ 这样的受控源的。

💡 什么时候别用状态空间法：状态空间平均法看着很「万能」，但它有个隐形门槛——你得能写出每个子区间干净的线性状态方程 $\mathbf{K}\dot{\mathbf{x}}={\mathbf{A}}_i\mathbf{x}+{\mathbf{B}}_i\mathbf{u}$。一旦电路里出现「开关瞬间状态跳变」（比如带 ESR 的电容、或者电容直接被开关短接），$\mathbf{x}$ 在子区间边界上不连续，状态空间的「连续演化」假设就崩了。这时候要么换状态变量（详见 7.5.5 节怎么处理 ESR），要么老老实实回到开关平均法。别迷信矩阵万能，它也有它的适用边界。

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参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。