电路平均与平均开关模型

14.1 电路平均与平均开关模型

有一类问题，表面上看是工程技巧，实际上是对「不变性」的重新定义。

我们在这一章要处理的，正是这样一个问题。

如果你一直跟着前面的章节推导到现在，你可能已经有点累了：我们一直在这个叫「状态空间平均法」的泥潭里打转，每遇到一种新的变换器拓扑，就要重新写一遍方程，重新画一次等效电路，重新算一遍传递函数。这不仅是体力活，更重要的是，它让我们迷失在代数里，看不清电路到底在干什么。

难道我们不能像处理电阻、电容那样，直接把「开关网络」封装成一个黑盒子，然后像搭积木一样把它塞进电路里吗？

答案是肯定的。这一章的任务，就是扔掉那堆繁琐的微分方程，改用一种更直观、更通用的方法——电路平均法（Circuit Averaging）。

它的核心思想非常简单：既然开关只是在不停地切换电路连接，那我们能不能找到一种等效电路，它的端口特性跟原来的开关网络一模一样，但内部连接不再随时间变化？如果这个可行，我们就可以把这个「平均开关模型」插回原电路，直接得到整个变换器的平均模型。

这个方法不仅能处理本章要讲的 SEPIC，对于 Buck、Boost 甚至更复杂的隔离变换器都通用。它是电源工程师手里那把真正的「瑞士军刀」。

14.1.1 冻结时间：获得时不变电路

让我们先退一步，看看问题的本质是什么。

在开关变换器里，最让人头疼的就是拓扑结构一直在变。上一刻 MOSFET 导通，下一刻它关断，电路的连接关系完全是「看心情」的。这种**时变（Time-Varying）**特性，是阻碍我们使用常规电路分析方法的罪魁祸首。

电路平均法的第一步，就是要把这个时变系统硬生生变成一个**时不变（Time-Invariant）**系统。

怎么做？我们用「替身战术」。

我们可以把整个变换器拆成两块：

开关网络：只包含半导体开关（MOSFET 和二极管），通常表现为一个二端口网络。
其余部分：电感、电容、电阻和电源，这部分本来就是线性的、时不变的。

现在，盯着那个开关网络。虽然它内部在乱跳，但它的端口是有电压和电流的。如果我们不管它是怎么实现这个端口的，而是直接用两个受控源——一个电压源，一个电流源——去替代它，会怎样？

建立映射（第一次）：你可以把开关网络想象成一个「切菜机器人」。它有两种状态：一种是把菜剁碎（开关动作），一种是把菜拼好（整流输出）。你想研究菜的流动规律（功率传输），但机器人的动作太快了，你看不清。于是你用一个「虚拟厨师」来替代这个机器人：无论机器人怎么切，虚拟厨师总是能按照机器人切完后的平均效果，把菜递给下一个人。这个虚拟厨师，就是我们的平均开关模型。

好，回到电路。我们执行了这一步替换操作：

端口 1 的电压 $v_{1} (t)$ 变成了一个受控电压源。
端口 2 的电流 $i_{2} (t)$ 变成了一个受控电流源。

这两个受控源的波形，被严格定义为必须等同于原开关网络端口的实际波形。

但这只是第一步。

揭示距离（第二次）：但「替身」这个比喻有一个地方是错的：真正的替身需要完全模仿主人的每一个动作，包括那些疯狂的快动作。我们这里的受控源，虽然在波形上模仿了开关（也是高频跳变的），但它在电路拓扑上已经不再变化了——它就是一个在那儿输出波形的发生器，不管波形长什么样，它连在电路里的位置是不变的。这就是「时不变」的来源：拓扑被冻结了，虽然波形还在跳。

这步操作没有任何近似，替换前后的电路在电学上是严格等效的。问题并没有解决，只是被转化了——我们只是把开关换成了源，高频纹波还在那里嘲笑我们。

14.1.2 抹平波峰：大信号平均模型

现在我们手里有一个拓扑不变的电路，但信号还是高频的。接下来，我们要用那一招老掉牙但极其有效的绝活：平均。

这一步的目标是去掉开关纹波，只保留直流和低频交流分量。这基于一个核心假设：变换器的自然时间常数（由 $L$ 和 $C$ 决定）远大于开关周期 $T_{s}$ 。这意味着，虽然电压电流在剧烈波动，但它们在一个周期内的平均值变化得很慢。

让我们以 SEPIC 变换器为例，看看它的端口波形。对于连续导通模式（CCM），我们可以利用那个熟悉的「小纹波近似」，直接把波形写成状态变量的函数。

我们要找的是端口 1（输入侧）和端口 2（输出侧）的平均量关系。注意，我们要选好自变量和因变量。在这个二端口网络里，我们选 $i_{1} (t)$ 和 $v_{2} (t)$ 作为独立输入（自变量），那么 $v_{1} (t)$ 和 $i_{2} (t)$ 就是非独立输出（因变量）。当然，控制输入 $d (t)$ 也是自变量。

对着这些波形，我们可以直接写出平均值的表达式：当开关导通（ $d T_{s}$ ）时，电流 $i_{1}$ 流入；当关断（ $d^{'} T_{s}$ ）时，它实际上是两个电感电流之和在回路里转。经过一段稍微有点绕路的代数推导（其实就是利用电感电流和电容电压的关系把中间变量消掉），我们会得到两个极其简洁的公式：

⟨ v_{1} (t) ⟩_{T_{s}} = \frac{d^{'} (t)}{d (t)} ⟨ v_{2} (t) ⟩_{T_{s}}

⟨ i_{2} (t) ⟩_{T_{s}} = \frac{d^{'} (t)}{d (t)} ⟨ i_{1} (t) ⟩_{T_{s}}

这一刻，如果你觉得有点眼熟，那你的直觉是对的。这两个方程描述了一个理想变压器。变比是多少？是 $d^{'} : d$ 。

我们由此画出等效电路。注意，这里的 $d (t)$ 是随时间变化的信号（包含直流分量 $D$ 和交流小信号 $\hat{d}$ ）。所以这是一个大信号、非线性模型。

回到那个厨师（第三次）：现在再看那个虚拟厨师（平均开关模型）。你会发现他不再需要模仿机器人疯狂的快动作了。他只需要手里拿着一张菜谱（公式 14.7 和 14.8），上面写着：「如果输入菜量是 $A$ ，根据顾客要求 $d$ ，每分钟必须递出 $A \cdot \frac{d^{'}}{d}$ 的菜量」。他处理的是「平均量」，而不是每一刀的瞬间。机器人（开关）负责把物理过程变成高频交流（切菜），厨师（平均模型）负责描述宏观上的能量传递比例。

14.1.3 注入微扰：从非线性到线性

这个大信号模型虽然好用，但它是非线性的——因为有 $d (t)$ 在分母上。为了得到我们梦寐以求的传递函数，必须把它线性化。这是老规矩了：引入扰动，扔掉高阶项。

我们把所有变量都拆成直流稳态值 + 交流小扰动量：

d (t) = D + \hat{d} (t)

⟨ v_{1} (t) ⟩_{T_{s}} = V_{1} + {\hat{v}}_{1} (t)

...以此类推。

把这些代入那个非线性的变压器公式（14.7），展开它，你会得到一堆项。有一项特别讨厌，比如 $\hat{d} (t) {\hat{v}}_{2} (t)$ 。这是两个微小量的乘积，它是二阶小量。在工程上，我们假设扰动足够小，小到两个微小量的乘积可以忽略不计。这一步是构建小信号模型的基石——如果扰动太大，这个模型就失真了。

经过一番化简（见式 14.11 到 14.12），奇迹出现了：原来的非线性项，被分解成了两部分的线性叠加！

一个理想变压器：变比依然是 $D^{'} : D$ 。这部分负责传递直流和交流功率。
两个受控源：
- 电压源 $V_{g} \frac{\hat{d}}{D^{2} D^{'}}$ （这里原文是 $V_{1}$ ，实际上是 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 的组合，见公式 14.12）：代表控制扰动 $\hat{d}$ 引起的电压变化。
- 电流源 $I_{2} \frac{\hat{d}}{D^{2} D^{'}}$ ：代表控制扰动 $\hat{d}$ 引起的电流变化。

最终得到的模型就是这样。这就是传说中的平均开关模型。它长得像个变压器（实线部分），但肚子里还装着两个小信号源（正弦线部分）。它既能算直流工作点，又能算交流传递函数。

把这个模型塞回 SEPIC 的电路里，替换掉原来的开关 Q1 和 D1，你就得到了完整的平均模型。剩下的工作就是大一学生的电路分析题了——解这个电路，写出传递函数。搞定。

踩坑提醒：这一步「扔掉二阶小量 $\hat{d} {\hat{v}}_{2}$ 」是整个小信号模型合法性的命门，新手最容易栽在这儿。线性化只有在工作点附近「扰动够小」时才成立——经验值是 $| \hat{d} | / D$ 别超过几个百分点。如果你拿这个模型去仿真占空比从 0.3 一口气跳到 0.7 的「大信号」负载阶跃，算出来的波形会和真实开关仿真差得离谱，甚至出现负电阻这种荒唐东西。记住：平均开关模型不是万能的，它是「小信号」模型；要看大信号瞬态，请回退到上一节那个未线性化的大信号模型，或者干脆上详细开关仿真。

14.1.4 功率的幽灵：间接功率传输

到这里，你可能觉得故事结束了。但有一个问题一直悬着，像幽灵一样。如果你回头看看那个 SEPIC 的原始电路，你会发现一件怪事：晶体管 Q1 和二极管 D2 之间，根本就没有任何电气连接。中间隔着电容 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 。

既然物理上是不连通的，那我们刚才推导出来的那个「变压器」模型，是怎么把功率从端口 1 传到端口 2 的？如果你没问过这个问题，说明你还没真正懂平均模型。

让我们揭开这个谜底。这其实是理解高频变换器的关键。

物理真相：没有直达的「直通车」

在 SEPIC、Cuk 这类变换器里，并没有一根导线能直接把功率从输入送到输出。如果你想在直流层面找一条通路，你会死路一条——开关断开了它。

真正的搬运工：高频交流（间接功率）

功率是怎么过去的？它是被「抛」过去的。准确地说，是被变成了高频交流，飞了过去，然后被抓回来的。

逆变（端口 1）：晶体管 Q1 在这里充当了「逆变器」的角色。它把输入的直流功率（ $P_{1} = ⟨ v_{1} ⟩ ⟨ i_{1} ⟩$ ）切成了高频脉冲（交流功率）。这个过程可以看作是 DC -> AC。
传输（电容）：这些高频脉冲以电流的形式冲进电容 $C_{1}$ 和电感 $L_{1}$ 、 $L_{2}$ 。注意，电容在开关频率下阻抗极低（近似短路），所以这些高频电流能顺畅地流过去。这就是「间接功率」的流动路径。
整流（端口 2）：二极管 D2 在这里充当了「整流器」。它把流过来的高频交流电流「抓」住，整形成直流，送向负载。

我们来做一道简单的数学题来验证这件事。瞬时功率 $p_{1} (t) = v_{1} (t) i_{1} (t)$ 。把它拆解成平均值 + 纹波量：

v_{1} (t) = ⟨ v_{1} ⟩ + {\tilde{v}}_{1} (t)

i_{1} (t) = ⟨ i_{1} ⟩ + {\tilde{i}}_{1} (t)

相乘之后会得到四项。如果你对一个周期取平均（求 $⟨ \cdot ⟩_{T_{s}}$ ），你会发现交叉项（平均值 $\times$ 纹波）消失了，最后剩下：

⟨ p_{1} (t) ⟩_{T_{s}} = ⟨ v_{1} ⟩ ⟨ i_{1} ⟩ + ⟨ {\tilde{v}}_{1} {\tilde{i}}_{1} ⟩

因为 Q1 是理想开关，它不消耗能量，所以平均输入功率必须为零（能量守恒）。这意味着：

⟨ v_{1} ⟩ ⟨ i_{1} ⟩ = - ⟨ {\tilde{v}}_{1} {\tilde{i}}_{1} ⟩

右边这一项 $⟨ {\tilde{v}}_{1} {\tilde{i}}_{1} ⟩$ ，就是高频交流功率。这公式告诉我们：端口 1 吞进的直流功率，必须等于端口 1 吐出的高频交流功率。 这个高频功率就是我们说的「间接功率」。它没有直接连过去，而是变成了交流，通过寄生在电感和电容上的纹波传播过去。

注意这就是为什么我们总是说「纹波越小，效率越高」不仅是个笑话，在物理上有时是不对的。对于这类变换器，纹波（ $\tilde{v}$ 和 $\tilde{i}$ ）不仅仅是噪音，它是能量搬运工。如果纹波真的为零（无限大频率），这些变换器就彻底停摆了，因为没有间接功率可以传输。当然，这并不意味着纹波越大越好，因为 EMI 和损耗会随之增加。

直接功率 vs 间接功率

理解了这一点，我们就可以把变换器分为两类：

拥有「直通车」的：比如 Buck 或 Boost。在开关导通期间，存在一条物理通路直接连接输入源和输出负载。这里的一部分功率（Direct Power）是直接溜过去的，不需要变成高频交流。这部分功率只走电阻，不走磁件损耗，效率通常更高。
没有「直通车」的：比如 SEPIC、Cuk 以及所有的隔离型变换器。原边和副边（或输入输出）在任何时刻都没有直流通路。100% 的功率都必须经历「逆变 -> 传输 -> 整流」这个过程（全部都是 Indirect Power）。这意味着功率要两次经过半导体开关，还要经过磁件的励磁过程，损耗通常会更难控制。

这就是为什么 SEPIC 虽然拓扑优美，但工程师们总嫌弃它效率不高的根本原因——它太累了，所有的能量都要被「折腾」一番才能到达终点。

本章回响

这一节我们做了一件看似矛盾的事：我们承认开关网络在剧烈跳变，却找到了一个不变的模型。

电路平均法的精髓在于：只要我们在乎的是低频平均行为，高频的动作细节就可以被封装进一个受控源里。 那个看起来像变压器的等效电路，不只是一张电路图，它是功率流动的抽象地图。它告诉我们，即便没有导线相连，功率依然可以通过高频的媒介——间接功率——在输入和输出之间通过「虚线」流动。

理解了这一点，下一章当我们面对更复杂的 DCM（断续导通模式）或者谐振变换器时，你会发现这个思路依然适用：无论波形变得多么诡异，我们总能找到那个代表能量传输核心的「平均替身」。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

14.1 电路平均与平均开关模型 ​

14.1.1 冻结时间：获得时不变电路 ​

14.1.2 抹平波峰：大信号平均模型 ​

14.1.3 注入微扰：从非线性到线性 ​

14.1.4 功率的幽灵：间接功率传输 ​

14.1 电路平均与平均开关模型

14.1.1 冻结时间：获得时不变电路

14.1.2 抹平波峰：大信号平均模型

14.1.3 注入微扰：从非线性到线性

14.1.4 功率的幽灵：间接功率传输