22.4.4 从指标回到槽路

让我们把视线收回到设计图板上。

上一节我们推导出了那个令人不安的 $R_{crit}$，它划定了 ZVS（零电压开关）和 ZCS（零电流开关）的生死边界。现在我们面临一个更实际的问题：如果我已经有了一套严格的性能指标，我该怎么反推元件参数？而且，这样设计出来的系统，它的 ZVS 边界会在哪里？

这一节，我们就来做一次「反向工程」。与其拿着公式猜参数，不如让我们像解决一道数学题那样，把给定的输出特性反推回谐振槽路。

假设你正在设计一个谐振变换器（比如一个 LCC 逆变器）。客户给的规格书就像一张不可能完成的任务单：

• 输入电压 $V_g=160\text{ V}$
• 开关频率 $f_s=100\text{ kHz}$
• 开路电压（负载断开时的峰值电压）$V_{oc}=400\text{ V}$
• 额定输出 $150{\text{ V}}_{\text{rms}}$，功率 $25\text{ W}$

现在的任务是：选出一组谐振元件（$L,C_s,C_p$），不仅要满足这些电压功率指标，还要算出这个方案的 $R_{crit}$ 到底是多少，以此判断我们在额定工作点是否处于安全的 ZVS 区域。

第一步：把规格书变成椭圆参数

还记得那个椭圆输出特性吗？要画出它，我们需要两个关键锚点：开路电压 $V_{oc}$ 和短路电流 $I_{sc}$。$V_{oc}$ 已经给定了，我们需要先算出传递函数的增益，再反推 $I_{sc}$。

首先，计算在空载时我们需要多大的增益。 输入方波的基波幅值是 $V_{s1}=\frac{4}{\pi }{V}_g$。要得到 $400\text{ V}$ 的峰值输出，我们的开路传递函数 $\parallel H_{\mathrm{\infty }}(j{\omega }_s)\parallel$ 必须是：

$$\parallel H_{\mathrm{\infty }}(j{\omega }_s)\parallel =\frac{V_{oc}}{V_{s1}}=\frac{400}{\frac{4}{\pi }160}\approx 1.96$$

这告诉我们，槽路在这个频率下必须是一个接近 2 倍的升压结构。

接下来，我们要算 $I_{sc}$。在额定工作点（$25\text{ W},150{\text{ V}}_{\text{rms}}$），电压和电流峰值很容易算出：

$$\begin{gathered} V=150\sqrt{2}\approx 212\text{ V} \\ I=\frac{P}{V_{rms}}/\sqrt{2}=\frac{25}{150}\sqrt{2}\approx 0.236\text{ A} \end{gathered}$$

利用椭圆方程（式 22.61），我们可以算出维持这个椭圆形状所需的短路电流 $I_{sc}$。这个式子的几何意义是：椭圆上的一点 $(V,I)$、半长轴 $V_{oc}$ 和半短轴 $I_{sc}$ 必须满足正交关系：

$$I_{sc}=\frac{I}{\sqrt{1-(\frac{V}{V_{oc}}{)}^2}}=\frac{0.236}{\sqrt{1-(\frac{212}{400}{)}^2}}\approx 0.278\text{ A}$$

有了 $V_{oc}$ 和 $I_{sc}$，我们就能找到「匹配负载」点（Matched Load, $R_{mat}$），也就是输出功率最大的那个点，同时也对应了槽路输出阻抗 $\parallel Z_{o0}\parallel$：

$$\parallel Z_{o0}(j{\omega }_s)\parallel =\frac{V_{oc}}{I_{sc}}=\frac{400}{0.278}\approx 1439\mathrm{\Omega }$$

注意这个数值：$1439\mathrm{\Omega }$。这是我们槽路在 $100\text{ kHz}$ 下的特征阻抗。

第二步：解构 LCC 槽路

现在我们手里拿着三个参数：$\parallel H_{\mathrm{\infty }}\parallel =1.96$（增益），$\parallel Z_{o0}\parallel =1439\mathrm{\Omega }$（阻抗），频率 ${\omega }_s=2\pi \cdot 100\text{ kHz}$。

我们要把这个目标映射到 LCC 槽路上。 这个槽路由串联支路（$L$ 和 $C_s$）和并联支路（$C_p$）组成。我们可以把它们的电抗简化为 $j{X}_s$ 和 $j{X}_p$：

• 并联支路：$j{X}_p=\frac{1}{j\omega C_p}$
• 串联支路：$j{X}_s=j\omega L+\frac{1}{j\omega C_s}$

通过电路分析，我们可以得出这两个电抗值：

• 对于并联支路，利用分压关系和阻抗并联公式，我们可以解出 $X_p$：

  $$j{X}_p=\frac{Z_{o0}}{1-H_{\mathrm{\infty }}}$$

  代入数值，算出 $X_p\approx -1499\mathrm{\Omega }$。负号代表它是电容。 由此可得 $C_p$：

  $$C_p=-\frac{1}{{\omega }_s{X}_p}\approx 1.06\text{ nF}$$

• 对于串联支路，利用总阻抗关系，我们可以解出 $X_s$：

  $$X_s=X_p\frac{1-H_{\mathrm{\infty }}}{H_{\mathrm{\infty }}}$$

  代入数值，算出 $X_s\approx 733\mathrm{\Omega }$。

这里有一个设计自由度（Degree of Freedom）。 $X_s$ 是 $733\mathrm{\Omega }$，但它可以是感性的，也可以是容性的，甚至可以是 $L$ 和 $C_s$ 的任意组合，只要它们串联后的总电抗是 $733\mathrm{\Omega }$ 即可。 公式如下：

$$L=\frac{1}{{\omega }_s}(X_s+\frac{1}{{\omega }_s{C}_s})$$

• 如果你选 $C_s$ 非常大（相当于短路），那么你就得到了一个纯粹的并联谐振变换器（Parallel Resonant Converter），此时 $L\approx 1.17\text{ mH}$。
• 如果你选 $C_s=C_p=1.06\text{ nF}$，那么你需要 $L\approx 3.5\text{ mH}$。

无论你怎么配，在 $100\text{ kHz}$ 这个中心频率上，它们的表现是一模一样的。但是，一旦频率偏离，不同的 $C_s$ 会导致行为完全不同。这就是为什么仿真很重要。

第三步：那个致命的 $R_{crit}$

元件选好了，现在终于可以回答开头的问题了：这个设计的 ZVS 边界在哪里？

对于这种标准的 LCC 网络，$R_{crit}$ 并不是随便选的，它被你的规格书（$V_g,V_{oc},I_{sc}$）死死锁住了。 我们可以直接代入公式计算：

$$R_{crit}=\frac{\parallel Z_{o0}^2\parallel }{\parallel Z_{o\mathrm{\infty }}\parallel }\frac{1}{1-\parallel H_{\mathrm{\infty }}{\parallel }^2}$$

经过一番推导（见式 22.72），计算结果是：

$$R_{crit}\approx 1466\mathrm{\Omega }$$

这意味着什么？ 回顾上一节的结论：只有当负载电阻 $R<R_{crit}$ 时，我们才处于 ZVS 区域。 我们的额定负载电阻 $R_{nom}=900\mathrm{\Omega }$。因为 $900<1466$，我们在额定工作点是安全的，拥有零电压开关（ZVS）。

但这里有个坑：如果负载变轻，电阻上升到超过 $1466\mathrm{\Omega }$，你就会瞬间失去 ZVS，跌入 ZCS 区域。如果此时你还在期待 ZVS 带来的高效率，那就会失望了。

第四步：验证开关管的应力

最后，作为工程师，我们得关心一下开关管会不会爆。 让我们检查一下在最坏情况下的电流应力。

• 开路时（$R\to \mathrm{\infty }$）： 输入阻抗是串联和并联电抗之和：$Z_{i\mathrm{\infty }}=j(X_s+X_p)$。 代入数值：$Z_{i\mathrm{\infty }}=j(733-1493)=-j760\mathrm{\Omega }$。 开关管峰值电流：

  $$I_{s1}=\frac{V_{s1}}{\parallel Z_{i\mathrm{\infty }}\parallel }=\frac{203V}{760\mathrm{\Omega }}\approx 0.268\text{ A}$$

• 短路时（$R\to 0$）： 输入阻抗仅由串联支路决定：$Z_{i0}=j{X}_s=j733\mathrm{\Omega }$。 开关管峰值电流：

  $$I_{s1}=\frac{V_{s1}}{\parallel Z_{i0}\parallel }=\frac{203V}{733\mathrm{\Omega }}\approx 0.278\text{ A}$$

你会发现，开路和短路时的电流惊人地接近。这就是谐振变换器的魅力：它天生具有这种自我限制的特性。 那个稍微大一点的开路电流（$0.268\text{ A}$），是因为我们为了追求高压输出（$400\text{ V}$），把增益设得很高。如果客户降低 $V_{oc}$ 的要求，这个电流也会相应降下来。

至此，我们不仅凑出了元件参数，还顺便验证了系统的鲁棒性。这就是利用阻抗特性进行反向设计的完整流程。

踩坑提醒：反向设计里那个「自由度」（$X_s=733\mathrm{\Omega }$ 可由不同 $L$、$C_s$ 组合实现）是新手最容易忽略的陷阱。中心频率上它们表现一样，但一偏离工作点，大 $C_s$ 方案的增益曲线塌得快、小 $C_s$ 方案塌得慢，$R_{crit}$ 也会跟着漂。所以反向解出来的元件值，必须扫一遍频再做一次时域仿真，确认全负载范围都没掉进 ZCS 区，才能定稿。光看 100kHz 这一个点对得上，工程上等于没验证。

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参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。