13.4 示例：闭环调节器

作为第二个实战案例，我们把反馈定理这套「手术刀」，伸向一个更硬核的战场：第 9.5.4 节里提到的 Buck 闭环调节器。

这一次，补偿器不再是简单的运放电路，而是我们在第 15 章见过的那个完整的 PID 结构。

我们要做的，是把整个闭环系统拆开、揉碎，看看每一段信号究竟是怎么流转的。

---

从哪里下手？

把战场全貌在脑子里拼出来，它由三个世界组成：

1. 功率级：来自第 7 章的小信号 canonical 模型（CCM 模式）。
2. 反馈与补偿级：第 15 章见过的 PID 补偿电路。
3. 注入点：我们在反馈路径上插入了测试信号 ${\hat{v}}_z$，准备实施 GFT（通用反馈定理）。

输出是 $\hat{v}$，但输入有三个：

1. 参考电压 ${\hat{v}}_{ref}$（这是我们想要的）。
2. 输入电压扰动 ${\hat{v}}_g$（这是我们要抑制的）。
3. 负载电流扰动 ${\hat{i}}_{load}$（这也是我们要抑制的）。

既然这是一个线性小信号模型，我们可以祭出线性叠加原理。这三个输入对输出的贡献可以分开算，然后加起来：

$$\hat{v}(s)=G_r(s){\hat{v}}_{ref}(s)+G_g(s){\hat{v}}_g(s)-Z_o{\hat{i}}_{load}(13.76)$$

这里的 $G_r$, $G_g$, $Z_o$ 就是我们要解的谜题。根据反馈定理的套路，它们每一个都可以写成那个熟悉的「万能公式」形式：

$$G(s)=\frac{G_{\mathrm{\infty }}\frac{T}{1+T}+G_0\frac{1}{1+T}}{1}$$

把式子展开成完整版（式 13.77）就是这样：

$$\hat{v}(s)=\left[\frac{G_{\mathrm{\infty }}^r\frac{T}{1+T}+G_0^r\frac{1}{1+T}}{}\right]{\hat{v}}_{ref}(s)+\left[\frac{G_{\mathrm{\infty }}^g\frac{T}{1+T}+G_0^g\frac{1}{1+T}}{}\right]{\hat{v}}_g(s)-\left[\frac{Z_{\mathrm{\infty }}^o\frac{T}{1+T}+Z_0^o\frac{1}{1+T}}{}\right]{\hat{i}}_{load}$$

看着吓人，其实逻辑非常清晰：

• 求 $G_{\mathrm{\infty }}^r,G_0^r$ 时，把 ${\hat{v}}_g$ 和 ${\hat{i}}_{load}$ 掐掉（置零）。
• 求 $G_{\mathrm{\infty }}^g,G_0^g$ 时，把 ${\hat{v}}_{ref}$ 和 ${\hat{i}}_{load}$ 掐掉。
• 求 $Z_{\mathrm{\infty }}^o,Z_0^o$ 时，把 ${\hat{v}}_{ref}$ 和 ${\hat{v}}_g$ 掐掉。
• 求 $T$ 时，把这三个独立源全部掐掉。

接下来的分析中，运放依然被视为理想的（没有带宽限制），我们先看它「应该」长什么样。

---

第一步：参考信号如何到达输出？（$G_{\mathrm{\infty }}^r$ 和 $G_0^r$）

这其实是「控制目标」的传递函数。当基准电压变化时，输出应该怎么变？

1. 理想情况：$G_{\mathrm{\infty }}^r$（环路增益 $T\to \mathrm{\infty }$）

根据定义：

$$G_{\mathrm{\infty }}^r(s)=\frac{\hat{v}}{{\hat{v}}_{ref}}{|}_{{\hat{v}}_g=0,{\hat{i}}_{load}=0,{\hat{v}}_y\to 0}$$

配置是这样的：把 ${\hat{v}}_g$ 和 ${\hat{i}}_{load}$ 设为 0，并进行零双注入（Null Double Injection）：把 ${\hat{v}}_y$ 强制置零。 因为运放是理想的，虚短生效，${\hat{v}}_y=0$ 意味着运放的两个输入端电压相等。 所以，${\hat{v}}^{-}={\hat{v}}_{ref}$。

但 ${\hat{v}}^{-}$ 和输出 $\hat{v}$ 之间还有一个电阻分压器网络。根据分压公式：

$${\hat{v}}^{-}=\hat{v}\frac{Z_2||Z_3}{Z_1+(Z_2||Z_3)}={\hat{v}}_{ref}$$

这里的阻抗 $Z_1,Z_2,Z_3$ 就是补偿器的那几个 RC 元件：

• $Z_1=R_1+(R_2||\frac{1}{s{C}_2})$
• $Z_2=R_4$
• $Z_3=R_3+\frac{1}{s{C}_3}$

把 $\hat{v}$ 解出来，就是理想增益：

$$G_{\mathrm{\infty }}^r=\frac{Z_1+Z_2||Z_3}{Z_2||Z_3}$$

注意这个式子。在直流（$s=0$）时，电容开路，式子就退化为纯电阻分压的倒数：

$$G_{\mathrm{\infty }}^r(0)=\frac{R_4+R_1+R_2}{R_4}$$

这就是我们设定的输出电压目标值。

2. 直接穿透：$G_0^r$（环路增益 $T\to 0$）

接下来看一种反直觉的情况：环路断开时，参考电压居然还能穿透到输出？

根据定义：

$$G_0^r(s)=\frac{\hat{v}}{{\hat{v}}_{ref}}{|}_{{\hat{v}}_g=0,{\hat{i}}_{load=0},{\hat{v}}_x\to 0}$$

这次我们换一个现场：把注入点的返回信号 ${\hat{v}}_x$ 置零。 ${\hat{v}}_x$ 置零意味着什么？意味着 PWM 的输入为 0，占空比扰动 $\hat{d}=0$。 既然 $\hat{d}=0$，功率级模型里的受控源全部罢工（canonical 模型里理想变压器的次级电压变为 0）。

但故事没完。 虽然前向通路断了，但 ${\hat{v}}_{ref}$ 还在。因为是理想运放，${\hat{v}}^{-}$ 被强行拉到 ${\hat{v}}_{ref}$。 这个 ${\hat{v}}^{-}$ 电压会通过反馈电阻网络 $Z_1$，对输出节点 $\hat{v}$ 产生微弱的影响（毕竟 $Z_1$ 连在 $\hat{v}$ 和地之间）。

输出电压 $\hat{v}$ 此时就相当于 ${\hat{v}}^{-}$ 经过 $Z_1$ 和 $Z_{out}$（开环输出阻抗）的分压：

$$\hat{v}={\hat{v}}^{-}\frac{Z_{out}}{Z_{out}+Z_1}$$

其中 $Z_{out}=R||(1/sC)||s{L}_e$（功率级的等效输出阻抗）。

所以直接传输增益为：

$$G_0^r=\frac{Z_{out}}{Z_{out}+Z_1}$$

这意味着什么？ 意味着即便环路断了，你的参考电压依然会「漏」一点到输出端。 虽然这个 $G_0^r$ 很小（因为 $Z_{out}$ 通常远小于 $Z_1$），但在高频下，当 $T(s)$ 衰减到 0 时，总增益 $G_r$ 就会由这个 $G_0^r$ 接管。

$G_r$ 的波特图长这样：

• 实线是总闭环增益 $G_r$。
• 虚线是 $G_{\mathrm{\infty }}^r$ 和 $G_0^r$。
• 在低频（0 ~ 5 kHz），$T$ 很大，$G_r$ 紧贴着 $G_{\mathrm{\infty }}^r$（理想）。
• 在高频，$T$ 掉下去，$G_r$ 逐渐滑向 $G_0^r$（虽然也很小，但它决定了最终底噪）。

---

第二步：扰动如何被抑制？（$G_{\mathrm{\infty }}^g$ 和 $G_0^g$）

接下来是「抗干扰」测试。输入电压 ${\hat{v}}_g$ 发生波动，输出会抖吗？

1. 理想情况：$G_{\mathrm{\infty }}^g$（$T\to \mathrm{\infty }$）

$$G_{\mathrm{\infty }}^g(s)=\frac{\hat{v}}{{\hat{v}}_g}{|}_{{\hat{v}}_{ref}=0,{\hat{i}}_{load}=0,{\hat{v}}_y\to 0}$$

这次的现场配置如下：

1. ${\hat{v}}_{ref}=0$（参考接地）。
2. ${\hat{v}}_y=0$（零双注入，误差信号置零）。

既然 ${\hat{v}}_y=0$ 且运放是理想的，那么 ${\hat{v}}^{-}$ 也必须为 0（虚地）。 既然 ${\hat{v}}^{-}$ 是 0V，流过 $R_4$, $R_3$, $C_3$ 的电流全是 0。 既然反馈回路里没电流，$R_1$, $R_2$, $C_2$ 上也没电压降。 结论：输出电压 $\hat{v}$ 必须等于 ${\hat{v}}^{-}$，也就是 0。

答案非常干脆：

$$G_{\mathrm{\infty }}^g=0$$

物理意义也很直白：如果环路增益无穷大，系统会不惜一切代价把误差抹零。输入电压的波动会被完全抵消，输出纹丝不动。这就是电源工程师梦寐以求的「完美抑制」。

2. 开环情况：$G_0^g$（$T\to 0$）

$$G_0^g(s)=\frac{\hat{v}}{{\hat{v}}_g}{|}_{{\hat{v}}_{ref}=0,{\hat{i}}_{load}=0,{\hat{v}}_x\to 0}$$

这次的现场：我们把 ${\hat{v}}_x$ 置零，也就是 $\hat{d}=0$，PWM 不动了。 但这次输入 ${\hat{v}}_g$ 是活的。${\hat{v}}_g$ 会直接穿过理想变压器（变比 M），变成 $M{\hat{v}}_g$。 因为 $\hat{d}$ 扰动为 0，这个 $M{\hat{v}}_g$ 仅仅是经过输出滤波器 $H_e(s)$ 传到了输出端。

$$G_0^g(s)=M\cdot H_e(s)$$

你会发现，这其实就是开环变换器的音频衰减率（Audio Susceptibility，即 $G_{vg}$），也就是线到输出的传递函数。

把这两个拼起来，就是闭环抗扰能力 $G_g$：

$$G_g(s)=\frac{G_0^g}{1+T}$$

$G_g$ 的波特图也类似：

• 在低频（< 5 kHz），分母里的 $T$ 很大，把 $G_0^g$ 压得死死的，闭环增益 $G_g$ 非常低（抗扰能力强）。
• 在高频（> 5 kHz），$T$ 没了，$G_g$ 就变成了开环的 $G_0^g$（环路自顾不暇，管不了你了）。

---

第三步：负载变化时稳得住吗？（$Z_{\mathrm{\infty }}^o$ 和 $Z_0^o$）

最后看输出阻抗。负载电流一拉，电压会不会掉？

1. 理想情况：$Z_{\mathrm{\infty }}^o$（$T\to \mathrm{\infty }$）

$$Z_{\mathrm{\infty }}^o(s)=-\frac{\hat{v}}{{\hat{i}}_{load}}{|}_{{\hat{v}}_{ref}=0,{\hat{v}}_g=0,{\hat{v}}_y\to 0}$$

这次的配置：把 ${\hat{v}}_{ref}$ 和 ${\hat{v}}_g$ 置零，并把 ${\hat{v}}_y$ 置零。 同样的逻辑：${\hat{v}}_{ref}=0$ 且 ${\hat{v}}_y=0⟹{\hat{v}}^{-}=0$。 既然 ${\hat{v}}^{-}=0$，反馈网络电阻上没电流，也就没电压。 所以输出电压 $\hat{v}$ 必须等于 ${\hat{v}}^{-}$，也就是 0。

$$Z_{\mathrm{\infty }}^o=0$$

物理意义：理想的闭环电源，输出阻抗为 0。你想拉多少电流，它都能维持电压不变，像个无限大的水库。

2. 开环情况：$Z_0^o$（$T\to 0$）

$$Z_0^o(s)=-\frac{\hat{v}}{{\hat{i}}_{load}}{|}_{{\hat{v}}_{ref}=0,{\hat{v}}_g=0,{\hat{v}}_x\to 0}$$

这次的配置：把 ${\hat{v}}_x$ 置零（$\hat{d}=0$），变压器没输出。 这时候，从输出端往里看，看到的是什么？ 是功率级的开环输出阻抗 $Z_{out}$ 和反馈电阻 $Z_1$ 的并联。 因为 $Z_{out}$ 通常很小（毫欧级），所以：

$$Z_0^o\approx Z_{out}$$

$Z_o$ 的结果和输入扰动类似：

• 低频时，闭环阻抗 $Z_o$ 被 $1+T$ 压得很低。
• 高频时，$Z_o$ 趋近于开环阻抗 $Z_{out}$。

---

第四步：这一圈到底增益多少？（环路增益 $T(s)$）

最后，我们验证一下这个环本身的强弱。

$$T(s)=\frac{{\hat{v}}_y}{{\hat{v}}_x}{|}_{{\hat{v}}_{ref}=0,{\hat{i}}_{load}=0,{\hat{v}}_g=0}$$

计算模型是这样的：

1. 从注入点 ${\hat{v}}_x$ 出发。
2. 经过 PWM 增益 $1/V_M$，变成 $\hat{d}$。
3. $\hat{d}$ 经过功率级控制到输出传递函数 $G_{vd}(s)$，变成输出电压 $\hat{v}$。

$$\hat{v}=G_{vd}(s)\cdot \frac{1}{V_M}\cdot {\hat{v}}_x$$

根据 canonical 模型，$G_{vd}(s)=e(s)M{H}_e(s)$。 4. $\hat{v}$ 反馈回来，经过运放的反向放大网络。 因为 ${\hat{v}}_{ref}=0$，运放反向端虚地。$\hat{v}$ 在 $Z_1$ 上产生电流，并在反馈通路 $Z_3$ 上形成电压 ${\hat{v}}_y$。 注意这是反向放大结构：

$$\frac{{\hat{v}}_y}{\hat{v}}=\frac{Z_3}{Z_1}$$

把这两段串起来，就是环路增益：

$$T(s)=\frac{Z_3}{Z_1}\cdot \frac{1}{V_M}\cdot G_{vd}(s)$$

$T(s)$ 的波特图是这样的：穿越频率在 5 kHz 左右，这是我们设计补偿器时定下的指标。

---

这一节到底算出了什么？

让我们把刚才推导的一堆公式收个尾。

对于这个 Buck 闭环调节器，我们得到三个关键结论（式 13.102, 13.103, 13.104）：

1. 参考到输出：

   $$G_r(s)=\frac{1}{H}\frac{T}{1+T}+\text{tiny term}$$

   （注：式 13.83 的 $G_{\mathrm{\infty }}^r$ 本质上就是分压网络的倒数 $1/H$）。 只要 $T$ 够大，输出就忠实地跟随参考，放大倍数由电阻决定。

2. 输入到输出：

   $$G_g(s)=\frac{M{H}_e(s)}{1+T}$$

   分子是开环扰动量，分母是反馈的压制力。低频下 $T$ 巨大，扰动被压制到忽略不计。

3. 输出阻抗：

   $$Z_o(s)=\frac{Z_{out}}{1+T}$$

   同样，低频下 $Z_o$ 极低，电源带载能力强；高频下回归开环阻抗。

直觉一句话：这三条公式骨架其实一模一样——分子全是「开环时那个量本来的样子」（$1/H$、$M{H}_e(s)$、$Z_{out}$），分母都挂着一个 $1+T$。所以读电源的闭环指标，你只要问两件事：开环时它多大？环路在哪个频段还能压住它？剩下的就是用 $1+T$ 做除法。这比逐条背公式快得多。

别忘了那个最重要的教训： 我们在上一节（13.3）里看到运放带宽不足会导致相位裕度崩盘。而在这一节里，我们假设运放是理想的，算出来的 $T(s)$ 和闭环特性都很漂亮。 但真实的电路里，那个运放的 GBW 限制依然存在，它会悄悄把 $T(s)$ 的相位曲线往下拉。

反馈定理给了我们完美的理论骨架，但最终能不能稳住，还得看你选的运放能不能在需要的那段频率里，撑起「理想」这个假设。

---

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。