Boost 变换器实例：把损耗装进模型

4.3.4 Boost 变换器实例：把损耗装进模型

现在我们手里有了二极管反向恢复的物理图像，是时候把它扔进一个真实的拓扑里看看疗效了。

这次的主角是 Boost 变换器。你可能觉得刚才那套理论分析太抽象，没关系，我们就拿一个具体的 Boost 电路当靶子，把二极管的 $t_{r}$ 和 $Q_{r}$ 这些恼人的参数，像搭积木一样装进模型里。

⚙️ 概念层：模型的边界

在开始推导之前，我们要先划定“战场”。

我们要建立一个直流等效模型。为了看清二极管反向恢复的核心影响，我们决定带上它，同时也带上不可避免的 电感直流电阻 $R_{L}$ （毕竟电感不是超导做的）。

至于其他的？比如 MOSFET 的导通电阻、电容的 ESR，先统统扔掉。不是它们不重要，而是现在的噪音太大了，我们要先听清二极管的声音。

还有一个假设：电感电流纹波和电容电压纹波都很小。这就允许我们用“小纹波近似”，把 $i_{L} (t)$ 当作直流量 $I_{L}$ 来处理，这会让后续的积分推导清爽很多。

🔧 机制层：波形与伏秒平衡

首先，我们需要画出一堆波形——晶体管和二极管的电压电流波形。

如果你对比一下上一节 Buck 变换器的波形，你会发现它们长得几乎一模一样——除了电压的幅值变了。这说明 Boost 和 Buck 在二极管反向恢复这件事上，本质没有区别，受害者的姿态是一样的。

这里有一个关键的细节：占空比的定义。

请注意，这里的 $D$ 是根据晶体管电压波形 $v_{t} (t)$ 来定义的，而不是根据控制信号 $c (t)$ )。

为什么要这么“多此一举”？因为二极管反向恢复时间 $t_{r}$ 的存在，晶体管实际承受电压的时间和控制信号开通的时间并不完全重合。后面你会看到，正是这个定义方式，让我们的等效电路自然地浮现出了一个 $D^{'} : 1$ 的变压器。

1. 电感伏秒平衡

电感电压 $v_{L} (t)$ 是推导的核心。根据 KVL，输入电压减去电感压降和晶体管压降，剩下的就是电感两端的电压：

v_{L} (t) = V_{g} - i_{L} (t) R_{L} - v_{t} (t) (4.24)

这个公式告诉我们，只要有了晶体管电压 $v_{t} (t)$ 的波形，我们就能通过简单的减法得到 $v_{L} (t)$ 。

$v_{L} (t)$ 的样子在一个开关周期内分成两段：

子区间 1 ( $0 < t < D T_{s}$ )：开关导通， $v_{t} = 0$ 。此时 $v_{L} (t) = V_{g} - i_{L} R_{L}$ 。
子区间 2 ( $D T_{s} < t < T_{s}$ )：开关关断， $v_{t} = V$ （输出电压）。此时 $v_{L} (t) = V_{g} - i_{L} R_{L} - V$ 。

根据电感伏秒平衡原理，电感电压的平均值必须为零（直流下）：

⟨ v_{L} ⟩ = 0 = D (V_{g} - I_{L} R_{L}) - D^{'} (V_{g} - I_{L} R_{L} - V) (4.25)

稍微展开整理一下，这个式子其实就等于：

0 = V_{g} - I_{L} R_{L} - D^{'} V (4.25 整理后)

你看，这正是我们要的第一个方程。它把输入电压、电感损耗、输出电压和占空比联系在了一起。

🔁 机制层：电容电荷平衡与二极管的影响

接下来看输出端。根据 KCL，流向电容的电流 $i_{C}$ 等于二极管电流 $i_{d}$ 减去负载电流：

i_{C} (t) = i_{d} (t) - \frac{v (t)}{R} (4.26)

根据电容电荷平衡，一个周期内电容的平均电流也是零（稳态下电容不存电）。所以：

⟨ i_{C} ⟩ = 0 = ⟨ i_{d} ⟩ - \frac{V}{R} (4.27)

现在的关键是求出二极管电流的平均值 $⟨ i_{d} ⟩$ 。

2. 计算二极管平均电流

盯着二极管电流波形 $i_{d} (t)$ 看。在周期的大部分时间（开关关断期间），二极管导通，电流为 $I_{L}$ 。但是，在这个周期即将结束的一瞬间（开关导通瞬间），二极管发生了反向恢复。

这一瞬间发生的事情很关键：电流没有直接变成零，而是往下掉到了负值，走了一个巨大的反向电流脉冲，然后才回到零。

这个尖峰包含两部分：

时间上的亏损：本来二极管应该导通到 $D T_{s}$ （因为开关在 $D T_{s}$ 导通），但实际上它提前 $t_{r}$ 时间就关断了。
电荷上的亏损：那个尖峰扫过去的面积，就是恢复电荷 $Q_{r}$ 。按照惯例， $Q_{r}$ 取正值。

所以，一个周期内的平均电流可以这样算（总面积除以周期 $T_{s}$ ）：

⟨ i_{d} ⟩ = \frac{1}{T_{s}} (矩形面积 - 尖峰面积)

矩形部分的导通时间是 $D^{'} T_{s} - t_{r}$ （注意是 $D^{'}$ 减去 $t_{r}$ 对应的时间比例）。尖峰就是 $Q_{r}$ 。

⟨ i_{d} ⟩ = \frac{1}{T_{s}} (I_{L} (D^{'} T_{s} - t_{r}) - Q_{r}) = D^{'} I_{L} - \frac{t_{r} I_{L}}{T_{s}} - \frac{Q_{r}}{T_{s}} (4.28)

把 $⟨ i_{d} ⟩$ 代回输出节点方程 (4.27)，我们得到了第二个方程：

0 = D^{'} I_{L} - \frac{t_{r} I_{L}}{T_{s}} - \frac{Q_{r}}{T_{s}} - \frac{V}{R} (4.29)

注意这里新增的两项： $\frac{t_{r} I_{L}}{T_{s}}$ 和 $\frac{Q_{r}}{T_{s}}$ 。这就是二极管反向恢复在宏观模型里的具体化身——它们像两个贪婪的小偷，从输出电流里偷走了一部分能量。

3. 输入电流

最后，输入电流 $i_{g} (t)$ 就是电感电流 $i_{L} (t)$ ，所以：

I_{g} = I_{L} (4.30)

这也是我们的第三个方程。

🧩 模型层：组装等效电路

现在我们手里有了三个描述直流行为的方程：

输入回路方程（来自伏秒平衡）： $0 = V_{g} - I_{L} R_{L} - D^{'} V$
输出节点方程（来自电荷平衡）： $0 = D^{'} I_{L} - \frac{t_{r} I_{L}}{T_{s}} - \frac{Q_{r}}{T_{s}} - \frac{V}{R}$
电流关系： $I_{g} = I_{L}$

我们要把这些冷冰冰的方程还原成一个直观的电路。

我们来“翻译”一下：

方程 (1) 描述了一个回路：电源 $V_{g}$ ，串联着电阻 $R_{L}$ ，然后是一个受控电压源 $D^{'} V$ 。这看起来就像是一个变压器，把输出端的 $V$ 映射到了输入端，匝数比是 $D^{'} : 1$ 。
方程 (2) 描述了一个节点：流入的电流是 $D^{'} I_{g}$ （因为 $I_{L} = I_{g}$ ），流出的是负载电流 $\frac{V}{R}$ ，以及另外两个额外的电流源项。

这两个额外的电流源项—— $\frac{t_{r} I_{L}}{T_{s}}$ 和 $\frac{Q_{r}}{T_{s}}$ ——正是我们这一节的主角。它们在等效电路里表现为两个并联在输出端的电流源。

这两个电流源不仅存在，而且它们在消耗功率。

你可能会问：电流源消耗功率？是的。这两个受控源两端的电压都是 $V$ （输出电压），它们吸取的功率分别是 $V \cdot \frac{t_{r} I_{L}}{T_{s}}$ 和 $V \cdot \frac{Q_{r}}{T_{s}}$ 。

加起来，就是总开关损耗 $P_{s w}$ ：

P_{s w} = V (\frac{t_{r} I_{L}}{T_{s}} + \frac{Q_{r}}{T_{s}}) (4.32)

这不仅仅是数学上的巧合。在实际电路中，反向恢复电流确实是从输出滤波电容 $C$ 里抽出来，然后灌回 MOSFET 和二极管的。这股能量并没有供给负载，而是变成了半导体器件里的热量。我们的模型忠实地复现了这一物理过程。

📊 验证层：增益与效率的真相

模型建好了，现在我们来解这个模型，看看能算出什么吓人的东西。

1. 电压增益 $M = V / V_{g}$

我们可以通过解这个等效电路求出增益 $M$ 。虽然有点繁琐，但结果是直接给出的：

M = \frac{V}{V_{g}} = \frac{D^{'}}{1 + \frac{R_{L}}{D^{' 2} R} (1 - \frac{t_{r}}{D^{'} T_{s}}) + \frac{Q_{r}}{T_{s} D^{'} I_{L}} (\dots)} (Concept Simplified)

完整的增益公式（4.33）比较长，我们直接用具体参数（ $f_{s} = 100 kHz$ ， $Q_{r} = 0.1 μ C$ ， $t_{r} = 50 ns$ 等等）算一条曲线来看趋势：把"包含开关损耗"的曲线和"只有电感铜损"的曲线放一起对比。

观察到了什么？

当占空比 $D$ 很小时，两条线几乎重合。此时开关损耗对电压增益的影响很小。
当占空比 $D$ 很大（接近 1）时，含损耗的曲线明显跌落得更快。这意味着在高占空比下，开关损耗会显著拉低输出电压。

2. 效率 $η$

这才是我们要看的硬核指标。

输入功率 $P_{i n}$ 很简单：

P_{i n} = V_{g} I_{g} (4.34)

输出功率 $P_{o u t}$ 呢？等于输出电压乘以流向负载的净电流。注意要扣除掉那两个损耗电流源：

P_{o u t} = V (D^{'} I_{g} - \frac{Q_{r}}{T_{s}} - \frac{t_{r} I_{L}}{T_{s}}) (4.35)

用 $P_{o u t}$ 除以 $P_{i n}$ ，我们可以推导出效率公式 (4.36)：

η = \frac{V}{V_{g}} (D^{'} - \frac{Q_{r}}{T_{s} I_{L}} - \frac{t_{r}}{T_{s}}) (4.36)

不要让这串字母吓到你，它的物理意义很简单：效率等于增益乘以一个小于 1 的因子。那个因子里的 $\frac{Q_{r}}{T_{s} I_{L}}$ 和 $\frac{t_{r}}{T_{s}}$ ，正是二极管反向 recovery 造成的”税收”。

把效率曲线画出来对比一下（含开关损耗的粗线 vs. 只有铜损的细线）：

那条粗线（有开关损耗）：惨。即便在占空比 $D$ 很小的时候，效率也大概只有 93% 左右。
那条细线（只有铜损）：如果不开关，效率接近 100%。

这里有一个非常有意思的现象：在 $D = 0$ 时，效率虽然不是 100%，但也不算太低。为什么会这样？

这是因为当 $D = 0$ 时，Boost 变换器实际上进入了 Passthrough Mode（直通模式）。MOSFET 一直关着，根本不动作，也就没有开关动作，自然也就没有开关损耗。此时损耗全归电感铜损，效率自然回升。

但只要一开始开关（ $D > 0$ ），哪怕占空比很小，那个固定的 $Q_{r}$ 和 $t_{r}$ 损耗就会瞬间把效率拉下来。

🛠️ 踩坑与实战启示

这个模型虽然只是纸上谈兵，但它给我们的设计直觉是极其昂贵的：

损耗是固定的： $Q_{r} / T_{s}$ 这一项告诉我们要交多少“人头税”。无论你输出功率多小，只要频率定了，这个损耗是雷打不动的。这也是为什么空载或轻载时效率特别难看的原因。
频率是把双刃剑：公式里的 $T_{s}$ 在分母上。频率越高， $1 / T_{s}$ 越大，损耗项越大。想提高功率密度？先问问散热器答不答应。
器件选择至关重要：想提高效率？看着公式里的 $Q_{r}$ 和 $t_{r}$ 。选个反向恢复电荷极小的 SiC 肖特基二极管 或者干脆用 GaN FET，就能直接把这一项抹掉或者砍掉一大半。

这一节我们把二极管的微观损伤（ $Q_{r}, t_{r}$ ）变成了宏观电路里的两个电流源，看到了损耗是如何一步步吃掉我们的效率的。这是一条从物理层到电路层的完整链条。

下一节，我们会离开二极管，去看看主动开关（MOSFET, IGBT）本身也有哪些让人头疼的脾气。你会发现，它们的故事其实和二极管有着惊人的相似之处。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

4.3.4 Boost 变换器实例：把损耗装进模型 ​

⚙️ 概念层：模型的边界 ​

🔧 机制层：波形与伏秒平衡 ​

1. 电感伏秒平衡 ​

🔁 机制层：电容电荷平衡与二极管的影响 ​

2. 计算二极管平均电流 ​

3. 输入电流 ​

🧩 模型层：组装等效电路 ​

📊 验证层：增益与效率的真相 ​

1. 电压增益 M=V/Vg ​

2. 效率 η ​

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