打通 CCM 和 DCM 的统一仿真模型

15.4 打通 CCM 和 DCM 的统一仿真模型

上一节我们算出来的那个漂亮的一阶模型，有一个前提：我们假设变换器老实呆在 DCM 模式里。但现实是残酷的——或者说是丰富多彩的。

只要负载电流足够低，任何带二极管整流器的变换器都会滑入 DCM 模式。而在实际工况中，负载是会变的，输入电压也会晃动。这就意味着，你的变换器很可能在某一时刻还在 CCM（连续导通模式）里优哉游哉，下一秒因为负载突然变轻，就掉进了 DCM 的坑里。

问题来了：如果我们要仿真这种「双面人」，难道还要手动切换模型吗？

15.4.1 统一之路：有效占空比 μ

回顾一下我们的武器库。对于 CCM，我们在第 14 章推导出了理想变压器模型，其变比是 $d^{'} : d$ （这里 $d^{'} = 1 - d$ ）。对于 DCM，我们在 15.2 节推导出了无损电阻（LFR）模型，输入端看起来像个电阻，输出端像个受控功率源。

这两个模型长得完全不一样。能不能把它们揉成一个？

能。只要我们引入一个新的概念：有效开关转换比 $μ (t)$ 。

类比 1：万能转接头 你可以把 $μ (t)$ 想象成一个「万能转接头」。在 CCM 模式下，这个转接头的设定是固定的，完全听命于控制信号 $d (t)$ ，就像一根刚性连杆。但在 DCM 模式下，转接头开始打滑，它的实际转速不仅取决于控制信号，还取决于外部的负载阻力（电压和电流）。

我们的目标是构建一个通用的平均开关模型，无论在 CCM 还是 DCM，它都长成同一个样子——一个变压器。但是，这个变压器的变比是 $1 - μ : μ$ ，其中的 $μ$ 是个变量。

规则一：CCM 区域（刚性连接）

如果在 CCM 下运行，事情很简单。开关网络的转换比完全由控制器决定。

μ = d

没有任何商量余地。

规则二：DCM 区域（受控连接）

如果在 DCM 下运行， $μ$ 就不能随便等于 $d$ 了。我们必须让这个通用模型的端口特性，去拟合那个复杂的 DCM「无损电阻模型」。

来看看 DCM 的 LFR 模型是怎么规定的：

端口 1（输入）：平均电压 $⟨ v_{1} (t) ⟩_{T_{s}} = R_{e} ⟨ i_{1} (t) ⟩_{T_{s}}$
端口 2（输出）：平均功率等于输入功率，即 $⟨ v_{2} (t) ⟩_{T_{s}} ⟨ i_{2} (t) ⟩_{T_{s}} = ⟨ v_{1} (t) ⟩_{T_{s}} ⟨ i_{1} (t) ⟩_{T_{s}}$

现在看看我们的通用模型，它本质上是一个变压器：

\frac{⟨ v_{1} ⟩}{⟨ v_{2} ⟩} = \frac{1 - μ}{μ} ⟹ ⟨ v_{1} ⟩ = \frac{1 - μ}{μ} ⟨ v_{2} ⟩

且功率守恒： $⟨ v_{1} ⟩ ⟨ i_{1} ⟩ = ⟨ v_{2} ⟩ ⟨ i_{2} ⟩$ 。

为了让它们在端口 1 看起来一样，我们令通用模型的 $v_{1}$ 等于 DCM 模型的 $v_{1}$ ：

\frac{1 - μ}{μ} ⟨ v_{2} ⟩_{T_{s}} = R_{e} ⟨ i_{1} ⟩_{T_{s}}

这里 $R_{e}$ 就是我们在 15.2 节里定义的有效电阻 $R_{e} = \frac{2 L}{d^{2} T_{s}}$ 。

现在我们可以解出 DCM 下的 $μ$ 了：

\frac{1 - μ}{μ} = \frac{R_{e} ⟨ i_{1} ⟩_{T_{s}}}{⟨ v_{2} ⟩_{T_{s}}} ⟹ μ = \frac{1}{1 + \frac{R_{e} ⟨ i_{1} ⟩_{T_{s}}}{⟨ v_{2} ⟩_{T_{s}}}}

你可以去验证一下，如果你匹配端口 2 的特性，得到的解也是这一模一样的公式。

回到那个万能转接头 这里就是「揭示距离」的时候了。真实的 DCM 物理机制并不是真的有个变阻器。实际上，是因为电感电流回落到了零，导致二极管提前关断。我们这里用 $μ$ 和 $R_{e}$ 构造的这个代数关系，是对那个复杂物理过程的一个数学拟合。它抓住了本质：在 DCM 下，开关的有效转换比不再单纯是你按下的按钮（ $d$ ），而是负载和电压的函数。

回到万能转接头：验证 如果负载完全开路， $⟨ i_{1} (t) ⟩_{T_{s}} = 0$ ，会发生什么？公式告诉我们 $μ = 1 / (1 + 0) = 1$ 。变压器变成了 $0 : 1$ ，这意味着输入电压直接怼到了输出端（当然还要乘以变换器固有的拓扑增益）。这和我们在第 5 章里分析的 DCM 极限情况完全一致：空载时，输出电压会飘到最高。

仲裁逻辑：怎么选？

现在我们有两个公式：

CCM 公式： $μ = d$
DCM 公式： $μ = \frac{1}{1 + \frac{R_{e} ⟨ i_{1} ⟩}{⟨ v_{2} ⟩}}$

仿真器怎么知道该用哪一个？如果在边界上，这两个公式算出来的 $μ$ 是相等的（都是 $d$ ）。当负载电流减小（进入 DCM）， $⟨ i_{1} ⟩$ 减小，DCM 公式分母变小，算出的 $μ$ 会变大，甚至超过 $d$ 。

所以结论很简单：谁大听谁的。正确有效的开关转换比 $μ$ ，应该是取这两个计算结果中的较大值。

15.4.2 上号：SPICE 子电路实现 (CCM-DCM1)

理论讲完了，现在把它变成仿真器能跑的代码。我们把这个「万金油」模型写成原理图和 SPICE 网表。

这个子电路被命名为 CCM-DCM1。它有 5 个接口脚，和我们之前用过的 CCM1 之类的完全兼容：

漏极
源极
二极管阴极
二极管阳极
占空比控制输入 ( $d$ )

核心逻辑拆解

拆开这段网表代码，我们干了这几件事：

端口特性实现 ( $E_{t}, G_{d}$ )：
- $E_{t}$ （压控电压源）：实现了端口 1 的关系。它根据内部节点 $u$ 的电压 $μ$ ，生成 $v_{1, 2}$ 。
- $G_{d}$ （流控电流源）：实现了端口 2 的关系，保证了电流变比符合 $μ$ 。
大脑：计算 $μ$ ( $E_{u}$ )：
- 节点 $u$ 的电压值就代表 $μ$ 。
- $E_{u}$ 是一个查表源（Table），它的输入是一个 MAX 函数。
- 这个 MAX 函数正是我们在上一段推导的「仲裁逻辑」。它比较输入的 $d$ （节点 5 的电压）和根据 DCM 公式算出来的值，取大的那个。
- 公式里的 $R_{e}$ 这里写成了 2*L*fs*v(5)*v(5) 的形式（注意代码里的对应关系）。
防呆机制 ( $G_{a}, V_{a}, R_{a}$ )：
- 这是一个辅助电路。为了防止仿真器在数值求解时算出负电流（比如瞬态震荡），我们用 $G_{a}$ 把电流限制在必须大于 0。这保证了物理意义正确： $⟨ i_{1} ⟩$ 必须是正的。

参数设定：子电路需要知道电感 $L$ 和开关频率 $f_{s}$ 来计算 $R_{e}$ 。代码里给了默认值 $L = 100 μ H, f_{s} = 100 k H z$ ，你在调用时可以根据实际情况覆盖。

15.4.3 实战演练 1：SEPIC 的双面人生

光有模型不行，得验货。我们拿一个 SEPIC 变换器开刀。参数如下： $V_{g} = 120 V$ , $D = 0.4$ , $f_{s} = 100 k H z$ 。电感 $L_{1} = 500 μ H$ , $L_{2} = 100 μ H$ 。

CCM/DCM 边界判定：根据 SEPIC 的特性，这个边界条件大约是 $R \approx 46 Ω$ （当等效电感为 $L_{1} ∥ L_{2}$ 时）。

我们选两个负载电阻跑一下仿真：

R = 40 Ω（小于 46Ω）：应该工作在 CCM。
R = 50 Ω（大于 46Ω）：应该工作在 DCM。

搭一个仿真测试台来验证它。注意那个 Xswitch，调用的就是我们刚才写的 CCM-DCM1。其中参数 $L$ 设为了 $83.3 μ H$ ，这正是 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 的并联值（ $500 ∥ 100 \approx 83.3$ ）。

频率响应对比（AC 分析）：跑一下 AC 扫描，看看控制到输出的传递函数 $G_{v d}$ 。

实线 (DCM, R=50Ω)：你看这条曲线，非常「干净」。低频有个主极点，后面是一对高频极点和零点。这就是 DCM 的典型特征：一阶主导，乖乖听话。
虚线 (CCM, R=40Ω)：这条线看起来就「暴躁」多了。这是四阶系统！两对高 $Q$ 值的复数极点在低频段就开始震荡，甚至还有右半平面（RHP）零点在 50kHz 附近准备搞破坏。

这就是坑点：如果你只按照 DCM 的模型去设计补偿器，结果负载一重，变换器突然切入 CCM，你的环路增益瞬间暴涨，相位裕度瞬间跌成负数，系统直接炸机。这个仿真直观地告诉我们：设计控制器时，必须考虑到这种模式切换带来的剧烈变化。

15.4.4 实战演练 2：Buck 变换器的环路稳定性测试

再来个更贴近工程的例子。第 9 章我们设计过一个 Buck 变换器电压调节器。现在我们要把这个调节器完整地放在 SPICE 里跑瞬态和环路分析。

模型细节：

用 CCM-DCM1 替代了 MOSFET 和二极管。
用压控源 $E_{p w m}$ 模拟了 PWM 调制器（设 $V_{m} = 4 V$ ，并把占空比限制在 0.1 到 0.9 之间）。
补偿器和采样网络是用运放 LM324 搭的实电路。
给定了一个 .nodeset 命令。这玩意儿很重要，因为强反馈电路的直流工作点很难收敛，我们得「推」仿真器一把，告诉它大概的电压在哪里（比如 $v (3) \approx 15 V$ ）。

环路增益测试（Middlebrook 注入法）：我们要测环路增益 $T (s)$ 。按照 9.6 节的方法，在补偿器输出和 PWM 输入之间（节点 6 和 7 之间）注入一个交流电压源 $v_{z}$ 。

T (s) = - \frac{v (6)}{v (7)}

我们测两组数据：

重载 ( $R = 3 Ω$ )：工作在 CCM。
轻载 ( $R = 25 Ω$ )：工作在 DCM。

结果分析：

CCM ( $R = 3 Ω$ )：穿越频率 $f_{c} = 5.3 k H z$ ，相位裕度 $47^{\circ}$ 。这和我们在 9.5.4 节的设计预期（5kHz, 52度）几乎完美吻合。
DCM ( $R = 25 Ω$ )：穿越频率暴跌到了 $390 H z$ ！相位裕度变成了 $55^{\circ}$ 。虽然相位裕度变大了（看似更稳），但带宽损失太大了。这意味着环路的响应速度变得非常慢。

音频敏感度（Line-to-Output）：再看看输入扰动抑制。在 100Hz 处，闭环增益：

CCM: -38dB（非常好）
DCM: -34dB（变差了，约 20mV 输出波动）这证实了我们的担忧：在轻载（DCM）下，调节器的性能显著下降。

瞬态响应：上狠活——负载阶跃。负载电流从 1.5A 瞬间跳到 5A。

开环：输出电压惨不忍睹，跌了 2V 以上，还要在那儿震荡半天。
闭环：虽然有个 0.2V 的凹陷，但迅速拉回来了，纹波很小。

本章小结

我们这一章走了一段漫长的路，从 DCM 的物理直觉开始，建立了无损电阻模型，推导了有效电阻 $R_{e}$ ，最后把它和 CCM 模型「强行」融合在了一起。

回到开头那个困惑：为什么我们不能只用简单的平均模型？因为 DCM 的本质变了。电感不再总是存储能量，它变成了一种「受控的能量传递媒介」。这种机制的改变，让我们在面对环路设计时，必须时刻警惕两种模式之间的鸿沟。

现在手里有了 CCM-DCM1 这个仿真器，你就有了一个可靠的「数字沙盘」。下次当你设计一个可能跨越 CCM/DCM 边界的变换器时，别光盯着稳态曲线，一定要在 SPICE 里跑一圈 AC 分析，看看那条相位曲线是不是在某个时刻突然给你来个九十度急转弯。

💡 为什么是 MAX() 而不是判电流正负？ 你可能会问：判断 DCM 不就是看电感电流有没有归零吗，仿真器为啥要用「两个公式取大」这种绕弯路的仲裁？答案藏在收敛性里。直接用「if $i_{L} \leq 0$ 则切 DCM」是一个硬切换，它在边界上不连续，牛顿迭代法碰到不连续点会原地打转、直接不收敛。而「 $μ = max (d, μ_{D C M})$ 」把两段曲线缝成了一条处处连续且光滑的曲线——边界上两条公式本来就相等（都等于 $d$ ），往两边走才分叉。仿真器最喜欢的就是这种「软切换」。这也是为什么工程仿真里，能用平滑函数表达的，绝不用 if-else。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

15.4 打通 CCM 和 DCM 的统一仿真模型 ​

15.4.1 统一之路：有效占空比 μ ​

规则一：CCM 区域（刚性连接） ​

规则二：DCM 区域（受控连接） ​

仲裁逻辑：怎么选？ ​

15.4.2 上号：SPICE 子电路实现 (CCM-DCM1) ​

核心逻辑拆解 ​

15.4.3 实战演练 1：SEPIC 的双面人生 ​

15.4.4 实战演练 2：Buck 变换器的环路稳定性测试 ​

本章小结 ​