19.3 离散时间补偿器设计

上一节我们像做数学实验一样，把连续时间的模拟补偿器「翻译」成了离散时间的数字代码。我们有了双线性映射，有了 Tustin 变换，甚至还有频率预畸变这种精细的手段来保证精度。

但纸上得来终觉浅。

当你真的把那个 $G_{cd}(z)$ 塞进 MCU 或者 DSP 里，试图让那个 1MHz 的 Buck 变换器稳稳输出 1.8V 时，你会发现现实世界比 $s$ 平面要粗暴得多。

在这一节，我们不谈新的数学工具，我们把所有的东西——采样延迟、计算延迟、抗混叠滤波器——全部扔进同一个环路里，看看那个你引以为傲的「穿越频率」和「相位裕度」到底还剩多少底气。

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19.3.1 环路增益：考虑现实的残酷

在数字控制的电源里，环路增益 $T_d$ 的定义必须把所有环节都算进去。别漏了任何一个，它们都会在波特图上找你要账。

一个完整的数字控制环路增益长这样（用频率响应表示）：

$$T_d(j\omega )=H(s)G_{vd}(s)e^{-s{t}_d}{|}_{s\to j\omega }\cdot G_{cd}^{\ast }(z){|}_{z\to e^{j\omega T_s}}$$

(式 19.55)

拆解来看，这里发生了几件事：

1. $H(s)G_{vd}(s)$：这是老朋友，功率级的控制到输出传递函数，乘以传感器增益。
2. $e^{-s{t}_d}$：这是一个纯延迟环节。注意，环路增益里不包括零阶保持器（ZOH）。ZOH 的建模通常是放在 $G_{cd}$ 的映射过程中去处理的，或者更准确地说是隐含在离散化过程中。但那个实实在在的时间延迟 $t_d$——从 ADC 采样到占空比真正更新到 MOSFET 栅极的时间——必须显式地加在这里。
3. $G_{cd}^{\ast }(z)$：这是我们在上一节辛辛苦苦设计出来的离散补偿器。

模拟 vs 数字：迟到的代价

如果把式 19.55 和经典的模拟电压模式环路增益（第 9 章的式 9.4）对比，你会发现数字版有两个显著的不同：

• 那个讨厌的延迟项 $e^{-s{t}_d}$。
• 补偿器的离散采样特性（$G_{cd}^{\ast }$）。

延迟这个东西，在低频时看起来人畜无害，但频率越高，它带来的相位滞后就越致命。我们来算一笔账。

示例：延迟是如何吃掉你的相位裕度的

假设我们还在设计那个同步 Buck 变换器。

• 开关频率 $f_s=1\text{ MHz}$（$T_s=1\mu s$）。
• 目标穿越频率 $f_c=100\text{ kHz}$。
• 模拟补偿器：经典的 PID 结构。
  • 低频零点 $f_L=8\text{ kHz}$。
  • 高频零点 $f_z=33\text{ kHz}$。
  • 高频极点 $f_{p1}=300\text{ kHz}$。
  • 第二个高频极点 $f_{p2}=1\text{ MHz}$（这个我们在模拟里通常放在补偿器里，但在数字里，这个家伙更适合作为抗混叠滤波器放在 $H(s)$ 里）。
  • 中频增益 $G_{cm}=5.45$。
• 稳态点：$V=V_{ref}=1.8\text{ V}$，输入 $V_g=5\text{ V}$，所以占空比 $D\approx 0.36$。

在纯模拟世界里（$t_d=0$），这个设计能给你 ${52}^{\circ }$ 的相位裕度，非常完美。

但在数字世界里，延迟是不可避免的。我们来看三种情况，把它们的相位损失一笔笔算清：

情况 1：神仙般的性能（最小延迟） 假设你的数字控制器极快，A/D 转换和计算几乎瞬间完成，计算延迟 $t_{ctrl}\approx 0$。 此时总延迟仅为调制器延迟：$t_d=D{T}_s=0.36\mu s$。 在穿越频率 $f_c=100\text{ kHz}$ 处，这个延迟会引入多少相位滞后？

$$\mathrm{\Delta }\varphi =-{\omega }_c{t}_d=-2\pi (100\times {10}^3)(0.36\times {10}^{-6})\approx -{13}^{\circ }$$

结果：原来的 ${52}^{\circ }$ 裕度瞬间缩水到 ${52}^{\circ }-{13}^{\circ }={39}^{\circ }$。还能用，但不舒服了。

情况 2：现实世界的性能（中等延迟） 假设 A/D 和计算花了半个开关周期，$t_{ctrl}=T_s/2=0.5\mu s$。 总延迟：$t_d=D{T}_s+T_s/2=0.86\mu s$。 计算相位滞后：$\mathrm{\Delta }\varphi \approx -{31}^{\circ }$。 结果：相位裕度跌到 ${52}^{\circ }-{31}^{\circ }={21}^{\circ }$。这已经是在边缘试探了，稍微来点参数漂移就可能震荡。

情况 3：糟糕的实现（最大延迟） 假设你的代码写得比较随意，或者 MCU 很慢，计算占满了一个周期，$t_{ctrl}=T_s=1\mu s$。 总延迟：$t_d=D{T}_s+T_s=1.36\mu s$。 计算相位滞后：$\mathrm{\Delta }\varphi \approx -{49}^{\circ }$。 结果：相位裕度仅剩 ${52}^{\circ }-{49}^{\circ }=3^{\circ }$。 结论：这已经不是控制了，这是在试图驯服一头野马，而且大概率会被甩下来。

这个例子极其残酷地指出了一个事实：在高频开关电源的数字控制中，环路延迟是核心限制因素。如果你想保持 100kHz 的带宽，你的代码必须跑得非常快。

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19.3.2 设计流程：五步走

基于前面的教训，我们需要一套标准化的设计流程，把延迟、抗混叠滤波器和离散化全部统筹起来。这里有一个「五步走」策略，它能保证你从模拟设计平滑过渡到数字实现，并且少踩坑。

步骤 1：定义对象（带上延迟）

首先，我们要写出未补偿的环路增益 $T_{ud}(s)$。注意，这里必须把你要用的延迟 $t_d$ 和抗混叠滤波器 $H(s)$ 都算进去。

$$T_{ud}(s)=H(s)G_{vd}(s)G_{delay}(s)=H(s)G_{vd}(s)e^{-s{t}_d}$$

(式 19.58)

这里有个细节：抗混叠滤波器 $H(s)$ 通常是一个低通滤波器。如果你在模拟 PID 设计里有一个高频极点（比如 $f_{p2}$），把它挪到 $H(s)$ 里作为抗混叠滤波器极点是极其明智的。这样你的数字补偿器 $G_c(s)$ 就可以专注于 PID 的极零点布置，不用管那个高频噪声的脏活了。

步骤 2：模拟先行

别一上来就写差分方程。先在 $s$ 域把模拟补偿器 $G_c(s)$ 设计好。

• 使用第 9 章讲过的经典设计法（K因子、手工极零点布置等）。
• 注意：在 $G_c(s)$ 里，不要包含那个高频滚降极点（$f_{p2}$），因为我们在第一步已经把它移到 $H(s)$ 里了。
• 调整：考虑到延迟 $t_d$ 会在 $f_c$ 处吃掉相位，你可能需要在模拟设计阶段就预留一些额外的相位裕度，或者调整零点位置来补偿。

步骤 3：离散化映射

拿到 $G_c(s)$ 后，用我们上一节的双线性映射把它变成 $G_{cd}(z)$。

关键技巧：强烈建议使用带预畸变的双线性映射。 设置预畸变频率 $f_{prewarp}$ 等于你的目标穿越频率 $f_c$。

$$f_{prewarp}=f_c$$

(式 19.59)

这样做能保证在最重要的穿越频率点 $f_c$ 处，数字补偿器的增益和相位与模拟设计完美一致。这是最稳妥的打法。

步骤 4：验证闭环

把 $G_{cd}(z)$ 代入完整的环路增益公式（式 19.55），画出 $T_d(j\omega )$ 的波特图。

检查清单：

1. 穿越频率 $f_c$ 对吗？
2. 相位裕度（PM）够吗？
3. 如果不对，是延迟太大了？还是预畸变没用对？

这一步一定要用 MATLAB 或 Python 跑一下，肉眼算 $z$ 域的相位是找死。

步骤 5：代码实现

验证 OK 后，就可以把 $G_{cd}(z)$ 转换成代码了（下一节 19.4 会详细讲怎么用级联型或者并联型结构来实现它，以及如何处理积分饱和）。

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19.3.3 实战演练：重新设计那个 100kHz 环路

光说不练假把式。我们再把刚才那个同步 Buck 变换器的例子完整走一遍。

设计目标：

• 输入 $V_g=5\text{ V}$，输出 $V_{ref}=1.8\text{ V}$。
• $L=1\mu \text{H}$，$C=200\mu \text{F}$，$f_s=1\text{ MHz}$。
• 穿越频率 $f_c=100\text{ kHz}$，相位裕度 $PM={52}^{\circ }$。

已知条件：

• 功率级传递函数参数：$G_{d0}=5$，$f_{esr}=1\text{ MHz}$，$f_0\approx 11.3\text{ kHz}$，$Q\approx 2.3$。
• 延迟假设：假设我们用了一款很给力的 DSP，计算延迟极小，$t_d=D{T}_s=0.36\mu s$。
• 抗混叠滤波器：我们在 $H(s)$ 里放入一个 $f_{p2}=1\text{ MHz}$ 的低通极点。

第一步：重整 PID 参数

因为延迟 $t_d$ 在 $100\text{ kHz}$ 处引入了 $-{13}^{\circ }$ 的相位滞后，我们不能直接照搬模拟 PID 的参数。 我们需要让 PD 部分提供更大的超前相位。

• 目标超前相位：原来的需求 + 补偿延迟的损失 $\approx {52}^{\circ }+{13}^{\circ }={65}^{\circ }$。
• 根据模拟设计公式（式 9.57），为了得到 ${65}^{\circ }$ 超前，我们需要调整零极点位置：
  • 新零点 $f_z=22\text{ kHz}$（模拟版是 33 kHz，往前挪了一点以增加相位提升）。
  • 新极点 $f_{p1}=450\text{ kHz}$（模拟版是 300 kHz，往后挪一点以拉开跨度）。
• 低频积分零点 $f_L=8\text{ kHz}$ 保持不变。

第二步：计算中频增益

为了达到 $100\text{ kHz}$ 的穿越频率，我们需要重新计算中频增益 $G_{cm}$。

$$G_{cm}=\sqrt{\frac{f_z}{f_{p1}}}{\left(\frac{f_c}{f_0}\right)}^2\frac{1}{V_g}\approx 3.5$$

(式 19.62)

第三步：映射到 Z 域

现在我们有了新的模拟补偿器 $G_c(s)$（式 19.61 的参数已更新）。 利用预畸变双线性映射，且 $f_{prewarp}=f_c=100\text{ kHz}$，我们得到：

$$G_{cd}^{\ast }(z)=31.7593\frac{(z-0.9493)(z-0.8654)}{(z-1)(z+0.1881)}$$

(式 19.63)

你可以看到这个传递函数的系数非常具体，没有任何含糊。这就是我们要写进代码里的那个东西。

第四步：验证

最终结果是这样的：把模拟控制器（无延迟）和数字控制器（包含 $t_d=0.36\mu s$ 延迟）的波特图叠在一起看。

你会发现：

1. 增益曲线：几乎完美重合。这正是带预畸变双线性映射的功劳。
2. 相位曲线：在 $100\text{ kHz}$ 处，虽然有点偏差，但我们成功地把相位裕度拉回了目标值附近。
3. 结论：通过预先在模拟设计阶段补偿延迟的影响，并在离散化时使用预畸变，我们成功地在数字域复现了模拟域的性能。

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19.3.4 代码背后的故事（MATLAB 脚本解析）

最后，我们来拆解一下生成这些波形的 MATLAB 脚本。这不仅仅是画图，这其实是数字控制设计的标准验证流程。

 1 % Synchronous Buck converter parameters
 2 Vg = 5;  Vref = 1.8; D = Vref/Vg; % Input and reference voltages, duty cycle
 3 L = 1e-6;  RL = 30e-3;           % Inductance and series resistance
 4 C = 200e-6; Resr = 0.8e-3;       % Capacitance and capacitor ESR
 5 fo = 1/(2*pi*sqrt(L*C));         % Pole frequency
 6 R = 1000;                        % Load resistance
 7 fs = 1e6; Ts = 1/fs;             % Switching frequency and period
 8 
 9 s = tf('s'); z = tf('z',Ts);     % Define s and z

前 9 行是纯粹的背景设置。定义了 L、C、Resr 这些物理参数，以及最重要的 s 和 z 两个算子。注意 tf('z', Ts) 这一步，它帮我们处理了采样时间的关联。

11 % Open-loop control to output transfer function
12 Gvd = Vg*(Resr+1/s/C)/(Resr + 1/s/C + s*L + RL); 
13 fp2 = 1e6; H = 1/(1 + s/2/pi/fp2);      % Sensor transfer function
14 Tu = H * Gvd;                            % Uncompensated loop gain, no delay

12-14 行：构建功率级模型。 这里 $H(s)$ 直接把那个 $1\text{ MHz}$ 的极点加进去了，这就是我们的抗混叠滤波器。

16 % Analog PID compensator
17 fc = 100e3;                         % Cross-over frequency
18 fL = 8e3; fz = 33e3; fp1 = 300e3;   % Corner frequencies (Original Analog Values)
19 Gcm = sqrt(fz/fp1)*(fc/fo)^2/Vg;    % Mid-frequency gain
20 % Analog compensator transfer function
21 Gc = Gcm*(1 + 2*pi*fL/s)*(1 + s/2/pi/fz)/(1+s/2/pi/fp1); 
22 T = Gc*Tu;                           % Loop gain with analog compensator

16-22 行：这是作为参照组的模拟补偿器设计。注意这里的参数（fz = 33e3 等）是原始模拟值，还没考虑延迟补偿。

24 % Uncompensated loop gain, including delay
25 td = D*Ts;                    % Delay in the digital control loop
26 Tu.IODelay = td;              % Delay
27 Tud = c2d(Tu,Ts,'impulse');   % Mapping of Tu with delay

24-27 行：这是数字设计的关键转折点。

• 我们计算了延迟 td。
• 我们把这个延迟作为属性 IODelay 赋给了 Tu。在 MATLAB 里，这是处理纯延迟最干净的方法。
• c2d(..., 'impulse')：这一步把带延迟的连续模型 $T_u(s)$ 离散化成了 $T_{ud}(z)$。

28 % Analog PID compensator redesigned for digital implementation
29 fL = 8e3; fz = 22e3; fp1 = 450e3;    % Corner frequencies (New values!)
30 Gcm = sqrt(fz/fp1)*(fc/fo)^2/Vg;     % Mid-frequency gain
31 Gca = Gcm*(1 + 2*pi*fL/s)*(1 + s/2*pi*fz)/(1+s/2*pi/fp1);
32 % Digital compensator transfer function
33 Gcd = c2d(Gca, Ts, 'prewarp', 2*pi*fc);
34 Td = Tud*Gcd;                         % Loop gain with digital compensator

28-34 行：这是数字补偿器的生成过程。

• 注意看第 29 行：fz 和 fp1 的值变了！这正是我们为了补偿 ${13}^{\circ }$ 相位滞后而做的重新设计。
• 第 33 行：c2d(..., 'prewarp', ...)。预畸变频率设为了 $2\pi f_c$。这行代码直接把设计好的模拟补偿器变成了我们需要的 $G_{cd}^{\ast }(z)$。

36 % Compare magnitude and phase responses of T and Td
37 options = bodeoptions; options.Grid = 'on'; 
38 options.FreqUnits = 'Hz';  options.XLim = [100, 500e3]; 
39 bode(T, 'k', options); hold on; 
40 bode(Td, 'b', options);

剩下的就是画图比对了。

这个脚本不仅仅是一个绘图工具，它是一个完整的数字控制环路验证模板。下次你设计任何数字电源，把这个脚本里的 L、C、fs 换掉，调整一下 fz/fp1，你就能得到属于你的波特图。

💡 为什么「五步走」非要先做模拟再做离散：很多新手一上来就想直接在 $z$ 域里布置零极点，结果通常是一团乱麻——因为 $z$ 平面的极零点和我们脑子里那套「频率/相位」直觉是错位的（$z=1$ 是直流，$z=-1$ 是奈奎斯特，单位圆才稳定）。先在 $s$ 域把熟悉的 PID 调好，再靠预畸变「翻译」过去，本质上是借模拟域这套成型的工程直觉当脚手架，离散化只负责忠实搬运。这就是为什么工业界几乎没人直接在 $z$ 域从头画补偿器。

还记得上一节末尾那个「一键操作」的承诺吗？这个脚本兑现了那个承诺。

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参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。