9.4.2 奈奎斯特稳定性判据：当相位裕度失效时

上一节我们聊了相位裕度，这东西在 90% 的工程场景里都够用了——只要那个 ϕm 是正的，我们大概就能睡个安稳觉。但这里有一个关键词：「大概」。

如果你觉得相位裕度就是万能钥匙，那你迟早会遇到一个让你怀疑人生的系统：它的相位裕度看着是正的，但一上电就炸；或者它的波特图画得乱七八糟，根本找不到清晰的穿越点。这时候，我们需要一把更严厉、更普适的尺子。

这把尺子就是 奈奎斯特稳定性判据。

它不仅告诉我们「稳不稳」，还告诉我们要不要炸、为什么会炸。它的核心思想非常巧妙：把复平面上的一个圈，通过传递函数 $T(s)$ 映射过去，数数看它绕过了哪个关键点。

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幅角原理：为什么绕圈能数出极点？

在深入那个著名的「奈奎斯特图」之前，我们必须先搞懂它的数学内核——幅角原理。别被这个名词吓跑，其实它非常直观。

假设有一个简单的传递函数，只在 $s=s_1$ 处有一个零点：

$$T(s)=(s-s_1)$$

现在，我们在复平面上画一条闭合的围线 $\mathrm{\Gamma }$，顺时针把 $s_1$ 包起来。当变量 $s$ 沿着这条围线从 $a$ 走到 $b$ 再回到 $a$ 时，函数 $T(s)$ 的值会发生什么变化？

从几何上看，$T(s)$ 就是一个从 $s_1$ 指向 $s$ 的向量。

• 当 $s$ 在 $a$ 点时，向量角度是 0°。
• 随着 $s$ 围绕 $s_1$ 跑完一整圈（$b\to c\to a$），这个向量的角度会连续减小，直到转过了 -360°。

这就是关键：角度变化了 -360°。

这意味着：如果围线 $\mathrm{\Gamma }$ 包围了一个零点，那么映射出来的轨迹 $T(\mathrm{\Gamma })$ 就会绕着原点顺时针转一圈。 那个轨迹把原点圈在了中间。

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⚠️ 这里的反直觉点： 如果围线 ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ 没有包围那个零点 $s_1$，会怎样？ 正如你所料，角度虽然晃了一下，但转回来之后净变化是 0°。映射出来的轨迹 $T({\mathrm{\Gamma }}^{\prime })$ 也就没圈住原点。

这就是数学上的「幅角原理」的物理图像：

$T(s)$ 的相位绕原点的圈数，等于围线内零点个数减去极点个数。

推广到更复杂的系统，如果 $T(s)$ 有一堆零极点：

$$T(s)=T_0\frac{(s-z_1)(s-z_2)\cdots }{(s-p_1)(s-p_2)\cdots }$$

那么总的相位变化就是每个人贡献的代数和：

• 围线内的每个零点贡献 -360°（顺时针）。
• 围线内的每个极点贡献 +360°（逆时针）。

如果总共有 $Z$ 个零点和 $P$ 个极点在围线里，那么绕原点的总圈数 $N$ 就是：

$$N=Z-P$$

这个公式（9.26）是整个奈奎斯特判据的基石。记住它，我们马上要用它来干点坏事——或者说，找出系统里的「坏事」。

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奈奎斯特围线：把右半平面「关进笼子」

我们要判断系统稳不稳定，本质上是在问：闭环传递函数 $T/(1+T)$ 有没有极点落在右半平面（RHP）？ 有，就不稳；没有，就稳。

既然极点这么重要，我们不妨画一个巨大的圈，把整个右半平面都关进去，然后数数看这里面有几个极点。这个巨大的圈，就叫奈奎斯特围线（Nyquist Contour）。

它由三部分组成：

1. ${\mathrm{\Gamma }}_A$：正虚轴（$s=j\omega$, $\omega :0\to \mathrm{\infty }$）。这就是我们画波特图用的频率范围。
2. ${\mathrm{\Gamma }}_B$：一个半径无穷大的半圆，把右侧无穷远的地方包住（$s=R{e}^{j\theta }$, $R\to \mathrm{\infty }$）。
3. ${\mathrm{\Gamma }}_C$：负虚轴（$s=-j\omega$），它是 ${\mathrm{\Gamma }}_A$ 的镜像。

这就像我们在复平面上筑了一道长城，把所有「危险分子」（右半平面的极点）都围在了里面。

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稳定性测试：瞄准 -1 点

根据幅角原理，如果我们把这个奈奎斯特围线 $\mathrm{\Gamma }$ 通过开环增益 $T(s)$ 映射过去，得到的轨迹绕原点的圈数 $N$ 应该满足：

$$N=Z-P$$

• $P$ 是开环 $T(s)$ 在右半平面的极点数（我们通常已知）。
• $Z$ 是闭环 $1+T(s)$ 在右半平面的极点数（这是我们要求的，也是那个危险的分子）。

等等，为什么要算 $1+T(s)$ 的极点？ 回头看看闭环公式：

$$\text{闭环增益}=\frac{T}{1+T}$$

这个分母 $1+T(s)$ 的根，就是闭环极点。如果这些根跑到右半平面，系统就炸了。 而 $1+T(s)$ 的极点，在数学上等价于 $T(s)=-1$ 的解。

这里有一个极其巧妙的数学转换：

• $1+T(s)$ 绕原点的圈数 $\equiv$ $T(s)$ 绕 -1 点的圈数。
  • 因为 $1+T$ 只是把 $T$ 的图像向右平移了 1 个单位。原点变成了 -1 点。

所以，判据来了：

绘制开环 $T(s)$ 的奈奎斯特图，数数看它顺时针包围 -1 点的圈数 $N$。

$$Z=N+P$$

如果开环稳定（$P=0$，这是我们绝大多数电源的情况），那么：

只要奈奎斯特图不包围 -1 点（$N=0$），闭环就是稳定的。

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基础示例：教科书般的稳定系统

让我们看一个最标准的例子。假设开环增益 $T(s)$ 有三个左半平面的极点（典型的三阶系统）：

$$T(s)=\frac{T_0}{(1+s/{\omega }_1)(1+s/{\omega }_2)(1+s/{\omega }_3)}$$

先在脑子里过一遍它的波特图。穿越频率 $f_c$ 处有一个相位裕度 ${\varphi }_m$。

1. 映射 ${\mathrm{\Gamma }}_A$（正频率部分）：

• $f=0$ 时：幅值是 $T_0$，相位 0°。点落在正实轴上。
• $f$ 增加：幅值减小，相位滞后变大。
• $f=f_c$：幅值为 1（0 dB），相位为 $-{180}^{\circ }+{\varphi }_m$。注意，这里还没到 -180°，所以点在单位圆上，但在第三象限的「上方」。
• $f\to \mathrm{\infty }$：幅值趋于 0，相位趋于 -270°。轨迹缩回原点。

2. 映射 ${\mathrm{\Gamma }}_B$（无穷大半圆）： 当 $s\to \mathrm{\infty }$，$T(s)\to 0$。这部分的奈奎斯特图就塌缩在原点的一个点上。

3. 映射 ${\mathrm{\Gamma }}_C$（负频率部分）： 这其实是正频率的共轭（实轴对称）。把上半部分的曲线沿着实轴折下来就行了。

把三部分拼起来，整张奈奎斯特图就闭合了。 看那个关键点 -1。它在哪里？它孤零零地躺在负实轴上，而我们的轨迹像一只耳朵一样弯在它的左边。 结论：没有包围 -1 点。$N=0$。 既然开环 $P=0$，那么闭环 $Z=0$。系统稳定。

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陷阱示例：当相位裕度骗了你

现在，把刚才那个系统的相位裕度 ${\varphi }_m$ 变成负数。 这意味着在穿越频率 $f_c$ 处，相位已经滞后超过了 180°。

这时候画出来的奈奎斯特图会怎么变？ 轨迹在穿过单位圆时，已经钻到了第三象限甚至更低。当你把负频率部分连上来时，你会发现——这条轨迹像卷饼一样，把 -1 点死死地包在了里面！

包了几圈？两圈（$N=2$）。 这意味着 $Z=2$。闭环系统有两个右半平面极点。系统彻底不稳定。

所以，相位裕度 ${\varphi }_m<0$ 等价于奈奎斯特图包围 -1 点。这只是奈奎斯特判据的一个特例。

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进阶示例：三个穿越频率的迷宫

下面这个例子会让你头皮发麻。 如果环路增益里有一对很强的谐振极点（比如很差的 LC 滤波器），幅值曲线会在高频处再次翘起来。

盯着这种情况的波特图，你会发现幅值曲线穿越 0 dB 线三次！

• 穿越点 1：相位裕度是正的。
• 穿越点 2：相位裕度也是正的。
• 穿越点 3：相位裕度是负的。

这时候你怎么办？你信哪个相位裕度？ 答案是：别信相位裕度，画奈奎斯特图。

把这条曲线画成奈奎斯特图，你会发现它扭成了一个复杂的结，而这个结把 -1 点包围了两次（$N=2$）。 虽然前两个穿越点看起来很正常，但第三个穿越点在高频处搞破坏，把系统拖下了水。

这就是为什么电源里要极力抑制谐振峰值——一旦那个峰翘起来穿过了 0 dB，高频段的相位滞后会很容易导致系统不满足奈奎斯特判据。

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特殊案例：积分器与原点极点

还有一个极其常见的坑：补偿器里的积分器（PI 控制器）。 它在原点 $s=0$ 有一个极点。这就意味着 $T(s)$ 在虚轴上有一个奇点。

奈奎斯特围线是沿着虚轴走的。如果路中间有个坑（极点），我们就得绕过去。 我们需要修改围线，在原点处加一个小半圆 ${\mathrm{\Gamma }}_D$，半径 $ϵ\to 0$，从 -90° 绕到 +90°。

对于包含积分器的系统：

$$T(s)=\frac{1}{s/{\omega }_0}\frac{1}{(1+s/{\omega }_1)(1+s/{\omega }_2)}$$

当我们把 $s=ϵe^{j\theta }$ 代入并让 $ϵ\to 0$ 时，$T(s)$ 的幅值会趋于无穷大（因为分母上有 $s$）。 但这部分的相位怎么变？

$$T(ϵe^{j\theta })\approx \frac{{\omega }_0}{ϵ}{e}^{-j\theta }$$

随着 $\theta$ 从 -90° 变到 +90°，这部分轨迹的相位从 +90° 变到 -90°。 这就画出了一条位于右半平面、连接虚轴正负无穷大的半圆弧。

有了这个弧线，奈奎斯特图就闭合了。 只要这部分巨大的弧线没有把 -1 点包进去（也就是那条弧线在 -1 点的右边），系统就是稳定的。 这也再次印证了为什么低频积分器通常不会破坏稳定性——只要它在高频段被处理得当。

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总结：为什么我们需要奈奎斯特？

这一节其实是在告诉你一个残酷的真相：相位裕度虽然好用，但它是奈奎斯特判据的「简化版」。

• 奈奎斯特图 是把波特图的信息（幅值和相位）压缩进了一张二维极坐标图里。
• 那个神秘的 -1 点，其实就是稳定性悬崖的边缘。
• 只要你的开环轨迹 $T(j\omega )$ 离 -1 点够远，你就安全了。相位裕度只是衡量这种距离的一种方式。

核心公式：

$$Z=N+P$$

• $P$：开环右半平面极点（通常为 0）。
• $N$：奈奎斯特图顺时针包围 -1 点的圈数（数圈！）。
• $Z$：闭环右半平面极点（必须为 0 才能稳定）。

这就是控制理论的「终极大招」。当波特图画得你晕头转向、不知道系统稳不稳的时候，回到 -1 点，数数看它有没有被包围。

下一节，我们要把这些抽象的「圈圈」落地，看看它们如何具体影响电源的阻尼和瞬态响应。

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参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。