7.2.6 扰动与线性化

现在，Buck-Boost 变换器的三大基石方程——电感方程 (7.18)、电容方程 (7.26) 和输入电流方程 (7.28)——都已经整齐地排列在面前了：

$$L\frac{d⟨i(t){⟩}_{T_s}}{dt}=d(t)⟨v_g(t){⟩}_{T_s}+d^{\prime }(t)⟨v(t){⟩}_{T_s}$$$$C\frac{d⟨v(t){⟩}_{T_s}}{dt}=-d^{\prime }(t)⟨i(t){⟩}_{T_s}-\frac{⟨v(t){⟩}_{T_s}}{R}$$$$⟨i_g(t){⟩}_{T_s}=d(t)⟨i(t){⟩}_{T_s}$$

看着这三个方程，你会发现一个令人不安的事实：它们是非线性的。

原因很明显——里面到处都是乘法。电容电流取决于控制输入 $d^{\prime }(t)$ 和电感电流 $⟨i(t){⟩}_{T_s}$ 的乘积。两个随时间变化的信号相乘，这就是非线性的根源。这种乘法会产生新的谐波分量，完全破坏了叠加原理。

这很麻烦。

我们手里最顺手的交流电路分析工具——拉普拉斯变换、频域阻抗法、传递函数——全都是为线性系统准备的。如果方程是非线性的，这些工具统统失效。为了让这套强大的工具箱重新上场，我们必须把这组非线性方程「掰直」了——也就是构造一个小信号模型。

扰动：在平静湖面上投石子

想象你的变换器正运行在一个完美的稳态下。

这时候，输入电压是一个常数 $V_g$，占空比锁定在一个固定值 $D$。根据我们在第 2、3 章学过的稳态分析原则（伏秒平衡、电荷平衡），电感电流、电容电压和输入电流最终都会安顿下来，停在各自的直流稳态值上：

$$V=-\frac{D}{D^{\prime }}{V}_g,I=-\frac{V}{D^{\prime }R},I_g=DI$$

这组 $(V_g,D,I,V,I_g)$ 定义了一个准静态工作点。这是变换器的「出厂设置」，也是它的「休息状态」。

现在，我们在这个平静的湖面上轻轻投下一颗石子。

假设输入电压 $v_g(t)$ 和占空比 $d(t)$ 不再是死板的常数，而是在那个直流基准上叠加了一点点微小的交流扰动：

$$⟨v_g(t){⟩}_{T_s}=V_g+{\hat{v}}_g(t)$$$$d(t)=D+\hat{d}(t)$$

作为响应，系统里的其他变量也会跟着晃动。在瞬态过程平息之后，电感电流、电容电压和输入电流的平均值，也会变成对应的直流值加上微小的交流扰动：

$$⟨i(t){⟩}_{T_s}=I+\hat{i}(t)$$$$⟨v(t){⟩}_{T_s}=V+\hat{v}(t)$$$$⟨i_g(t){⟩}_{T_s}=I_g+{\hat{i}}_g(t)$$

这一步叫「扰动」。

我们做这件事的前提是那个强假设：扰动必须很小。

$$|{\hat{v}}_g(t)|\ll V_g,|\hat{d}(t)|\ll |D|,|\hat{i}(t)|\ll |I|,|\hat{v}(t)|\ll |V|$$

为什么要强调「很小」？因为只有当扰动足够小的时候，非线性系统才会看起来像是线性的。这就好比地球是圆的，但在你脚下的一小块地皮上，它是平的。我们现在的任务，就是算出这块「地皮」的斜率。

线性化手术：展开，分类，丢弃

现在，我们要把这一组带着「帽子的变量」代入原来的非线性方程里，做一次外科手术。

先看电感方程。先把 $d(t)=D+\hat{d}(t)$ 代进去。

这里有一个容易搞错的细节：$d^{\prime }(t)$ 怎么办？因为 $d^{\prime }(t)=1-d(t)$，所以：

$$d^{\prime }(t)=1-(D+\hat{d}(t))=(1-D)-\hat{d}(t)=D^{\prime }-\hat{d}(t)$$

注意那个负号。这意味着如果 $d(t)$ 往上跳，$d^{\prime }(t)$ 就必须往下掉，这个反直觉的符号后面会反复出现。

好，现在把所有变量一股脑代入电感方程：

$$L\frac{d(I+\hat{i}(t))}{dt}=(D+\hat{d}(t))(V_g+{\hat{v}}_g(t))+(D^{\prime }-\hat{d}(t))(V+\hat{v}(t))$$

现在展开右边的乘法。这是一场纯粹的代数暴力，但要小心。

$$\begin{array}{rl}L\frac{dI}{dt}+L\frac{d\hat{i}(t)}{dt}=& \underset{\text{DC Terms}}{\underbrace{D{V}_g+D^{\prime }V}}\\ & +\underset{\text{1st Order AC Terms (Linear)}}{\underbrace{D{\hat{v}}_g(t)+D^{\prime }\hat{v}(t)+(V_g-V)\hat{d}(t)}}\\ & +\underset{\text{2nd Order AC Terms (Nonlinear)}}{\underbrace{\hat{d}(t)({\hat{v}}_g(t)-\hat{v}(t))}}\end{array}$$

停下来，看看这一堆东西都分成了什么类：

1. 直流项：这是基准，是系统静止时的样子。
2. 一阶交流项：每个项里只有一个「戴帽子」的变量，这通常是线性的。
3. 二阶交流项：这就是 $\hat{d}(t)$ 乘以 ${\hat{v}}_g(t)$ 这种「帽子乘帽子」的项。这是非线性毒瘤。

我们的目标是建立线性模型。线性模型意味着它不能包含二阶项。

能不能扔掉二阶项？可以，前提是它们真的很小。

根据之前的假设，$|\hat{d}(t)|\ll D$。那么 $\hat{d}(t){\hat{v}}_g(t)$ 和 $D{\hat{v}}_g(t)$ 相比，前者就像尘埃一样微小。既然我们要处理的是小信号，那么这些二阶小量的贡献微乎其微，可以直接扔进垃圾桶。

扔掉二阶项后，方程两边的直流项（根据稳态方程的定义）也是互相抵消的。$L\frac{dI}{dt}$ 这一项是 0，因为 $I$ 是常数。

最后剩下的是什么？纯粹的、干净的一阶项：

$$L\frac{d\hat{i}(t)}{dt}=D{\hat{v}}_g(t)+D^{\prime }\hat{v}(t)+(V_g-V)\hat{d}(t)$$

这就是我们梦寐以求的：描述电感电流变化的小信号线性方程。它告诉我们，电感电流的变化率，是输入电压扰动、输出电压扰动和控制扰动（占空比扰动）的线性加权组合。

同样的手术，我们还要在电容方程和输入电流方程上做一遍。

电容方程的线性化

把变量代入电容方程：

$$C\frac{d(V+\hat{v}(t))}{dt}=-(D^{\prime }-\hat{d}(t))(I+\hat{i}(t))-\frac{V+\hat{v}(t)}{R}$$

再次展开，再次分类：

$$C\frac{dV}{dt}+C\frac{d\hat{v}(t)}{dt}=\underset{\text{DC Terms}}{\underbrace{-D^{\prime }I-\frac{V}{R}}}+\underset{\dots }{\underbrace{-\hat{d}(t)I-\frac{\hat{v}(t)}{R}}}+\dots$$

这里你会遇到同样的二阶项：$\hat{d}(t)\hat{i}(t)$。

别犹豫，只要满足小信号假设，它就远小于 $D^{\prime }\hat{i}(t)$ 或者 $I\hat{d}(t)$。把它删掉。

剩下的，就是线性化后的电容方程：

$$C\frac{d\hat{v}(t)}{dt}=-D^{\prime }\hat{i}(t)-\frac{\hat{v}(t)}{R}+I\hat{d}(t)$$

输入电流方程的线性化

最后是输入电流方程。代入：

$$I_g+{\hat{i}}_g(t)=(D+\hat{d}(t))(I+\hat{i}(t))$$

展开后得到：

$$I_g+{\hat{i}}_g(t)=\underset{\text{DC}}{\underbrace{DI}}+\underset{\text{Linear}}{\underbrace{D\hat{i}(t)+I\hat{d}(t)}}+\underset{\text{Nonlinear}}{\underbrace{\hat{d}(t)\hat{i}(t)}}$$

二阶项 $\hat{d}(t)\hat{i}(t)$ 出现了。你猜怎么着？删掉它。

直流项 $I_g$ 和 $DI$ 是相等的（来自稳态关系），它们互相抵消。剩下的就是：

$${\hat{i}}_g(t)=D\hat{i}(t)+I\hat{d}(t)$$

总结：从非线性混沌到线性秩序

至此，我们已经完成了 Buck-Boost 变换器核心方程的彻底线性化。

回顾一下这一步我们做了什么：

1. 扰动：把所有变量写成 $DC+AC$ 的形式。
2. 展开：把变量代入平均方程，暴力展开。
3. 识别：把展开项分为直流项、一阶交流项、二阶交流项。
4. 清洗：利用「小信号」假设，扔掉所有二阶非线性项；利用「稳态」定义，抵消直流项。
5. 收割：得到一组只包含一阶交流变量的线性微分方程。

这是一套通用的流程。不管是 Buck、Boost 还是更复杂的 Cuk 变换器，只要你把平均方程写出来，只要扰动够小，这套手术流程就能把非线性的开关变换器，变成一个我们可以用拉普拉斯变换去处理的线性电路模型。

下一步，我们就要把这些抽象的线性方程，变回成电阻、电容、受控源组成的电路图——那就是传说中的「交流等效电路模型」。

💡 记号小窍门：每次做这套扰动展开，我都建议先把 $d^{\prime }(t)=D^{\prime }-\hat{d}(t)$ 单独写一行再代入。$d$ 上面加帽是「往上跳」，但 $d^{\prime }$ 因为等于 $1-d$，它必然是「往下掉」——这个负号是全章最容易出错的符号陷阱，一旦在这里漏了负号，后面受控源极性全错，电路模型看起来「差不多对」却算出右半平面零点跑到左半边，debug 到怀疑人生。

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参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。