PWM 波形谐波：不要被正弦波骗了

10.4.7 PWM 波形谐波：不要被正弦波骗了

目前为止，我们对绕组损耗的分析——特别是那些关于 $F_{R}$ 和 $Q^{'}$ 的公式——都基于一个隐含的假设：流过绕组的电流是完美的正弦波。

这当然是扯淡。

在现实的开关电源里，变压器电流根本不是正弦波，而是方波、三角波或者更复杂的 PWM 波形。它们尖锐的边沿包含了丰富的高频分量。

如果你直接用基波频率去套用上一节的公式，算出来的损耗会偏小——严重偏小。那些被你忽略的高次谐波，正在你的铜线里疯狂发热。这一节，我们就要把这些「隐形杀手」抓出来算总账。

非正弦波的傅里叶解剖

让我们来看看一个典型的开关变换器绕组电流波形，例如正激变换器的初级电流。

i(t)
Ipk
|        /----------\
|       /            \
|______/              \______
   0   DTs            Ts

这个波形虽然看着方头方脑，但它在数学上可以分解成一个直流分量 $I_{0}$ 加上一堆无穷无尽的正弦波（傅里叶级数）：

i (t) = I_{0} + \sum_{j = 1}^{\infty} \sqrt{2} I_{j} \cos (j ω t)

这里有两个关键点：

直流分量： $I_{0} = D I_{p k}$ 。这代表传送到负载的能量。
各次谐波：第 $j$ 次谐波的有效值（RMS）是 $I_{j}$ ，它正比于 $1 / j$ 。
- 具体公式是： $I_{j} = \frac{\sqrt{2} I_{p k}}{j π} \sin (j π D)$
- 这里的 $ω = 2 π / T_{s}$ ，是开关角频率。

你看，虽然基波的能量最大，但 3 次、5 次、7 次甚至更高次的谐波都存在。如果你只算基波，你就漏掉了这些小分量的贡献。

为什么谐波特别能损耗？

关键来了。

还记得上一节我们定义的有效导体厚度 $ϕ$ 吗？

ϕ = \frac{h}{δ}

其中 $δ$ 是趋肤深度。

趋肤深度 $δ$ 和频率的平方根成反比：

δ \propto \frac{1}{\sqrt{f}}

这意味着，频率越高，趋肤深度越浅， $ϕ$ 就越大。

如果我们用基波（ $j = 1$ ）的 $ϕ$ 作为基准，记为 $ϕ_{1}$ ，那么对于第 $j$ 次谐波，其对应的有效导体厚度 $ϕ_{j}$ 会变成：

ϕ_{j} = \sqrt{j} ϕ_{1}

这太可怕了。

这意味着 5 次谐波感受到的导线「厚度」，是基波的 $\sqrt{5} \approx 2.23$ 倍！回想一下 $F_{R}$ 随 $ϕ$ 变化的曲线：当 $ϕ$ 接近 1 时， $F_{R}$ 会急剧上升。

对于多层绕组（ $M > 1$ ）， $Q^{'} (ϕ)$ 在 $ϕ \approx 1$ 附近是一个快速上升的函数。即使谐波电流的幅度 $I_{j}$ 只有基波的 1/5，但它对应的 $ϕ_{j}$ 却变成了 2 倍多，导致该次谐波产生的铜损可能并没有降多少，甚至反而增加了。

扣除直流分量：先别急着算

在开始把所有损耗加起来之前，有一个至关重要的避坑点：

邻近效应不产生于直流。

MMF（磁动势）是由电流的变化产生的。恒定的直流分量虽然会产生欧姆损耗（ $I^{2} R$ ），但它不会在邻近导体中感应出涡流。

所以，计算邻近损耗时，必须把直流分量 $I_{0}$ 剔除出去。如果你把直流分量也丢进邻近效应公式里算一遍，你会得到一个极其悲观的损耗估值，吓得你甚至不敢开工。

⚠️ 注意后面的公式中，所有涉及邻近效应、 $F_{R}$ 或 $ϕ$ 的计算，均只针对交流分量（ $j \geq 1$ ）。直流损耗单独算。

总铜损：逐层击破的计算

现在我们有了完整的公式来计算这个 PWM 波形下的总铜损。

假设我们的变压器有 $M$ 层绕组，直流电阻为 $R_{d c}$ 。

直流部分的损耗（老老实实算欧姆定律）：
$P_{d c} = I_{0}^{2} R_{d c} = D I_{p k}^{2} R_{d c}$
第 $j$ 次谐波的损耗（这才是难点）：对于第 $j$ 次谐波，其频率是基波的 $j$ 倍，所以其有效厚度是 $\sqrt{j} ϕ_{1}$ 。利用我们在 10.4.4 节导出的公式（10.87），第 $j$ 次谐波的铜损 $P_{j}$ 为：
$P_{j} = I_{j}^{2} R_{d c} [\frac{Q^{'} (\sqrt{j} ϕ_{1}, 1)}{Q^{'} (0, 1)} + \frac{2 (M^{2} - 1)}{3} \frac{G_{1} (\sqrt{j} ϕ_{1})}{G_{1} (0)} - 2 \frac{G_{2} (\sqrt{j} ϕ_{1})}{G_{1} (0)}] \cdot {(\frac{H}{h})}^{2}$
注：这里的 $Q^{'}, G_{1}, G_{2}$ 都是那些 Bessel 函数封装起来的中间变量，具体形式在 10.4.4 节有定义。这里的重点是 $\sqrt{j}$ 传进去了。
总铜损（把它们加起来）：
$P_{c u} = P_{d c} + \sum_{j = 1}^{\infty} P_{j}$

把 $I_{j}$ 的具体表达式代入并整理一下，我们就能得到那个著名的、看起来让人头大的总损耗公式（10.98）：

P_{c u} = D I_{p k}^{2} R_{d c} + 2 ϕ_{1} D I_{p k}^{2} R_{d c} \sum_{j = 1}^{\infty} (\frac{\sin^{2} (j π D)}{j^{2} π^{2}}) \frac{\sqrt{j} G_{1} (\sqrt{j} ϕ_{1}) + \dots}{\dots}

这个公式通常得靠 Excel 或者 MathCAD 才能算明白。

谐波因子 $F_{H}$ ：量化灾难的程度

为了直观地看清楚谐波到底把损耗放大了多少倍，我们定义一个谐波因子 $F_{H}$ 。

它的定义很简单：把所有高次谐波造成的邻近损耗加起来，除以基波造成的邻近损耗。

F_{H} = \frac{\sum_{j = 2}^{\infty} P_{j}}{P_{1}}

有了 $F_{H}$ ，我们的总损耗公式就可以写成一种很直观的形式：

P_{c u} = I_{0}^{2} R_{d c} + (1 + F_{H}) F_{R} I_{1}^{2} R_{d c}

这里：

$I_{0}^{2} R_{d c}$ ：直流损耗（避不开）。
$I_{1}^{2} R_{d c}$ ：基波的交流损耗（如果电流是纯正弦，只有这一项）。
$F_{R}$ ：基波下的交流电阻因子。
$(1 + F_{H})$ ：这就是 PWM 波形给你的惩罚。

如果 $F_{H} = 0$ ，说明波形是完美的正弦波。实际上呢？对于占空比 $D = 0.1$ 的波形， $F_{H}$ 可能高达几百甚至更多！

后果有多严重： $F_{H}$ 随 $ϕ_{1}$ 的变化

让我们看看谐波因子 $F_{H}$ 随基波有效厚度 $ϕ_{1}$ 的变化规律。

这里有三个关键现象：

当 $ϕ_{1} \approx 1$ 时，曲线飙升。 这就是前面说的「危险区」。此时基波已经在邻近效应的边缘试探了，再来一点高频谐波（哪怕幅度小）， $ϕ_{j}$ 变大，直接让 $F_{R}$ 爆表。结论：在多层绕组中，如果 $ϕ_{1}$ 选在了 1 附近，谐波会弄死你。
当 $ϕ_{1}$ 很小（ $≪ 1$ ）时， $F_{H}$ 趋于平稳。 此时导线太细了，基波也没啥邻近效应。谐波虽然频率高，但因为导线本身就细，也没激起太大的浪花。此时 $F_{H} \approx 1 + (T H D)^{2}$ 。
当 $ϕ_{1}$ 很大（ $≫ 1$ ）时，曲线反而平缓了。 导线太粗，基波已经被邻近效应虐得死去活来了（损耗巨大），谐波再加一点也就是「虱子多了不痒」。

实战启示：如果你不想用利兹线也不想用交错绕法，那你就必须把导线做得很细，让 $ϕ_{1}$ 远小于 1，这样就能无视谐波的影响。这就是为什么有些老派设计在 100kHz 下还在用 0.1mm 的线——虽然直流电阻大，但避开了谐波炸弹。

总结：PWM 波形的生存法则

这一节讲透了 PWM 谐波对邻近效应的放大作用。

直觉错了吗？ 我们直觉上觉得高次谐波能量小，不重要。但在邻近效应里，频率越高，导线「电学厚度」越厚，损耗是非线性的。
怎么算？ 剥离直流，分别算各次谐波对应的 $ϕ_{j} = \sqrt{j} ϕ_{1}$ ，然后求和。
怎么防？
- 如果你想用粗线（ $ϕ_{1} \approx 1$ ），你必须解决谐波问题——交错绕法是首选。
- 如果你不想绕线绕得太痛苦，把 $ϕ_{1}$ 降到 0.5 以下，谐波就不再是你的敌人。

记住，在多层变压器设计中，波形不是正弦波是常态，而不是例外。 只要你手里拿着 PWM 控制器，你就得时刻想着那些看不见的高次谐波正在你的线圈里做什么。

一个量化直觉：谐波损耗的元凶是 $ϕ_{j} = \sqrt{j} ϕ_{1}$ ——第 $j$ 次谐波把导线的「电学厚度」放大了 $\sqrt{j}$ 倍。这意味着第 9 次谐波感觉到的厚度是基波的 3 倍，哪怕它的电流只有基波的 1/9。所以别被「谐波电流小」骗了，邻近损耗对厚度是非线性的，小电流遇上大厚度照样烧。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

10.4.7 PWM 波形谐波：不要被正弦波骗了 ​

非正弦波的傅里叶解剖 ​

为什么谐波特别能损耗？ ​

扣除直流分量：先别急着算 ​

总铜损：逐层击破的计算 ​

谐波因子 FH：量化灾难的程度 ​

后果有多严重：FH 随 ϕ1 的变化 ​

总结：PWM 波形的生存法则 ​