DCM 开关网络的小信号交流建模

15.3 DCM 开关网络的小信号交流建模

我们在上一节里把大信号的平均模型像搭积木一样搭起来了——那个看起来很诡异的「无损电阻 + 功率源」组合。这解决了直流和低频大信号的问题。

但如果你真的要动手设计反馈环路，光有大信号模型是不够的。我们需要知道：当我在占空比 $d$ 上轻轻戳一下，输出电压 $\hat{v}$ 会怎么抖动？它的增益是多少？相位在哪里开始掉？

这就需要把那个非线性的大信号模型（记住， $R_{e}$ 里面可是有平方项的，绝对是非线性的）在静态工作点附近「拉直」，变成线性小信号模型。

这一节的任务，就是把那个非线性的 LFR 网络放到数学的实验台上做一次「线性化手术」。

15.3.1 从大信号到小信号：线性化手术

我们要处理的是上一节那个大信号平均开关网络模型。为了看得更清楚，我们把这个网络的端口变量列出来，然后对它们进行扰动。

这里的规则和标准的伏特勒级数展开一样：所有变量都拆成直流稳态值加上一个小扰动分量：

\begin{aligned} d (t) & = D + \hat{d} (t) \\ ⟨ v_{1} (t) ⟩_{T_{s}} & = V_{1} + {\hat{v}}_{1} (t) \\ ⟨ i_{1} (t) ⟩_{T_{s}} & = I_{1} + {\hat{i}}_{1} (t) \\ ⟨ v_{2} (t) ⟩_{T_{s}} & = V_{2} + {\hat{v}}_{2} (t) \\ ⟨ i_{2} (t) ⟩_{T_{s}} & = I_{2} + {\hat{i}}_{2} (t) \end{aligned}

这里 $D$ 是稳态占空比， $V_{1}$ 是输入平均电压的稳态值，以此类推。那些带着帽子的 ${\hat{v}}_{1} (t)$ 、 $\hat{d} (t)$ 就是我们想要抓的小信号交流分量。

我们的目标是线性化上一节推导出的终端方程 (15.20) 和 (15.21)。那两个方程把输入电流 $⟨ i_{1} ⟩$ 和输出电流 $⟨ i_{2} ⟩$ 表达成了占空比 $d$ 和端电压 $⟨ v_{1} ⟩, ⟨ v_{2} ⟩$ 的非线性函数。

当我们把它们线性化之后， ${\hat{i}}_{1}$ 和 ${\hat{i}}_{2}$ 应该能写成 $\hat{d}, {\hat{v}}_{1}, {\hat{v}}_{2}$ 的线性组合。具体来说，长成这样：

\begin{aligned} {\hat{i}}_{1} & = \frac{{\hat{v}}_{1}}{r_{1}} + j_{1} \hat{d} + g_{1} {\hat{v}}_{2} \\ {\hat{i}}_{2} & = - \frac{{\hat{v}}_{2}}{r_{2}} + j_{2} \hat{d} + g_{2} {\hat{v}}_{1} \end{aligned}

这就是我们想要的那个双端口小信号网络模型的数学描述。这里面有一堆神秘的参数： $r_{1}$ （输入电阻）、 $j_{1}$ （控制到输入电流的增益）、 $g_{1}$ （跨导，把输出电压耦合到输入电流）……它们到底是什么？我们需要把上一节的公式 (15.20) 拿出来，用泰勒级数展开（Taylor Expansion）给它扒开看清楚。

15.3.2 输入端口的剖析： $r_{1}, j_{1}, g_{1}$

还记得 (15.20) 是怎么说的吗？它说输入端的平均电流是电压除以一个受控电阻：

⟨ i_{1} (t) ⟩_{T_{s}} = \frac{⟨ v_{1} (t) ⟩_{T_{s}}}{R_{e} (d (t))} = f_{1} (⟨ v_{1} ⟩, ⟨ v_{2} ⟩, d)

我们要在这个静态工作点 $(V_{1}, V_{2}, D)$ 附近对它进行三维泰勒展开。别被三维吓到了，其实就是分别对 $v_{1}, v_{2}, d$ 求偏导数：

I_{1} + {\hat{i}}_{1} (t) \approx f_{1} (V_{1}, V_{2}, D) + {\hat{v}}_{1} (t) \frac{\partial f_{1}}{\partial v_{1}} |_{o p} + {\hat{v}}_{2} (t) \frac{\partial f_{1}}{\partial v_{2}} |_{o p} + \hat{d} (t) \frac{\partial f_{1}}{\partial d} |_{o p}

先看直流项。直流部分必须相等，这其实就是欧姆定律：

I_{1} = f_{1} (V_{1}, V_{2}, D) = \frac{V_{1}}{R_{e} (D)}

接下来我们只关心交流小信号部分。把直流项消掉，剩下的就是我们要的线性方程。对照前面的目标形式，我们就能把这几个参数一个个认领回来：

1. 输入电阻 $1 / r_{1}$ 这是 ${\hat{i}}_{1}$ 对 ${\hat{v}}_{1}$ 的偏导数，也就是方程对 $v_{1}$ 求导的结果：

\frac{1}{r_{1}} = \frac{\partial f_{1}}{\partial v_{1}} = \frac{1}{R_{e} (D)}

你会发现， $r_{1}$ 正好就是我们在上一节算出来的有效电阻 $R_{e}$ 。这很直观：在静态工作点附近，输入端表现得就像一个电阻。

2. 跨导 $g_{1}$ 这是 ${\hat{i}}_{1}$ 对 ${\hat{v}}_{2}$ 的偏导数。但是回头看看 $f_{1}$ 的表达式，里面根本没有 $⟨ v_{2} ⟩$ ！输入电流只取决于输入电压和占空比，跟输出电压半毛钱关系没有。

g_{1} = \frac{\partial f_{1}}{\partial v_{2}} = 0

这意味着什么？意味着在小信号模型里，从输出端口到输入端口没有反向传输。这跟理想变压器的性质有点像，但在 DCM 里是因为功率源的单向性造成的。

3. 控制增益 $j_{1}$ 这个稍微麻烦点，它反映了占空比 $\hat{d}$ 的变化是如何通过改变 $R_{e} (d)$ 来影响输入电流的。我们需要对 $d$ 求导：

j_{1} = \frac{\partial}{\partial d} (\frac{v_{1}}{R_{e} (d)}) = - V_{1} \frac{1}{R_{e} (D)^{2}} \frac{d R_{e} (d)}{d d} |_{d = D}

代入 $R_{e} (d) = \frac{2 L}{d^{2} T_{s}}$ ，算一下导数：

\frac{d R_{e}}{d d} = \frac{d}{d d} (\frac{2 L}{d^{2} T_{s}}) = - \frac{4 L}{d^{3} T_{s}}

把它代回去，你就得到了教科书上的那个结果：

j_{1} = \frac{2 V_{1}}{D R_{e} (D)}

这个参数描述了：「当你 tweak 占空比时，有效电阻变了，导致从电源吸取的电流变了多少」。

15.3.3 输出端口的剖析： $r_{2}, j_{2}, g_{2}$

输入端搞定了，接下来是输出端口。这里可是那个著名的「功率源」所在地。

根据 (15.21)，输出电流是功率除以电压：

⟨ i_{2} (t) ⟩_{T_{s}} = \frac{⟨ v_{1} ⟩_{T_{s}}^{2}}{R_{e} (d) ⟨ v_{2} ⟩_{T_{s}}} = \frac{P}{⟨ v_{2} ⟩_{T_{s}}} = f_{2} (⟨ v_{1} ⟩, ⟨ v_{2} ⟩, d)

同样的戏码再来一遍：在静态工作点 $(V_{1}, V_{2}, D)$ 附近展开泰勒级数。

直流项相等给出了功率守恒的稳态表达式：

I_{2} = f_{2} (V_{1}, V_{2}, D) = \frac{V_{2}}{M^{2} R_{e} (D)} = \frac{P}{V_{2}}

然后是交流项。我们重点关注下面这三个系数：

1. 输出电阻 $1 / r_{2}$ 这是对 $v_{2}$ 求偏导。因为 $i_{2}$ 正比于 $v_{2}$ 的倒数（ $P / v_{2}$ ），所以：

\frac{1}{r_{2}} = - \frac{\partial f_{2}}{\partial v_{2}} |_{o p} = \frac{1}{M^{2} R_{e} (D)}

或者写成 $r_{2} = M^{2} R_{e} (D)$ 。

这里有个非常有意思的物理图像： $r_{2}$ 实际上是那个非线性功率源特性曲线在静态工作点处的切线斜率。如果你负载是个电阻 $R$ ，那么在这个点切线电阻算出来正好也是 $M^{2} R_{e}$ 。这说明在 DCM 下，输出端对内呈现的动态电阻和负载电阻有某种对偶关系。

2. 跨导 $g_{2}$ 这描述了输入电压扰动 ${\hat{v}}_{1}$ 是如何通过改变「输入功率」来影响输出电流 ${\hat{i}}_{2}$ 的。

g_{2} = \frac{\partial f_{2}}{\partial v_{1}} |_{o p} = \frac{2}{M R_{e} (D)}

这也很直观：输入电压稍微涨一点，输入功率（ $v_{1}^{2} / R_{e}$ ）就涨一大截（平方关系），这多出来的功率被搬运到输出端，就把输出电流顶上去了。

3. 控制增益 $j_{2}$ 这是最核心的控制参数。它描述了占空比 $\hat{d}$ 如何通过改变 $R_{e}$ 来改变输出功率。

j_{2} = \frac{\partial f_{2}}{\partial d} |_{o p} = - \frac{V_{2}}{R_{e} (D)^{2} V_{2}} \frac{d R_{e}}{d d} = \frac{2 V_{1}}{D M R_{e} (D)}

把这些参数全部列出来，就得到了表 15.2 的第一行。你会发现，这些公式里充满了 $V_{1}, V_{2}, M, R_{e} (D)$ 这些大家伙。虽然看起来有点吓人，但只要你记得它们背后的物理意义——电阻切线、功率传输比——它们就不再是死记硬背的公式了。

15.3.4 组装完整的小信号模型

参数都算出来了，现在我们可以把晶体管和二极管扔掉，换上那个由电阻、电流源和跨导组成的双端口小信号网络。

把 DCM Buck-Boost 变换器的开关替换成这个小信号模型后，你就可以用你最熟悉的电路分析课上学过的线性电路分析方法（节点电压法、叠加定理）来解这个电路了。

盯着这个电路，你可能会觉得：这跟 CCM 的模型比起来，好像也没简单多少？而且这里还有两个动态元件：电感 $L$ 和电容 $C$ 。这意味着传递函数应该有两个极点。

但这里有个巨大的陷阱。

这个模型是从 (15.20) 和 (15.21) 推导出来的，而那两个方程基于一个核心近似：电感平均电压为零。我们在 15.1 节说过，这个近似在推导直流和低频大信号模型时没问题，但在谈论高频动态时，它是有问题的。如果我们强行解这个双极点模型，我们会得到两个极点：一个由电容 $C$ 决定（低频），另一个由电感 $L$ 决定。

文献 [71, 74, 126...] 告诉我们，那个由电感 $L$ 引起的极点（以及一个右半平面零点）实际上出现在非常高的频率，甚至可能高于开关频率。这显然是不靠谱的——怎么可能用平均模型去预测开关频率以上的事呢？

所以，我们要清醒地认识到：

这一节推导出来的完整模型（保留 L），它的低频特性是可信的。
它的高频预测（那个 L 引起的极点）是数学上的产物，物理上并不准确。

那么，我们在做环路补偿时，真正关心的通常是低频部分。既然那个高频极点本来就远，而且又不准，不如我们就把它忽略掉。

怎么忽略？直接把电感 $L$ 短路。这就得到了那个更简化的模型。

现在，模型里只剩下一个电容 $C$ 了。这变成了一阶系统。这才是我们在实际工程设计中经常用的 DCM 小信号模型：简单、粗暴，但在低频足够准确。

15.3.5 通用传递函数

利用这个简化的一阶模型，我们可以推导出几个通用变换器的传递函数。

控制到输出传递函数 $G_{v d} (s)$ 令 ${\hat{v}}_{g} = 0$ （输入电压没有扰动）。解这个电路，你会发现这是一个典型的单极点系统：

G_{v d} (s) = \frac{\hat{v}}{\hat{d}} |_{{\hat{v}}_{g} = 0} = \frac{G_{d 0}}{1 + \frac{s}{ω_{p}}}

其中：

直流增益 $G_{d 0}$ ： $j_{2}$ 产生的电流流过 $R$ 和 $r_{2}$ 的并联电阻。 $G_{d 0} = j_{2} (R ∥ r_{2})$ 。
极点频率 $ω_{p}$ ：由输出电阻和输出电容决定。 $ω_{p} = \frac{1}{(R ∥ r_{2}) C}$ 。

输入到输出传递函数 $G_{v g} (s)$ 令 $\hat{d} = 0$ 。这也是个单极点系统：

G_{v g} (s) = \frac{\hat{v}}{{\hat{v}}_{g}} |_{\hat{d} = 0} = \frac{G_{g 0}}{1 + \frac{s}{ω_{p}}}

其中直流增益 $G_{g 0} = g_{2} (R ∥ r_{2})$ 。如果你代入具体的 $g_{2}$ 表达式，你会发现对于 Buck-Boost， $G_{g 0}$ 正好等于稳态转换比 $M$ 。这符合直觉：直流时输入变多少，输出按比例变多少。

表 15.3 把 Buck、Boost 和 Buck-Boost 的这些关键参数都列出来了。你可以看到，DCM 的低频极点通常都比较大（因为等效电阻 $R_{e}$ 比较小，导致 $r_{2}$ 比较小，进而 $(R ∥ r_{2})$ 也比较小，极点频率就上去了）。这也解释了为什么 DCM 变换器通常比 CCM 变换器容易补偿——它的动态响应更快，带宽更宽，相位裕度更容易做出来。

15.3.6 实战演练：DCM Boost 变换器的频率响应

光推公式太空洞了。我们来算一个具体的例子，看看那个模型到底长什么样。

假设有一个 DCM Boost 变换器，参数如下：

负载电阻 $R = 12 Ω$
电感 $L = 5 μ H$
电容 $C = 470 μ F$
开关频率 $f_{s} = 100 k H z$

我们的目标是算出它从控制到输出的传递函数 $G_{v d} (s)$ 。已知工作点如下：

输出电压被稳压在 $V = 36 V$
负载电流 $I = 3 A$
输入电压 $V_{g} = 24 V$

第一步：算出有效电阻 $R_{e}$ 我们在上一节学过，对于 Boost，输出功率 $P$ 等于输入功率 $V_{g} I$ 。或者用功率源算式：

P = I (V - V_{g}) = 3 A \cdot (36 V - 24 V) = 36 W

注意这里用 $V - V_{g}$ 是因为 Boost 的电感两端电压差。有了 $P$ ，直接套公式：

R_{e} = \frac{V_{g}^{2}}{P} = \frac{(24 V)^{2}}{36 W} = 16 Ω

第二步：算出稳态占空比 $D$ 利用 $R_{e}$ 的定义公式反推 $D$ ：

D = \sqrt{\frac{2 L}{R_{e} T_{s}}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 5 μ H}{16 Ω \cdot 10 μ s}} = 0.25

第三步：查表 15.3，计算直流增益和极点 对于 Boost 变换器：

转换比 $M = V / V_{g} = 36 / 24 = 1.5$ 。
直流增益 $G_{d 0}$ ： $G_{d 0} = \frac{2 V}{D} \frac{M - 1}{2 M - 1}$ 代入数值： $G_{d 0} = \frac{2 \cdot 36}{0.25} \cdot \frac{1.5 - 1}{3 - 1} = 288 \cdot \frac{0.5}{2} = 72 V \Rightarrow 37 d B V$ （这里 $2 M - 1 = 2 \cdot 1.5 - 1 = 2$ ）
极点频率 $f_{p}$ ： $f_{p} = \frac{1}{2 π (R ∥ r_{2}) C}$ 需要先算 $r_{2}$ 。对于 Boost，查表可知 $r_{2} = \frac{2 - M}{(M - 1)^{2}} R_{e}$ 。算一下： $r_{2} = \frac{0.5}{0.25} \cdot 16 Ω = 32 Ω$ 。那么 $R ∥ r_{2} = 12 Ω ∥ 32 Ω \approx 8.7 Ω$ 。最后： $f_{p} = \frac{1}{2 π \cdot 8.7 Ω \cdot 470 μ F} \approx 112 H z$

第四步：画出波特图 把上面的结果画成波特图，就是这个样子。

实线：我们刚才算的一阶模型。低频增益 37dB，在 112Hz 处开始以 -20dB/dec 滚降。
虚线：更精确的模型（考虑了电感动态的高频部分）。

你会发现，虚线在大概 6.4kHz（即 $f_{2} / 10$ ）的地方就开始偏离实线了，相位掉了更多。这是因为我们刚才故意忽略掉的那个高频极点（在 64kHz 附近）开始起作用了，甚至还有一个右半平面零点（RHP Zero）在 127kHz 附近虎视眈眈。

但正如我们之前分析的，对于环路设计来说，我们通常关注的穿越频率在几kHz以下。在这个范围内，用我们那个简化的一阶模型（实线）是完全够用的。一旦你把穿越频率设得太高，撞上了那些高频极点，那这 Boost 变换器在 DCM 下也会变得不稳定。

这个例子告诉我们：模型是分频段的。别拿着低频平均模型去硬刚开关频率附近的波形，那是它的死穴。但在它管辖的领地（低频）里，它就是王。

⚠️ 踩坑提醒：别用 DCM 一阶模型报相位裕度。我见过有人拿 $G_{v d}$ 那条干净的单极点曲线直接算相位裕度，得出「 $80^{\circ}$ ，稳得一批」的结论，然后把带宽推到 $f_{s} / 5$ 。结果一上电就啸叫。原因正是上面这段——一阶模型在 $f_{2}$ （约 $f_{s} / 3$ ）以上就开始撒谎，那里藏着被你忽略的高频极点和 RHP 零点，相位掉得比模型预测陡得多。经验法则：DCM 的环路穿越频率，老老实实压在 $f_{s} / 10$ 以内，给那个高频极点留够缓冲。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

15.3 DCM 开关网络的小信号交流建模 ​

15.3.1 从大信号到小信号：线性化手术 ​

15.3.2 输入端口的剖析：r1,j1,g1 ​

15.3.3 输出端口的剖析：r2,j2,g2 ​

15.3.4 组装完整的小信号模型 ​

15.3.5 通用传递函数 ​