图解法构建变换器传递函数

8.4 图解法构建变换器传递函数

上一节我们拿分压器和简单的 RLC 电路练了手，验证了这种「在图上做算术」的方法。这不仅仅是用来画图的——它能让你直观地看到电路参数是如何移动波特图上的转折点和增益的。

现在，是时候把这套方法用到真正的变换器上了。

我们以 Buck 变换器为例。它的交流小信号模型我们在第 7 章已经推导过了——一台理想变压器后面接 LC 输出滤波器，再并个负载。这一节的任务就是用图解法，把它的核心动态特性——输出阻抗、输入阻抗、控制到输出传递函数、以及线到输出传递函数——全部「画」出来。

8.4.1 输出阻抗 $Z_{o u t} (s)$ ：谁在主导输出端？

首先看输出阻抗。我们要找的是从输出端看进去的等效阻抗。

根据定义，求输出阻抗时要把独立的激励源熄掉——也就是把 $\hat{d} (s)$ 和 ${\hat{v}}_{g} (s)$ 都置为 0。这样一来，模型左边的那些激励源就都没了，剩下的电路就是一个并联 R-L-C 网络。

这张图眼熟吗？这不就是我们在 8.3.3 节那个并联 R-L-C 电路吗？

既然模型一样，行为就一样。我们可以直接复用之前的结论，把这些阻抗画在波特图上。

低频段：电感 $L$ 是主导（短路），阻抗幅值随频率增加而上升（斜率 +20）。
高频段：电容 $C$ 是主导（开路），阻抗幅值随频率增加而下降（斜率 -20）。
中间的谐振点：在频率 $f_{0}$ 处，电感的感抗和电容的容抗大小相等（符号相反），发生了 LC 谐振。这个频率是：
$f_{0} = \frac{1}{2 π \sqrt{L C}} (8.180)$
在这个点子上，电感和电容的阻抗互相抵消，电路里只剩下了负载电阻 $R$ 。所以，输出阻抗在谐振点的精确值就是 $R$ 。
品质因数 $Q$ ：还记得 $Q$ 的定义吗？它代表了谐振时的「尖锐程度」。在这里：
$Q = \frac{R}{R_{0}} (8.181)$
其中的特征阻抗 $R_{0}$ 为：
$R_{0} = ω_{0} L = \frac{1}{ω_{0} C} = \sqrt{\frac{L}{C}} (8.182)$
这意味着什么？ 这意味着负载电阻 $R$ 越大， $Q$ 值就越高，电路就越欠阻尼。想象一下轻载的情况—— $R$ 很大，几乎没有能量消耗，能量就会在 L 和 C 之间来回折腾很久。这在波特图上表现为一个极高的尖峰。

8.4.2 输入阻抗 $Z_{i n} (s)$ ：从源头看进去

接下来看输入阻抗，即从输入电源端看进去的等效阻抗。

同样的，把激励源 $\hat{d} (s)$ 和 ${\hat{v}}_{g} (s)$ 置零。由于有一个 $1 : D$ 的理想变压器在，阻抗需要折算到变压器原边。

公式如下：

Z_{i n} (s) = \frac{1}{D^{2}} (Z_{1} (s) + Z_{2} (s)) (8.183)

其中：

Z_{1} (s) = s L (8.184)

Z_{2} (s) = R ∥ \frac{1}{s C} (8.185)

这里的逻辑是：输入端看过去，先是电感 $L$ （即 $Z_{1}$ ），然后是并联的 $R C$ 网络（即 $Z_{2}$ ），两者串联，最后乘以变比的平方分之一。

好，现在开始画图。为了方便理解，我们假设 $R > R_{0}$ （这在实际电路中很常见，意味着谐振是比较明显的）。

第一步：画出各个组件的阻抗 在图上画出电感 $L$ （+20 斜率）、电阻 $R$ （水平线）、电容 $1 / ω C$ （-20 斜率）。

第二步：构建 $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 的合成阻抗

$∥ Z_{1} ∥$ ：很简单，就是电感本身。
$∥ Z_{2} ∥$ ：这是 $R$ 和 $C$ 的并联。
- 低频时，电容阻抗很大，开路，所以 $∥ Z_{2} ∥$ 被电阻 $R$ 也就是水平线主导。
- 高频时，电容阻抗很小，短路， $∥ Z_{2} ∥$ 被电容主导（-20 斜率）。
- 它们的交点在频率 $f_{1}$ 处： $f_{1} = \frac{1}{2 π R C} (8.186)$ 这是 RC 网络的极点频率。

第三步：把 $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 加起来 公式 (8.183) 里有 $Z_{1} + Z_{2}$ 。既然是串联，我们就用「取大法」：在波特图上，哪个阻抗大，哪个就起主导作用。

你会发现 $∥ Z_{1} ∥$ （电感）和 $∥ Z_{2} ∥$ （电阻部分）在频率 $f_{0}$ 处相交（其实就是 $R_{0}$ 和 $R$ 的交点附近，更准确地说是电感线和电阻线的交点）。
当 $f < f_{0}$ 时，电感阻抗 $∥ Z_{1} ∥$ 很小，而 $∥ Z_{2} ∥$ 是电阻 $R$ （很大）。所以总阻抗主要由 $∥ Z_{2} ∥$ 决定，也就是近似等于 $R$ 。
当 $f > f_{0}$ 时，电感阻抗 $∥ Z_{1} ∥$ 上升并超过了 $∥ Z_{2} ∥$ ，此时总阻抗由 $∥ Z_{1} ∥$ （电感）决定，开始以 +20 斜率上升。

这里有一个微妙的点：为什么交点在 $f_{0}$ ？因为 $f_{0}$ 是 LC 谐振频率。在这个频率下，电感 $L$ 的阻抗是 $R_{0}$ ，而电容 $C$ 的阻抗也是 $R_{0}$ 。既然我们假设 $R > R_{0}$ ，那么在 $f_{0}$ 处，并联的 $R$ 和 $C$ （即 $Z_{2}$ ）的阻抗主要由 $R$ 决定（因为 $R$ 比 $1 / ω C$ 大得多）。此时串联的 $Z_{1}$ （值为 $R_{0}$ ）和 $Z_{2}$ （值约等于 $R$ ）相加，主要还是由 $Z_{2}$ 决定。但随着频率升高， $Z_{1}$ 会迅速变大并接管。

第四步：折算到原边 我们在图上画出了 $(Z_{1} + Z_{2})$ 。现在要把它除以 $D^{2}$ 。在波特图上，除以 $D^{2}$ 就意味着把整条曲线向下平移 $20 \log_{10} (D)$ 。这就得到了最终的 $Z_{i n}$ 。

关于 $Z_{i n}$ 谐振点的 $Q$ 值 你会发现，输入阻抗在 $f_{0}$ 处也有一个零点（阻抗最低点）。为什么会这样？因为在 $f_{0}$ 处， $L$ 和 $C$ 发生串联谐振（注意这里是从输入端看进去的 $L$ 和 $C$ 串联效果，尽管中间隔着 $R$ ），阻抗跌到最低。

这个零点的 $Q$ 值是多少？我们可以用公式推导一下（不用死记，理解逻辑）：

Z_{o u t} (s) = Z_{1} ∥ Z_{2} = \frac{Z_{1} Z_{2}}{Z_{1} + Z_{2}}

如果用 $Z_{i n}$ 来表示，把 $Z_{1} + Z_{2}$ 替换掉：

Z_{o u t} = \frac{Z_{1} Z_{2}}{D^{2} Z_{i n}}

反解出 $Z_{i n}$ ：

Z_{i n} = \frac{1}{D^{2}} \frac{Z_{1} Z_{2}}{Z_{o u t}} (8.188)

现在看分母里 $Z_{o u t}$ 的行为。在谐振频率 $f_{0}$ 处：

$∥ Z_{1} ∥ = R_{0}$
$∥ Z_{2} ∥ \approx R$ （因为 $R ≫ R_{0}$ ）
$∥ Z_{o u t} ∥ = R$ （这是上一节结论）

代入 (8.188)：

∥ Z_{i n} ∥ \approx \frac{1}{D^{2}} \frac{R_{0} \cdot R}{R} = \frac{R_{0}}{D^{2}}

这是输入阻抗在 $f_{0}$ 处的渐近线值。那么它的实际峰值是多少呢？回忆一下，输出阻抗 $Z_{o u t}$ 的峰值是 $R$ ，而它的渐近线是 $R_{0}$ 。所以 $Z_{o u t}$ 的 $Q$ 值是 $R / R_{0}$ 。在 (8.188) 这个公式里， $Z_{i n}$ 处于分母位置。分子 $Z_{1} Z_{2}$ 是平滑的（或者说是由两个平滑的渐近线交叉），并没有谐振尖峰。唯一的不确定性来自分母 $Z_{o u t}$ 的凹陷。当 $Z_{o u t}$ 下降到 $R_{0}$ （渐近线值）时， $Z_{i n}$ 达到最大。当 $Z_{o u t}$ 下降到 $R$ （实际极小值）时， $Z_{i n}$ 被迫抬高，形成尖峰。所以，输入阻抗的零点 $Q$ 值（即尖峰的 $Q$ 值）和输出阻抗的极点 $Q$ 值是一样的：

Q_{Z i n} = \frac{R}{R_{0}}

最终的输入阻抗曲线上清楚地体现了这个尖峰——它偏离渐近线的程度，正好就是 $Q$ 倍。

8.4.3 控制到输出传递函数 $G_{v d} (s)$ ：我们的核心目标

这个是反馈设计里最关键的量。我们要看的是：占空比微扰 $\hat{d} (s)$ 是如何通过电路变成输出电压微扰 $\hat{v} (s)$ 的。

把输入源 ${\hat{v}}_{g} (s)$ 置零，剩下的电路就是那个熟悉的分压器结构。你会发现，这就是 8.3.5 节讲过的那个分压器电路。输入电压源是 $V_{g} \hat{d} (s)$ ，输出电压 $\hat{v} (s)$ 从 $Z_{o u t}$ （即并联的 $R, L, C$ ）上取出来。

公式直接写出来：

G_{v d} (s) = V_{g} \frac{Z_{o u t} (s)}{Z_{1} (s) + Z_{o u t} (s)} \approx V_{g} \frac{Z_{o u t} (s)}{Z_{1} (s)} (8.190)

（注意：在通常情况下 $Z_{1} ≫ Z_{o u t}$ 不一定成立，但在分压推导中我们常把分子分母的并联阻抗组合写成这种形式，或者更准确地说是 $V_{g} \frac{Z_{R C}}{Z_{L} + Z_{R C}}$ 。这里书中写法其实是对应 $Z_{o u t} = Z_{R C}$ ，分母是 $Z_{1}$ 即电感。让我们按书中的图解逻辑来。）

按照书中的逻辑，这里的阻抗比其实就是在考察 $Z_{o u t}$ 和 $Z_{1}$ 的相对大小。我们分别画出 $∥ Z_{1} ∥$ (电感) 和 $∥ Z_{o u t} ∥$ (R-L-C 并联)。

低频段 ( $f < f_{0}$ )： $∥ Z_{1} ∥$ 是电感（+20）， $∥ Z_{o u t} ∥$ 的低频段也是由电感主导（+20）。既然两条线平行且斜率相同，那么它们的比值就是常数。 $∥ Z_{o u t} ∥ / ∥ Z_{1} ∥ \approx 1$ 。所以低频增益是：
$∥ G_{v d} ∥_{L F} \approx V_{g} \cdot 1 = V_{g} (8.190 的低频结论)$
（更严谨地说，低频时感抗远小于电阻 $R$ ，电感起短路作用，输入电压直接加在负载上，所以增益就是 $V_{g}$ 。这里 $V_{g}$ 其实是直流分量，但在交流小信号模型里表现为受控源的系数）。
高频段 ( $f > f_{0}$ )： $∥ Z_{1} ∥$ 还是电感（+20）。 $∥ Z_{o u t} ∥$ 变成了电容（-20）。一个在涨，一个在跌，比值 $(- 20) - (+ 20) = - 40$ 。所以高频段是一条斜率为 -40 dB/decade 的直线。这对应了 LC 滤波器在谐振点之后的双重衰减。
谐振点 ( $f = f_{0}$ )：这里有个反直觉的点。虽然比值是 $Z_{o u t} / Z_{1}$ ，但因为 $Z_{o u t}$ 在 $f_{0}$ 处被负载电阻 $R$ 钳位（没有无穷大），而 $Z_{1}$ 在 $f_{0}$ 处是 $R_{0}$ 。所以传递函数在 $f_{0}$ 处的幅值是由 $R / R_{0}$ 决定的，也就是受到了 $Q$ 值的调制。如果 $Q$ 很高，这个谐振点附近的曲线会有个明显的峰值。

把 $G_{v d}$ 画出来就是：低频平坦，中频有个坑（或者说峰值取决于 Q），高频陡峭下降。

8.4.4 线到输出传递函数 $G_{v g} (s)$ ：电源抑制比

最后一个量，看输入电压扰动 ${\hat{v}}_{g} (s)$ 对输出的影响。把 $\hat{d} (s)$ 置零，电路结构和 $G_{v d}$ 几乎一样。

这个电路结构和 $G_{v d}$ 几乎一样，唯一的区别是输入源变成了 ${\hat{v}}_{g} (s)$ ，并且它在变压器的原边。通过 $1 : D$ 的变压器折射过来，输入电压变成了 $D \cdot {\hat{v}}_{g} (s)$ 。

所以传递函数是：

G_{v g} (s) = D \frac{Z_{o u t} (s)}{Z_{1} (s)} (8.191)

对比一下 $G_{v d}$ 的公式 (8.190)，你会发现两者形状完全一样，只是幅度差了一个系数 $D$ 。

$G_{v d}$ 的低频增益是 $V_{g}$ 。
$G_{v g}$ 的低频增益是 $D$ （约等于 0 到 1 之间的数）。

这意味着什么呢？意味着如果你输入电压跳变 1V，输出电压会跳变 $D$ 伏（在低频段）。这是由 Buck 变换器 $V_{o u t} = D V_{i n}$ 的物理特性决定的。

$G_{v g}$ 的波特图也是如此：除了纵坐标的绝对值不一样，极点、零点、谐振频率的位置全都和 $G_{v d}$ 一模一样。

这一节的小结

我们这一节没做复杂的代数推导，我们只是在图上连线。

我们看出了输出阻抗 $Z_{o u t}$ 就是并联 RLC 的阻抗。
我们看出了输入阻抗 $Z_{i n}$ 是串联阻抗折算到原边后的结果。
我们看出了 $G_{v d}$ 和 $G_{v g}$ 其实就是一个分压比，而分压比的高频滚降斜率是 -40，这完全归功于那个 LC 谐振。

这种图形化的理解有什么用？当你发现你的电源在某个频点对负载电流突变非常敏感（输出阻抗大）时，你不再是茫然地去改参数，而是看着波特图想：我要把这个尖峰压下去，是得减小 $L$ 来移走 $f_{0}$ ，还是得减小 $R$ （或者增加等效负载）来降低 $Q$ ？这就叫设计导向分析。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

8.4 图解法构建变换器传递函数 ​

8.4.1 输出阻抗 Zout(s)：谁在主导输出端？ ​

8.4.2 输入阻抗 Zin(s)：从源头看进去 ​

8.4.3 控制到输出传递函数 Gvd(s)：我们的核心目标 ​