转换比 M(D, K) 的解析 | 硬件学习笔记

5.2 转换比 $M (D, K)$ 的解析

既然我们已经接受了「电感电流会断流」这个事实，是时候把数学工具拿出来了。你可能会担心：「DCM 这么复杂，之前的公式是不是全废了？」

并没有。

第二章里我们建立的那些稳态分析的黄金法则——伏秒平衡、电荷平衡——依然是坚固的基石，只是我们在用的时候，需要针对 DCM 的特性做一点微调。

5.2.1 依然有效的黄金法则

无论电路是在 CCM 还是 DCM，亦或是某种我们还没发明的怪异模式下，只要它处于稳态，以下两条物理铁律就永远成立。

铁律一：电感伏秒平衡 电感两端电压在一个周期内的平均值（直流分量）必须为零。

⟨ v_{L} ⟩ = \frac{1}{T_{s}} \int_{0}^{T_{s}} v_{L} (t) d t = 0 (5.9)

铁律二：电容电荷平衡 流入电容的电流在一个周期内的平均值（直流分量）必须为零。

⟨ i_{C} ⟩ = \frac{1}{T_{s}} \int_{0}^{T_{s}} i_{C} (t) d t = 0 (5.10)

这两条是不容置疑的公理。真正需要小心的，是我们在第二章经常用的那个「偷懒大法」——线性纹波近似。

5.2.2 小心使用线性纹波近似

在 DCM 下，我们不能像处理 CCM 那样对所有的纹波都「视而不见」了。这里有一个关键的区分：

输出电容电压纹波：依然可以忽略。对于一个设计合格的变换器，无论它在什么模式下工作，输出电压的纹波 $Δ v$ 必须远小于直流分量 $V$ 。所以，我们依然可以说：
$v (t) \approx V (5.11)$
这条没变。
电感电流纹波：绝对不能忽略。这是 DCM 的本质特征！DCM 的定义就是纹波大得把电流都切断归零了。回想式 (5.3)，纹波 $Δ i_{L}$ 比直流分量 $I$ 还要大。如果你在这里还想用「电感电流约等于其直流平均值 $I$ 」这种简化，你会得到完全错误的结论。

所以，我们在接下来的推导中会贯彻这样一个策略：电压纹波当它不存在，但电流纹波必须老老实实算进去。

5.2.3 解析 Buck 变换器的转换比

让我们用这种「严谨对待电流、宽松对待电压」的策略，来解一下 Buck 变换器在 DCM 下的转换比 $M = V / V_{g}$ 。我们的目标是找到 $V$ 和输入 $V_{g}$ 、占空比 $D$ 以及负载 $R$ 之间的关系。

整个开关周期被切成了三段（还记得那个断流区间吗？）。我们一段一段来看。

第一阶段：开关导通 ( $0 < t < D_{1} T_{s}$ )

在这个阶段，晶体管导通，二极管截止。电路退化成这样：电感左边接 $V_{g}$ ，右边接 $V$ 。

v_{L} (t) = V_{g} - v (t)

i_{C} (t) = i_{L} (t) - \frac{v (t)}{R}

既然允许我们忽略 $v (t)$ 的纹波，直接把 $v (t)$ 换成 $V$ ：

v_{L} (t) \approx V_{g} - V (5.13)

i_{C} (t) \approx i_{L} (t) - \frac{V}{R}

注意，这里保留了 $i_{L} (t)$ ，因为它在剧烈波动。

第二阶段：二极管导通 ( $D_{1} T_{s} < t < (D_{1} + D_{2}) T_{s}$ )

晶体管关断，电感续流迫使二极管导通。电路变成了另一种接法：电感左边接地（忽略二极管压降）。

v_{L} (t) = - v (t)

i_{C} (t) = i_{L} (t) - \frac{v (t)}{R}

同样忽略输出电压纹波：

v_{L} (t) \approx - V (5.15)

i_{C} (t) \approx i_{L} (t) - \frac{V}{R}

第三阶段：死区时间 ($ (D_1 + D_2) T_s < t < T_s $)

这时候，电感能量耗尽，电流归零，二极管也撑不住了，反向截止。晶体管和二极管全部关断。电感彻底和电路断开了连接（只留一点点寄生震荡我们在下个小节提）。

既然 $i_{L} = 0$ ，根据 $v_{L} = L d i_{L} / d t$ ，电感电压也必须是零。

v_{L} = 0, i_{L} = 0 (5.16)

至于电容电流，因为没有电感电流供给它，它独自承担着负载电阻的泄放电流：

i_{C} (t) = 0 - \frac{v (t)}{R} \approx - \frac{V}{R} (5.17)

伏秒平衡：第一把钥匙

现在我们有了三个阶段的电感电压波形（矩形波）：第一段高 $V_{g} - V$ ，第二段低 $- V$ ，第三段趴在零上。

根据伏秒平衡原理，这块面积的总和（平均值）必须为零：

⟨ v_{L} (t) ⟩ = D_{1} (V_{g} - V) + D_{2} (- V) + D_{3} (0) = 0 (5.18)

整理一下，解出 $V$ ：

D_{1} V_{g} - D_{1} V - D_{2} V = 0 ⟹ V (D_{1} + D_{2}) = V_{g} D_{1}

V = V_{g} \frac{D_{1}}{D_{1} + D_{2}} (5.19)

看起来很简单？别高兴得太早。这里 $D_{1}$ 就是我们控制的开关占空比 $D$ ，是已知的。但那个 $D_{2}$ ——二极管导通的时间比例——完全是由电路物理特性决定的未知数。 只要不知道 $D_{2}$ ，这个式子就是个半成品。

我们需要第二把钥匙。

电荷平衡：第二把钥匙

为了找到 $D_{2}$ ，我们把目光转向电容。根据电容电荷平衡，流入电容的平均电流 $⟨ i_{C} ⟩$ 必须为零。

⟨ i_{C} ⟩ = 0 (5.21)

这意味着什么？盯着开关节点看，基尔霍夫定律告诉我们：

i_{L} (t) = i_{C} (t) + \frac{v (t)}{R} (5.20)

取平均值，因为 $⟨ i_{C} ⟩ = 0$ ，我们得到一个极其重要的结论：

⟨ i_{L} ⟩ = \frac{V}{R} (5.22)

这句话的直觉意义是：电感平均电流必须完全负责给负载供电。 在 CCM 里这是显而易见的，但在 DCM 里，因为波形形状古怪，计算 $⟨ i_{L} ⟩$ 需要一点技巧。

5.2.4 三角形面积法

因为 DCM 下电感电流纹波巨大，我们不能再用 $I \approx V / R$ 这种近似了，我们必须精确计算这个锯齿波的平均值。

电流波形从零开始，在第一阶段斜向上冲，在第二阶段斜向下泄，在第三阶段趴在零上。这是一个典型的三角形（或者严格说，是一个底边断开的三角形）。

首先，我们需要知道它的峰值 $i_{p k}$ 。在第一阶段，电流以 $(V_{g} - V) / L$ 的斜率上升，持续了 $D_{1} T_{s}$ 时间：

i_{p k} = \frac{V_{g} - V}{L} D_{1} T_{s} (5.23)

接下来求平均值。根据三角形面积公式（高 $\times$ 底 / 2）：

\int_{0}^{T_{s}} i_{L} (t) d t = \frac{1}{2} i_{p k} (D_{1} + D_{2}) T_{s} (5.25)

注意底边长度是 $(D_{1} + D_{2}) T_{s}$ ，因为第三阶段电流是 0，不加面积也不加宽度。

于是，平均电流 $⟨ i_{L} ⟩$ 就是：

⟨ i_{L} ⟩ = \frac{1}{T_{s}} \times Area = \frac{1}{2} i_{p k} (D_{1} + D_{2})

把式 (5.23) 代进去：

⟨ i_{L} ⟩ = \frac{V_{g} - V}{2 L} D_{1} T_{s} (D_{1} + D_{2}) (5.26)

5.2.5 见证奇迹的时刻

现在我们手上有两个方程了。

电压方程 (5.19)： $V = V_{g} \frac{D_{1}}{D_{1} + D_{2}}$
电流方程 (5.22 & 5.26)： $\frac{V}{R} = \frac{V_{g} - V}{2 L} D_{1} T_{s} (D_{1} + D_{2})$

这里面有两个未知数： $V$ 和 $D_{2}$ 。是时候做代数运算了。先把 $V / R$ 移到右边，把 $V_{g} - V$ 也处理一下。

经过一番推导（把 $D_{1}$ 换成 $D$ ，消去 $D_{2}$ ），我们终于得到了传说中的 DCM 转换比公式：

\frac{V}{V_{g}} = \frac{2}{1 + \sqrt{1 + \frac{4 K}{D^{2}}}} 或写作 M (D, K) = \frac{2}{1 + \sqrt{1 + \frac{4 K}{D^{2}}}} (5.28)

其中 $K = \frac{2 L}{R T_{s}}$ （这是我们上一节定义的无量纲参数）。这个公式仅当 $K < K_{c r i t}$ 时成立（也就是工作在 DCM 时）。

你看， $M$ 不再仅仅是 $D$ 的函数，它还死死地依赖于 $K$ （也就是负载电阻 $R$ 和电感 $L$ ）。这就是 DCM 最让人头疼的地方——负载一变，电压就跟着变。

直觉补一句：为什么 DCM 会让 $M$ 沾上 $R$ 的影子？追到根上就一句话——DCM 下多出来的那个死区时间，是被负载「催」出来的。负载越轻， $R$ 越大，电感把那点能量放得越快，死区越宽， $D_{2}$ 就越小，而 $D_{2}$ 恰恰是分母里的关键项。所以 $R$ 不是「碰巧」进了公式，而是它亲手切走了开关周期里的一段。记住这条因果链，那串根号公式就不用死背了。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

5.2 转换比 M(D,K) 的解析 ​

5.2.1 依然有效的黄金法则 ​

5.2.2 小心使用线性纹波近似 ​

5.2.3 解析 Buck 变换器的转换比 ​

第一阶段：开关导通 (0<t<D1Ts) ​

第二阶段：二极管导通 (D1Ts<t<(D1+D2)Ts) ​

第三阶段：死区时间 ($ (D_1 + D_2) T_s < t < T_s $) ​

伏秒平衡：第一把钥匙 ​

电荷平衡：第二把钥匙 ​

5.2.4 三角形面积法 ​

5.2.5 见证奇迹的时刻 ​