近似理想整流器的实现 | 硬件学习笔记

21.2 近似理想整流器的实现

上一节我们聊到了“无损电阻”（LFR）这个理想模型。这东西在纸上画起来很美，输入电压和电流完全同步，功率无损地流向输出端。但现在有个问题摆在我们面前：怎么用真实的电路元件把这个模型“立”起来？

我们手头有什么？二极管、电感、电容、开关管。我们缺什么？缺一个能“听话”的电阻。

21.2.1 让变换器听话：DC 变压器模型的引入

回想一下第 3 章，任何 DC-DC 变换器在理想状态下都可以看作是一个变比可控的 DC 变压器。这个直觉非常关键：如果我们能把输入端变成一个电阻，且这个电阻的大小受控于输出端的电压，那我们不就造出了 LFR 吗？

这就是我们要构建的系统的核心逻辑。

这套系统的结构其实很朴素：

前端：一个全桥整流器，把交流电 $v_{a c} (t)$ 变成馒头波 $v_{g} (t)$ 。
后端：一个 DC-DC 变换器（在这个模型里先把它画成一个理想的 DC 变压器）。
中间的大脑：一个控制器，它盯着输入电压 $v_{g} (t)$ 和输入电流 $i_{g} (t)$ ，拼命调节占空比 $d (t)$ ，强迫电流 $i_{g} (t)$ 去跟随电压 $v_{g} (t)$ 的波形。

这本质上是在伪造一个电阻。

为什么是 PWM 变换器？ 因为我们要利用它的高频开关特性。开关频率 $f_{s}$ 远高于电网频率（比如 100kHz vs 50/60Hz），这样我们才能在一个电网周期的微观尺度上，对瞬时功率进行精细控制。

波形推导：数学上的“完美”

让我们把物理电路抽象成数学关系，看看这个“伪造”过程到底长什么样。

假设交流输入电压是完美的正弦波：

v_{a c} (t) = V_{M} \sin (ω t) (21.10)

经过全桥整流后，输入到 DC-DC 变换器的电压 $v_{g} (t)$ 变成了“馒头波”：

v_{g} (t) = V_{M} | \sin (ω t) | (21.11)

我们的目标是输出恒定直流电压 $v (t) = V$ 。为了让输出电压在 $v_{g} (t)$ 变化时依然保持为 $V$ ，DC 变换器的瞬时变比 $M (d (t))$ 必须随着 $v_{g} (t)$ 的变化而反向调整。

理想变换器的变比定义是 $M = v_{o u t} / v_{i n}$ 。在这里，也就是：

M (d (t)) = \frac{v (t)}{v_{g} (t)} = \frac{V}{V_{M} | \sin (ω t) |} (21.12)

仔细看这个公式，你会发现一个很有意思的现象：

当 $v_{g} (t)$ 过零时（ $\sin (ω t) \to 0$ ），分母趋近于零，变比 $M (d (t))$ 趋向于无穷大。这意味着控制器必须在输入电压过零点附近疯狂工作，把占空比推向极限。

而当 $v_{g} (t)$ 达到峰值 $V_{M}$ 时，变比最小。我们把这个最小变比记为 $M_{m i n}$ ：

M_{m i n} = \frac{V}{V_{M}} (21.13)

这意味着： 如果你想输出一个比输入峰值电压 $V_{M}$ 还要高的直流电压 $V$ ，你的变换器必须能够提供至少 $V / V_{M}$ 的变比。这是选型的硬指标。

功率平衡：输出端的真相

既然是无损电阻模型，根据能量守恒，瞬时输入功率 $p_{i n} (t)$ 必须等于瞬时输出功率 $p_{o u t} (t)$ （忽略中间储能元件的吞吐）。

p_{i n} (t) = v_{g} (t) i_{g} (t) = p (t)

p_{o u t} (t) = v (t) i (t) = V i (t)

所以，输出电流 $i (t)$ 是：

i (t) = \frac{v_{g} (t) i_{g} (t)}{V} (21.14)

把我们的目标——输入电流 $i_{g} (t) = v_{g} (t) / R_{e}$ （模拟电阻特性）——代入进去：

i (t) = \frac{v_{g} (t)}{V} \cdot \frac{v_{g} (t)}{R_{e}} = \frac{v_{g}^{2} (t)}{V R_{e}}

再代入 $v_{g} (t)$ 的表达式（21.11）：

i (t) = \frac{V_{M}^{2} \sin^{2} (ω t)}{V R_{e}}

利用三角恒等式 $\sin^{2} (θ) = \frac{1}{2} (1 - \cos (2 θ))$ ，我们得到：

i (t) = \frac{V_{M}^{2}}{2 V R_{e}} (1 - \cos (2 ω t)) (21.15)

注意看这个式子！ 它揭示了单相整流器的一个核心痛点：输出电流 $i (t)$ 包含两部分：

直流分量 $\frac{V_{M}^{2}}{2 V R_{e}}$ ：这是我们真正想要的能量。
二次谐波分量 $\cos (2 ω t)$ ：频率是电网频率的两倍（比如 100Hz 或 120Hz）。

这说明什么？说明单相整流器的输出功率是脉动的。当你从电网吸正弦波功率时，你吐出来的功率必然是忽大忽小的。

上面推导里那个并联在输出端的电容 $C$ 是干嘛的？就是把这股带纹波的电流平滑成纯直流，供给后面的负载电阻 $R$ 。流过负载的电流就是那个直流分量：

I = ⟨ i (t) ⟩_{T_{L}} = \frac{V_{M}^{2}}{2 V R_{e}} (21.16)

平均功率也就很容易算了：

P = V I = \frac{V_{M}^{2}}{2 R_{e}} (21.17)

这几条公式（21.15 到 21.17）是通用的，适用于任何试图做低谐波整流的 PWM 变换器。

21.2.2 Boost 变换器的实现与临界条件

现在我们把这个抽象模型落地到具体电路上。

最经典的方案是用 Boost 升压变换器。

为什么是 Boost？

够高：Boost 的变比 $M (d) = 1 / (1 - d)$ 理论上可以从 1 到无穷大，完全覆盖式（21.12）的需求。
够纯：它的输入电流就是电感电流，只要我们控制好电感电流，输入电流自然就是连续的，不需要额外加巨大的 EMI 滤波器。

CCM 模式下的占空比调制

假设 Boost 工作在连续导通模式（CCM），且电感足够小，不会对低频分量产生相移。这时，占空比 $d (t)$ 和变比 $M (d (t))$ 的关系是固定的：

M (d (t)) = \frac{1}{1 - d (t)}

结合刚才推导的目标变比（21.12），我们可以解出控制器必须发出的占空比指令 $d (t)$ ：

\frac{1}{1 - d (t)} = \frac{V}{v_{g} (t)} ⟹ d (t) = 1 - \frac{v_{g} (t)}{V} (21.18)

这个公式只有 CCM 成立。它告诉我们：当输入电压 $v_{g} (t)$ 低的时候，占空比 $d$ 必须很大；当输入电压高的时候， $d$ 变小。

CCM 与 DCM 的边界：电感的选型

但是，电感 $L$ 选多大决定了我们能不能一直留在 CCM。如果 $L$ 太小，电流纹波 $Δ i_{g} (t)$ 就会太大，甚至在电流平均值降到 0 之前，电流就断续了——这就掉进了 DCM（断续导通模式）。

我们需要检查条件。Boost 变换器的电感电流纹波是：

Δ i_{g} (t) = \frac{v_{g} (t) d (t) T_{s}}{2 L} (21.19)

而我们需要跟随的平均电流是（根据 $R_{e}$ 定义）：

⟨ i_{g} (t) ⟩_{T_{s}} = \frac{v_{g} (t)}{R_{e}} (21.20)

为了保持在 CCM，平均电流必须大于纹波的一半（或者说纹波峰值不能触及零轴）：

⟨ i_{g} (t) ⟩_{T_{s}} > Δ i_{g} (t)

代入推导，化简后得到一个关于占空比的不等式：

d (t) < \frac{2 L}{R_{e} T_{s}} (21.21)

这里有个棘手的地方： $v_{g} (t)$ 是在变的，所以 $d (t)$ 也在变。如果我们想要在整个电网周期内都保持 CCM，我们必须满足最坏情况（即 $d (t)$ 最大的情况）。

根据式（21.18）， $d (t)$ 最大的时候对应 $v_{g} (t)$ 最小（接近 0）。但是 $v_{g} (t)$ 接近 0 时，式（21.18）右边是 1，意味着 $d \to 1$ 。这似乎无法满足（21.21）。

等等，让我们回到物理意义。当 $v_{g} (t)$ 极小时，即便 $d$ 很大，输出电压 $V$ 是通过电感储能“泵”过去的。其实，Boost 变换器在 $v_{g} (t)$ 接近零时，即便占空比很大，只要 $R_{e}$ 足够大（即负载功率足够小），平均电流也很小，还是可能维持 CCM。

但为了简化设计，我们通常看 $v_{g} (t)$ 的峰值 $V_{M}$ 。因为 $R_{e}$ 也是我们定的，我们可以推导出 $R_{e}$ 和 $L$ 的关系。

把（21.18）代入（21.21），解出 $R_{e}$ ：

R_{e} < \frac{2 L}{T_{s} (1 - v_{g} (t) / V)} for CCM (21.22)

这个式子右边的分母是 $(1 - v_{g} / V)$ 。当 $v_{g}$ 最大（等于 $V_{M}$ ）时，分母最小 $(1 - V_{M} / V)$ ，此时右边最苛刻。如果在这个点都能满足，那么在 $v_{g}$ 更小的时候（分母更大），条件更容易满足吗？不对， $d$ 在变大。

让我们换一种更直观的判断方式。我们关心的是全周期 CCM。文献中通常给出的临界条件是：

R_{e} < \frac{2 L}{T_{s}} (21.23)

这意味着，只要你的模拟电阻 $R_{e}$ 足够小（也就是负载功率足够大，或者电感 $L$ 足够大），变换器就会在全周期内进入 CCM。反之，如果：

R_{e} > \frac{2 L}{T_{s}} \frac{1}{1 - V_{M} / V} (21.24)

或者说 $L$ 很小，那么变换器就会在输入电压较低的时候进入 DCM。

在实际设计中，我们需要画出那张著名的输入特性图：横坐标是输入电压，纵坐标是输入电流，工作点就在这张平面上滑动。

输入特性曲线深度解析

这张特性曲线是把 $i_{g} (t)$ 画成 $v_{g} (t)$ 的函数，横坐标是归一化电压 $m_{g} (t) = v_{g} (t) / V$ 。 我们的目标是让变换器像电阻一样，也就是 $i_{g} = v_{g} / R_{e}$ ，这是一条过原点的直线（理想电阻线）。

CCM 区（直线）：在 CCM 下，Boost 输入特性只取决于占空比（式 21.25）：
$\frac{v_{g} (t)}{V} = 1 - d (t) (in CCM)$
这与电流无关。所以 CCM 区域表现为垂直的直线。不同的占空比对应不同的 $v_{g}$ 值。
DCM 区（曲线）：当电流变小（或者 $R_{e}$ 变大，即负载变轻），我们会滑入 DCM。此时的输入特性不再是直线，而是弯曲的（式 21.32）。推导一下：利用第 15 章的 DCM 等效模型，那个功率源 $p (t)$ 会引入非线性。最终推导出的方程是：
$j_{g} (t) (1 - m_{g} (t)) = d^{2} m_{g} (t) (in DCM)$
其中 $j_{g}$ 是归一化电流。这就是特性曲线左下方那些弯曲的线。
临界抛物线： CCM 和 DCM 的分界线是一条抛物线（式 21.34）：
$j_{g} (t) = m_{g} (t) (1 - m_{g} (t))$
这条线把平面分成了两部分。

这张图告诉我们怎么设计控制器： 控制器看到 $v_{g} (t)$ 后，计算出需要的 $d (t)$ ，让工作点沿着那条理想的"电阻直线"移动。你会发现，当 $v_{g}$ 很小时（原点附近），为了维持直线，我们很容易进入 DCM 区域（弯曲部分），这就意味着波形开始失真了。

⚠️ 踩坑提醒：这条「电阻直线」不是画出来就稳的。负载一变轻、 $R_{e}$ 一变大，工作点就往左下方那条弯曲的 DCM 曲线上溜。一旦溜下去还硬按 CCM 的固定占空比发波，电流波形立刻变形，THD 飙升。所以工业 PFC 控制器要么用平均电流控制强行把工作点钉回直线上，要么干脆承认低载时会进 DCM，让控制策略在两个模式间平滑切换。

21.2.3 DCM Boost：歪打正着的近似

虽然我们总是追求完美的 CCM，但有时候，利用 DCM 也是一种策略。

核心直觉：在第 15 章我们讲过，DCM 变换器天生就包含一个“无损电阻”模型（ $R_{e f f} = 2 L / d^{2} T_{s}$ ）。如果我们把 Boost 变换器扔在 DCM 里，并且给它一个固定的占空比 $D$ ，不做复杂的电流环控制，会发生什么？

它的输入电流会试图跟随输入电压，因为那个 $R_{e f f}$ 是固定的。 $i_{a v g} \approx v_{i n} / R_{e f f}$ 。 这简直就是自动的功率因数校正（PFC）！

代价是什么？

纹波大：DCM 的峰值电流是平均电流的两倍以上，这对开关管和二极管压力很大。
THD 稍高：因为毕竟不是完美的电阻控制，那个“功率源”项会引入一点畸变。但在很多应用中，这点畸变是可以接受的。

DCM 变 CCM 的坑：如果你设计成 DCM，但负载突然加重（ $R_{e}$ 变小），你会发现工作点向上移动，可能会在输入电压峰值附近冲进 CCM 区域。一旦进入 CCM，如果你还在用固定占空比控制，电流波形就会瞬间崩坏——你会看到巨大的尖峰电流在峰值附近冒出来。这就是为什么简单的固定占空比 DCM 方案只能用于低功率场合。

21.2.4 实战演练：SPICE 仿真看 DCM Boost

让我们来看一个仿真实例，验证一下我们的理论。

场景设定：

输入：120Vrms，50Hz。
目标输出：300V DC，功率 120W。
开关频率：100kHz。
拓扑：DCM Boost。

设计步骤：

算 $R_{e}$ ：目标功率 $P = 120 W$ ，输入峰值 $V_{M} = 170 V$ 。根据 $P = V_{M}^{2} / (2 R_{e})$ ，算出 $R_{e} \approx 120 Ω$ 。
选电感 $L$ ：为了保证全周期 DCM，我们要满足最坏条件（式 21.35）： $L < \frac{R_{e} T_{s}}{2} {(\frac{V}{V_{M} - V})}^{2} . . .$ 等等，原文直接给了简化的判据： $L < 260 μ H$ 。我们选一个保险的值： $L = 200 μ H$ 。

仿真看波形：输出电压稳在 300V，上面有明显的 100Hz 纹波（8V 左右），这是正常的，因为输入功率是脉动的。输入电流 $i_{a c} (t)$ 看起来有点胖，但还是正弦的。

算谐波： FFT 分析一下。虽然波形看着还行，但频谱显示 THD = 16.7%。最大的坏家伙是 3 次谐波。这证明了 DCM 固定占空比方案确实能抑制谐波，但还没法做到完美。

过载测试：如果我们把负载加重（输出功率 180W），你会发现电流波形在峰值附近变得非常尖。这是因为我们滑进了 CCM。这时候固定占空比的逻辑完全失效了。结论：这种简单方案不能过载使用，或者需要复杂的限流保护。

21.2.5 DCM Flyback：低成本的王者

Boost 虽好，但输入输出共地，且只能升压。如果我们需要隔离，或者需要降压，而且希望成本极低，怎么办？

Flyback（反激）变换器是答案。

为什么 Flyback 特别适合做低端整流器？

天然隔离：变压器提供了安全隔离，这在很多家电和电源适配器里是强制要求。
天然 LFR：在 DCM 下，Flyback 的输入端完美呈现为一个无损电阻。
控制极简：只需要固定占空比 $D$ ，甚至不需要检测输入电压。

设计 Flyback 的陷阱：既然是 DCM，电感 $L$ 必须足够小。但也别太小，否则峰值电流太大，损耗受不了。

临界电感公式（式 21.43）：

L < L_{c r i t} = \frac{R T_{s}}{4} {(1 + \frac{n V}{V_{M}})}^{- 2}

注意这里有个匝比 $n$ 。Flyback 通过调整匝比，可以灵活地匹配输入电压范围和输出电压。

如果不满足 DCM 条件？ 如果你选的电感太大了，在输入电压峰值且负载最重时，变换器会进入 CCM。 Flyback 进入 CCM 会有什么后果？ 电压应力爆炸，右零点引起相位滞后容易振荡，最重要的是——电流波形畸变严重，失去了天然的 PFC 特性。

所以，用 DCM Flyback 做 PFC，必须严格限制最大负载和最低输入电压。通常这种方案只用在几百瓦以下的小功率领域，比如手机充电器。

总结一下这一节的逻辑链： 我们要造一个“模拟电阻”（LFR）。

原理：用 PWM 变换器，通过控制 $d (t)$ 调节 $M (d (t))$ ，强迫 $i_{i n}$ 跟随 $v_{i n}$ 。
Boost 方案：
- CCM：波形好，需要复杂的电流环控制。
- DCM：波形尚可，固定占空比即可，成本低，但峰值电流大。
Flyback 方案：隔离版的 DCM Boost，适合低功率隔离电源。

现在我们已经有了具体的电路骨架。但光有骨架还不行，还得有神经中枢——控制系统。怎么设计那个让 $i_{g}$ 紧紧咬住 $v_{g}$ 的控制器？这就是下一节的主题：平均电流控制。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

21.2 近似理想整流器的实现 ​

21.2.1 让变换器听话：DC 变压器模型的引入 ​

波形推导：数学上的“完美” ​

功率平衡：输出端的真相 ​

21.2.2 Boost 变换器的实现与临界条件 ​

CCM 模式下的占空比调制 ​

CCM 与 DCM 的边界：电感的选型 ​

输入特性曲线深度解析 ​

21.2.3 DCM Boost：歪打正着的近似 ​

21.2.4 实战演练：SPICE 仿真看 DCM Boost ​

21.2.5 DCM Flyback：低成本的王者 ​