单相变换器系统：集成理想整流器

21.4 单相变换器系统：集成理想整流器

在前一节里，我们搞定了一件很酷的事：用非线性载波控制（NLC）把 Boost 变换器变成了一个听话的「无损电阻（LFR）」，实现了完美的电阻仿真。

这很棒，但我们的旅程还没结束。

你把交流电整成了直流电，还要保证电流波形是完美的正弦波——但这只是故事的一半。另一半在于：这个系统到底是怎么在实际的电源供应中工作的？

这里有一个几乎必现的问题：输入功率和输出功率守恒定律的冲突。

这听起来像是个哲学问题，但如果你没处理好，你的输出电压会像过山车一样乱窜，或者你的系统在掉电后瞬间宕机。

我们来彻底拆解一下这个系统里的能量流动，以及如何用控制环路把它驯服。

21.4.1 能量存储：那个必须存在的「蓄水池」

先来看一个理想情况下的矛盾。

我们希望直流输出电压 $v (t)$ 是高度稳定的，就像教科书里写的那样，是一条平直的线 $V$ 。如果负载是电阻性的，那么负载功率也是恒定的：

p_{l o a d} (t) = v (t) i (t) = V I

很简单，对吧？负载吃掉的功率是一个常数 $P_{l o a d}$ 。

但是，看一眼输入端。对于一个单相理想整流器来说，输入电压 $v_{g} (t)$ 是正弦波，而为了实现功率因数校正（PFC），输入电流 $i_{g} (t)$ 也必须是同相位的正弦波。这意味着瞬时输入功率 $p_{a c} (t)$ 是这样的：

p_{a c} (t) = v_{g} (t) i_{g} (t) = \frac{V_{M}^{2}}{R_{e}} \sin^{2} (ω t)

利用三角恒等式 $\sin^{2} (θ) = \frac{1}{2} (1 - \cos (2 θ))$ ，我们可以把它展开：

p_{a c} (t) = \frac{V_{M}^{2}}{2 R_{e}} (1 - \cos (2 ω t))

看到问题了吗？

负载想要恒定的功率（常数）。
输入端给的是脉动的功率（包含一个 $2 ω$ 的余弦分量，即 100Hz/120Hz 的纹波）。

当输入电压过零时，输入功率瞬间为零。但负载这时候还在耗电！谁来填补这个空缺？

必须有个元件能吃进多余的功率，并在功率不足时吐出来。

这个元件必须能进行低频能量存储。

这就是为什么你需要一个大电容——通常是电解电容——挂在总线上。能量存储电容 $C_{b u l k}$ 的工作就是通过吸收或释放功率差值 $p_{a c} (t) - p_{l o a d} (t)$ 来维持系统的平衡。

我们来看看能量方程。流进电容的功率 $p_{C} (t)$ 等于电容能量 $E_{C} (t)$ 的变化率：

p_{C} (t) = \frac{d E_{C} (t)}{d t} = \frac{d}{d t} (\frac{1}{2} C v_{C}^{2} (t)) = p_{a c} (t) - p_{l o a d} (t)

这句话翻译成人话就是：

当 $p_{a c} (t) > p_{l o a d} (t)$ （输入功率富余），电容充电，电压 $v_{C} (t)$ 上升。
当 $p_{a c} (t) < p_{l o a d} (t)$ （输入功率不足），电容放电，电压 $v_{C} (t)$ 下降。

在稳态下，电容电压 $v_{C} (t)$ 必须被允许在这个周期内上下波动。你不能强行把它拉成一条直线，否则你就没法平衡能量了。

系统架构：把「整流」和「稳压」分开

既然这个电容电压 $v_{C} (t)$ 必须波动，但我们又想要给负载提供一个极其稳定的直流电压 $V$ ，怎么办？

这就引出了经典的两级架构。

我们插入了一个后级 DC-DC 变换器：

第一级（前级）：理想整流器 + 储能电容。它的任务是让输入电流看起来像个电阻，同时把能量吐到电容上。允许电容电压 $v_{C} (t)$ 波动。
第二级（后级）：DC-DC 变换器。它的任务是从波动的电容电压那里取电，然后通过一个高带宽的反馈环，把输出电压 $v (t)$ 稳得死死的。

这就像是用一个不稳定的蓄水池（前级电容）去供水给一个精密的水龙头（后级变换器）。只要水龙口的调节能力强，蓄水池水位的波动就不会影响最终出水的水压。

这种架构实现了三个目标：

宽带宽控制输入电流波形（高 PF）。
内部低频能量存储（电容 $C$ 负责）。
宽带宽调节输出电压（后级负责）。

当然，也可以把这些功能整合到单个变换器里，但那样设计会变得非常复杂，因为你必须在一个功率级里同时处理「输入要正弦」、「输出要恒定」、「电容电压要波动」这三个互相牵制的需求。

掉电保持时间：电容的另一个使命

除了平滑功率波动，这个储能电容还有一个救命的功能：Hold-up Time（保持时间）。

想象一下，交流电网突然断了一下——可能只有几十毫秒。但你的服务器不能断电。这时候，输入功率 $p_{a c} (t)$ 直接归零。

此时此刻，全靠那个电容里存的电撑着。电容电压从当前的电压值开始下降，后级 DC-DC 变换器努力工作，试图在输入电压跌落到最低工作电压之前，维持输出电压不变。

设计要求通常是：必须能撑过一个完整的交流周期（比如 20ms @ 50Hz）。

为什么不用电感储能？虽然电感也能存能量（ $1 / 2 L I^{2}$ ），但要存同样的 1 焦耳能量：

电容方案：100μF, 100V（体积小，便宜）。
电感方案：100μH, 100A（体积巨大，铜线损耗高，贵）。

在低频储能这个应用场景下，电容是绝对的王者。

⚠️ 踩坑预警：启动冲击电流

但是，电容也不是完美的。

有一个非常讨厌的问题：Inrush Current（冲击电流）。

系统刚上电的那一刻，储能电容电压 $v_{C} (t)$ 是 0。而整流器后面紧接着就是Boost拓扑。即便你把占空比 $d (t)$ 设为 0（开关一直关断），Boost二极管还是导通的。只要母线电压低于输入电压峰值，电流就会像洪水一样通过二极管直接灌进电容。

I_{i n r u s h} = \frac{V_{p e a k}}{R_{o n} + R_{E S R}}

如果不加限制，这个电流会大到把保险丝烧断，或者把输入端的整流桥炸掉。

解决办法：

软启动电路：在预充电阶段串联一个限流电阻，等电容电压充上来了，再把继电器吸合短接电阻。
拓扑选择：Buck-Boost 类拓扑天生具有限流能力（因为开关管串联在输入回路里），但代价是开关管应力更大。

通用输入：从 100V 到 260V

既然有了这个控制架构，我们就可以玩点高级的：Universal Input（通用输入）。

不管你是在日本（100V AC）还是西澳大利亚（260V AC），不管是 50Hz 还是 60Hz，我们的目标都是输出一个恒定的直流电压 $V_{C}$ 。

控制环路会自动调整 $R_{e}$ 。

当输入电压低（100V）时， $R_{e}$ 变小，吸进更大的电流来维持功率平衡。
当输入电压高（260V）时， $R_{e}$ 变大，减小电流。

精确模型：那个必须加上的「慢速环」

回到系统模型。我们画一个低频等效电路。

我们把后级 DC-DC 变换器看作一个恒功率负载。因为它的控制环路带宽很高，只要输入电压 $v_{C} (t)$ 降得稍微低一点，它就加大占空比拼命抽取电流以维持输出功率恒定。

在低频模型里，这表现为一个电流值为 $P_{l o a d} / v_{C} (t)$ 的电流源，或者更数学化地，等效为一个负电阻。

这里有个大问题：谁来平衡功率？前级整流器的输出功率取决于 $V_{g, r m s}$ 和 $R_{e}$ 。后级负载的功率取决于负载需求。如果没有一个额外的反馈环来调节 $R_{e}$ ，这两个功率很难正好相等。

如果 $P_{a c, a v g} > P_{l o a d}$ ，电容电压会一直充，直到炸机。
如果 $P_{a c, a v g} < P_{l o a d}$ ，电容电压会一直放，直到欠压保护。

所以，必须有一个慢速的电压环。它检测储能电容电压 $v_{C} (t)$ ，把它和一个参考值 $V_{r e f 2}$ 比较。如果电压偏低，它就调整 $v_{c o n t r o l} (t)$ ，从而改变 $R_{e}$ ，让整流器多吸点电进来。

⚠️ 踩坑预警：带宽不是越高越好

这里有个非常关键的限制：这个电压环的带宽必须很低。

为什么？还记得 $v_{C} (t)$ 那个 2 倍频纹波吗？如果你的电压环响应太快，它看到电压掉了，就以为是功率不够，拼命加大 $R_{e}$ 的调节力度。这会导致 $R_{e}$ 在半个周期内剧烈变化。

一旦 $R_{e}$ 变了，输入电流 $i_{g} (t) = v_{g} (t) / R_{e} (t)$ 就不再是完美的正弦波了。波形会畸变，THD 爆表，功率因数暴跌。

极端情况：如果你强行让电压环把 $v_{C} (t)$ 稳压成一条直线（恒定瞬时功率），看看会发生什么。为了在 $v_{g} (t)$ 过零时提供恒定功率，输入电流 $i_{a c} (t)$ 必须趋向于无穷大。这时候 THD 趋向于无穷大，PF 趋向于 0。

所以，电压环必须是**「眼瞎」**的——它必须对 2 倍频纹波视而不见，只调节直流分量。

纹波计算公式

最后，我们来算一下这个 2 倍频纹波到底有多大。我们需要求解能量方程积分。

对于稳态，对功率差进行积分得到能量：

E_{C} (t) = \frac{1}{2} C v_{C}^{2} (t) = E_{C} (0) + \int_{0}^{t} (p_{a c} (τ) - p_{l o a d}) d τ

代入 $p_{a c} (t)$ 的表达式并积分（这就是个标准的三角函数积分），我们可以得到电容电压 $v_{C} (t)$ 的近似表达式：

v_{C} (t) \approx V_{C, r m s} \sqrt{1 - \frac{P_{l o a d}}{ω C V_{C, r m s}^{2}} \sin (2 ω t)}

利用泰勒级数展开 $\sqrt{1 - x} \approx 1 - x / 2$ （当 $x$ 很小时），我们可以直接得到电压纹波的峰峰值 $2 Δ v_{C}$ ：

2 Δ v_{C} \approx \frac{P_{l o a d}}{ω C V_{C, r m s}}

这个公式非常实用。设计时，给定负载功率 $P_{l o a d}$ 、允许的纹波 $Δ v_{C}$ 和工作频率 $ω$ ，你可以反推出你需要多大的电解电容。

21.4.2 建模外环低带宽控制系统

既然知道了需要一个外环，那我们就得给它建个模，设计补偿器。

这一节的目标是推导出一个小信号模型，用来预测控制到输出 ($ \hat{v} / \hat{v}{control} $) 以及音频敏感度 ($ \hat{v} / \hat{v} $) 的传递函数。

推导过程就像是剥洋葱，我们要一层层把高频纹波和非线性剥掉，露出里面的线性核心。

第一步：平均掉开关纹波

我们的大信号模型是无损电阻（LFR）。首先，我们要去掉开关频率 $f_{s}$ 的纹波。这很容易，直接在一个开关周期 $T_{s}$ 内做平均。

这时候，输出功率 $⟨ p (t) ⟩_{T_{s}}$ 包含两个部分：

直流分量： $V_{g, r m s}^{2} / R_{e}$ 。
二次谐波分量：随 $\sin (2 ω t)$ 变化。

这就是「拆」的过程。

第二步：平均掉二次谐波

这个模型还是时变的，因为有 $\cos (2 ω t)$ 。为了设计那个「慢得像蜗牛一样」的外环，我们根本不关心这个 2 倍频的波动。我们可以再做一次平均——这次是在半个工频周期 $T_{2 L}$ 内进行。

T_{2 L} = \frac{1}{2 f_{l i n e}} = \frac{π}{ω}

通过这步操作，那个恼人的 $\cos (2 ω t)$ 项就被抹平了。剩下的模型是时不变的，但它是非线性的（因为有 $v^{2}$ 和除法关系）。

第三步：线性化

现在我们有了一个静态的非线性方程。我们可以用老办法：扰动 + 线性化。

设工作点为： $v_{c o n t r o l} = V_{c o n t r o l}, v_{g, r m s} = V_{g, r m s}, v = V$ 。加入小信号扰动： ${\hat{v}}_{c o n t r o l}, {\hat{v}}_{g, r m s}, \hat{v}$ 。

输出电流 ${\hat{i}}_{2}$ 与输入和控制电压的关系，经过泰勒展开后，变成了一个线性方程（21.101）：

{\hat{i}}_{2} (t) = g_{2} {\hat{v}}_{g, r m s} (t) + j_{2} {\hat{v}}_{c o n t r o l} (t) - \frac{\hat{v} (t)}{r_{2}}

这里的三个参数 $g_{2}, j_{2}, r_{2}$ 是关键：

$r_{2}$ ：有效输出电阻。它反映了功率源特性曲线的斜率。
$j_{2}$ ：控制增益。
$g_{2}$ ：前馈增益（对输入电压变化的敏感度）。

对应的等效电路就像是一个戴维宁等效电路：一个受控电流源并联一个电阻 $r_{2}$ 。

表 21.1 给出了几种常见控制方案下的这三个参数值。你会发现它们的形式和 DCM Buck-Boost 变换器非常像——这并不奇怪，因为它们本质上都是 LFR。

传递函数的最终形态

有了这个模型，推导传递函数就是小菜一碟了。

控制到输出传递函数：

G_{v c} (s) = \frac{\hat{v} (s)}{{\hat{v}}_{c o n t r o l} (s)} = j_{2} (R | | r_{2}) \frac{1}{1 + s C (R | | r_{2})}

音频敏感度（输入到输出）：

G_{v g} (s) = \frac{\hat{v} (s)}{{\hat{v}}_{g, r m s} (s)} = g_{2} (R | | r_{2}) \frac{1}{1 + s C (R | | r_{2})}

看，多么熟悉的结构！ 单极点系统。极点频率由 $C$ 和等效电阻 $(R | | r_{2})$ 决定。

这就是我们要的：一个简单的低通滤波器模型。这也解释了为什么外环带宽可以做得很低——因为极点本身就压得很低。

负载效应：恒功率负载

最后，别忘了后级 DC-DC 变换器。对于前级整流器来说，后级是一个恒功率负载（Constant Power Load, CPL）。恒功率负载的一个显著特征是：它具有负阻抗特性。

R = - \frac{V^{2}}{P_{a v}}

如果你把这个负电阻 $R$ 代入上面的极点公式，你会发现极点位置发生了变化。如果设计不当，这个负电阻甚至会导致系统振荡。

这一节的模型推导，为下一章我们要讨论的稳定性分析打下了地基。

现在我们手里有了 LFR 的核心模型，知道了怎么算纹波，也知道了怎么建小信号模型。接下来，该把这些东西拼起来，去应对真正的三相系统或者更复杂的负载了。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

21.4 单相变换器系统：集成理想整流器 ​

21.4.1 能量存储：那个必须存在的「蓄水池」 ​

系统架构：把「整流」和「稳压」分开 ​

掉电保持时间：电容的另一个使命 ​

⚠️ 踩坑预警：启动冲击电流 ​

通用输入：从 100V 到 260V ​

精确模型：那个必须加上的「慢速环」 ​

⚠️ 踩坑预警：带宽不是越高越好 ​

纹波计算公式 ​

21.4.2 建模外环低带宽控制系统 ​

第一步：平均掉开关纹波 ​

第二步：平均掉二次谐波 ​

第三步：线性化 ​

传递函数的最终形态 ​

负载效应：恒功率负载 ​