本章习题：稳态变换器分析实战

走到这一章的尾声，我想你应该已经把那些波形和公式翻来覆去地嚼过几遍了。但老实说，光看懂原理和能亲手算对结果，中间还隔着一条巨大的鸿沟。这一节就是我们填坑的时候。

下面这些练习题不是为了把你难倒，而是为了让你在脑子里把那些抽象的「伏秒平衡」、「电荷平衡」跑通一遍。你会发现，当你真的动笔去算一个电感值或者画一个电流波形时，原本模糊的细节会突然变得刺眼地清晰。

我们把这些题目分成了两类：一类是「核算」，让你确信自己真的理解了 Buck-Boost 和 Boost 这些基本拓扑；另一类是「拓展」，把 SEPIC、同步整流桥甚至输入滤波器扔进来，看看你的直觉在新电路里还能不能生效。

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2.1 Buck-Boost 变换器：从原理到落地

这是基础题，但也是让你摔跟最疼的一道题。我们要彻底搞透 Buck-Boost 的每一个细节。

这道题的电路模型你已经很熟了：理想开关版本，以及用 MOSFET 加二极管实现的实际版本。别急着翻书，先试着回答下面这些问题。

（a）推导稳态关系

我们的目标是把输出电压 $V$、电感电流 $I$ 和占空比 $D$、输入电压 $V_g$、负载电阻 $R$ 挂上钩。

这里你可以用我们刚才练出来的「肌肉记忆」：

1. 画电感电压波形：开关闭合时是 $V_g$，断开时跳变到 $-V$。
2. 伏秒平衡：$⟨v_L⟩=D{V}_g+(1-D)(-V)=0$。
3. 解出 $V$：你会发现那个经典的公式 $V=\frac{D}{1-D}{V}_g$。
4. 算电流 $I$：功率守恒（$P_{in}=P_{out}$）或者欧姆定律（$I=\frac{V}{R(1-D)}$，注意这里输入输出电流方向不连续，用功率守恒更稳）。

⚠️ 别偷懒：不要直接背公式。一定要在纸上画出那两个子电路（State 1 和 State 2），标出电感两端的电压极性。如果你这一步画错了，后面的设计全得重做。

（b）绘制 $M(D)$ 曲线

把 $V/V_g$（即转换比 $M(D)$）作为纵轴，$D$ 作为横轴，画出 $0\le D\le 1$ 的曲线。

你会看到什么？

• 当 $D<0.5$ 时，输出电压比输入低（降压）。
• 当 $D=0.5$ 时，$V=V_g$。
• 当 $D$ 接近 1 时，曲线 asymptotically 趋向无穷大。

这张图就是我们之前说的「设计地图」。如果你需要输出 -20V 而输入是 30V，看着这张图就能大致找到 $D$ 应该在哪。

（c）实战 DC 设计

来点真的。规格书丢给你了：

• $V_g=30\text{ V}$
• $V=-20\text{ V}$（注意负号，这是反相）
• $R=4\mathrm{\Omega }$
• $f_s=40\text{ kHz}$（意味着 $T_s\approx 25\mu s$）

i. 算 $D$ 和 $I$ 把刚才的公式拿来用。你算出来的 $D$ 应该在 0.4 左右。电感电流 $I$ 记得要考虑输入输出的功率关系，不要漏掉负载电阻的影响。

ii. 选电感 $L$：驯服纹波 题目要求：电感电流纹波 $\mathrm{\Delta }{i}_L$ 是平均值 $I$ 的 10%。 这意味着你的电感必须足够大，才能把电流波动压得这么平。回想 2.2 节那个经典的纹波公式：

$$\mathrm{\Delta }{i}_L=\frac{V_{on}D{T}_s}{L}$$

这里的 $V_{on}$ 就是输入电压 $V_g$。反推 $L$，你会得到一个具体的值。

⚠️ 踩坑预警：很多新手算完 $L$ 发现是个天文数字或者微乎其微，通常是因为搞错了 $V_{on}$ 的取值（在 Buck-Boost 里，导通时电感两端电压是 $V_g$，这一点别和 Boost 搞混）。

iii. 选电容 $C$：净化电压 要求：输出电压纹波 $\mathrm{\Delta }v=0.1\text{ V}$。 这部分你要用电容电荷平衡那套逻辑。纹波电压 $\mathrm{\Delta }v$ 和电容 $C$ 的关系是 $\mathrm{\Delta }v=\frac{\mathrm{\Delta }Q}{C}$，而 $\mathrm{\Delta }Q$ 就是电感电流纹波在电容上积分出来的三角形面积（时间是 $\frac{T_s}{2}$）。算出来的 $C$ 如果太小，带负载时电压就会跌得厉害；太大呢？成本和体积就上去了。

（d）看波形：晶体管的痛

现在让我们画出晶体管漏极电流 $i_T(t)$。

• 开关状态 1 (0 < t < DT_s)：晶体管导通，它在吃电流。这时候 $i_T(t)$ 就等于电感电流。别忘了加上刚才算出来的三角波纹波 $\mathrm{\Delta }{i}_L$。
• 开关状态 2 (DT_s < t < T_s)：晶体管关断。理想情况下它是断路，电流应该是 0。

思考题：晶体管电流的峰值是多少？是 $I+\frac{\mathrm{\Delta }i}{2}$。 再来一题：如果我们把电感 $L$ 减小，导致纹波 $\mathrm{\Delta }i$ 变成平均电流 $I$ 的 50%（从 10% 涨到 50%），波形会变成什么样？峰值电流会飙升。 这意味着什么？意味着你的晶体管可能会过热炸机。这就是为什么我们虽然讨厌大体积的电感，但为了保护开关管，有时候不得不妥协。

（e）看波形：二极管的命

同样的逻辑，画二极管电流 $i_D(t)$。

• 状态 1：二极管反偏，电流为 0。
• 状态 2：二极管导通，续流。电流就是电感电流。

你会发现晶体管和二极管的电流波形是互补的——一个干活，另一个休息。这也是为什么在某些同步整流电路里，我们想把二极管也换成另一个 MOSFET，因为那个二极管导通时的压降（虽然小）也是实实在在的损耗。

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2.2 Boost 变换器体检

再看一眼 Boost。参数如下：

• $V_g=3.3\text{ V}$
• $V=5\text{ V}$
• $f_s=500\text{ kHz}$

（a）占空比 $D$

用那个简单的 $V=\frac{V_g}{1-D}$ 算一下。你会发现要把 3.3V 抬升到 5V，其实需要的 $D$ 并不大。

（b）画 MOSFET 的电压 $v_{DS}(t)$

这个题考验你对节点电压的理解。

• 导通时：MOSFET 饱和导通，电阻极小，$v_{DS}\approx 0$。
• 关断时：MOSFET 断开，但电流不能断（电感强迫），所以二极管导通，把 MOSFET 的漏极电压钳位到了输出电压 $V$（加上二极管压降）。

把这两个值标在时间轴上。

（c）电压的直流分量

算一下这个方波的直流分量。你会发现它不是 0，也不是 5V，而是一个中间值。实际上，这个直流分量应该等于电感电压的平均值——而在稳态下，电感电压的平均值必须是 0（伏秒平衡）。 等等，这里有个矛盾吗？没有。因为电感两端电压和 MOSFET 两端电压不是同一个东西。 SICP 思考时刻：这题其实是在让你确认，你真的理解了「平均值为零」是针对谁说的。

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2.3 SEPIC 变换器：全能选手

这题是进阶测试。我们碰到一个必须既能升压又能降压，还不能反相的需求。普通的 Buck-Boost 虽然能升降压，但它把电压反了个相，这在某些只能接受正电压的系统里是要命的。 于是 SEPIC 登场了。

（a）推导直流分量

SEPIC 有两个电感 $L_1,L_2$ 和两个电容 $C_1,C_2$。

• 当 $Q_1$ 导通时：$L_1$ 接 $V_g$，$C_1$ 把能量倒给 $L_2$。
• 当二极管导通时：$L_1$ 和 $L_2$ 串联给负载供电。

你需要列方程，找出每个电感电流和电容电压的直流分量。秘诀：对电感用伏秒平衡，对电容用电荷平衡。

💡 一句直觉：SEPIC 那个转移电容 $C_1$ 是整台电路的灵魂——它隔直通交，既把输入输出在直流上隔开（所以输出能保持和输入同相，不像 Buck-Boost 会反相），又充当能量的「摆渡车」。但代价是 $C_1$ 上要承受全部输入电压的纹波电流，ESR 损耗不小，这也是为什么 SEPIC 效率通常比纯 Buck/Boost 低一截——全能是要付电费的。

（b）控制范围实战

输入在 18V 到 36V 之间晃荡，输出要稳在 28V，负载 2A。

• 算一下 $D$ 的变化范围。你会发现输入越低，需要的 $D$ 越大。
• 算一下输入电感电流 $I_1$ 的变化范围。

这题做出来，你就知道 SEPIC 为什么难搞了——它的控制范围很宽，而且输入电流是连续的（不像 Buck-Boost 是断续的），这对电池供电设备很友好，但对工程师的脑力不友好。

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2.4 SEPIC 的纹波与应力

接上题。我们要算 SEPIC 的纹波了。 这题的难度在于，能量是通过那个转移电容 $C_1$ 传送的。 你需要推导：

• 电感电流纹波 $\mathrm{\Delta }{i}_{L1},\mathrm{\Delta }{i}_{L2}$。
• 电容电压纹波 $\mathrm{\Delta }{v}_{C1},\mathrm{\Delta }{v}_{C2}$。

最后的挑战：画出晶体管电压 $v_{DS}$ 和电流 $i_T$。你会发现，SEPIC 的开关管承受的电压应力很大（它要承受 $V_{in}+V_{out}$）。这就是选型时的噩梦——你的 MOSFET 耐压必须足够高。

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2.5 & 2.6 同步整流桥：拓扑游戏

这两个题把单开关换成了同步动作的开关桥。一个像个 H 桥，另一个是电流馈电桥。 任务：推导转换比 $M(D)=V/V_g$。

别被复杂的图吓到。还是那个老套路：

1. 开关在位置 1 时，画出电感左边的电压。
2. 开关在位置 2 时，画出电感左边的电压。
3. 列式子：$D\cdot V_{on}+(1-D)\cdot V_{off}=0$。
4. 解出 $V$。

你会发现这些拓扑能实现一些奇奇怪怪的功能，比如极性反转，或者倍压。

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2.7 - 2.9 纹波推导连环拳

针对上面那两个桥式变换器，推导电感电流纹波和电容电压纹波。 这基本上就是把 2.5 节那一套逻辑在新电路上重跑一遍。如果你在画波形时卡住了，回去看看 2.5 节是怎么通过电容电流的积分面积来算电压纹波的。

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2.10 输入滤波器：EMI 的代价

这是个非常经典的工程问题。 为了让你的设备通过电磁兼容（EMI）认证，不能让开关电流的尖峰直接窜到电源线上，否则电源线就是个发射天线。所以我们要加一个 $L_1{C}_1$ 滤波器在输入端。

但这东西不是白加的。

（a）画晶体管电流 $i_T(t)$

这和普通 Buck 一样，是个脉冲。

（b）推导直流分量

不管加了多少电容电感，负载功率守恒，输入功率等于输出功率。这就是定海神针。

（c）推导纹波

这是难点。$L_1{C}_1$ 形成了一个二阶网络。你需要算出流过 $L_1$ 的纹波电流和 $C_1$ 两端的纹波电压。

（d）设计实战

给定一堆参数： $V_g=48\text{V}$, $V=36\text{V}$, $f_s=100\text{kHz}$, $R=6\mathrm{\Omega }$。 要求：

• $\mathrm{\Delta }{v}_{C1}$ 是直流分量的 2%。
• 输入电流纹波 $\mathrm{\Delta }{i}_1$ 只有 20mA。

你会发现什么？ 为了满足这么严苛的纹波要求，$C_1$ 和 $L_1$ 的值可能会大得离谱。这就是为什么电源设计里，EMI 滤波器往往是体积最大的部分之一。 SICP 时刻：这里有一个反直觉的设计权衡——为了解决「看不见」的干扰问题（EMI），我们不得不牺牲巨大的空间和成本。这不仅是电路问题，这是工程经济学。

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2.11 Boost 变换器的精确解

之前的推导都用了「小纹波近似」（Small-Ripple Approximation），也就是算斜率的时候把电压看作常数。 但在这一题，假设被撤销了。

请用精确的数学推导（解微分方程）来算：

• 直流输出电压（结果会近似等于 $V_g/(1-D)$）。
• 电感电流纹波。
• 电容电压纹波。

这一题做完了，你会明白为什么我们平时敢用近似——因为那个误差项通常小到可以忽略不计。但作为一个严谨的工程师，你必须知道误差是从哪里来的。

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本章回响

走到这里，第二章的旅程就结束了。

回过头看，这一章我们其实只干了一件事：建立一种在周期性开关动作中寻找「稳态」的直觉。

我们在开头抛出的那些问题——为什么输出电压会随占空比变化？电感会不会饱和？电容电压会不会飘走？——现在都有了数学上的答案。

你发现没有，所有的复杂波形，最后都归结为两个朴素的物理事实：

1. 电感不能忍受电压的平均值不为零（伏秒平衡）。如果违背了这一点，电流就会一直涨，直到烧毁电路。
2. 电容不能忍受电流的平均值不为零（电荷平衡）。如果违背了这一点，电压就会一直飘，直到击穿。

本章介绍的那些变换器——Buck, Boost, Buck-Boost, Ćuk, SEPIC ——它们表面上形态各异，有的用二极管，有的用变压器（指后续章节），有的用同步开关，但实际上，它们都是在玩弄这两个平衡条件。它们通过控制开关的通断时间比例（占空比 $D$），强制电感和电容在特定的子区间内承受特定的电压或电流，从而在宏观上塑造出我们想要的电压转换比 $M(D)$。

这就是为什么你在做题 2.1 时，即使电路图盖住了，仅凭伏秒平衡的公式也能把电压关系推导出来。因为你掌握的不是某一个电路的特性，而是这类电路的物理法则。

下一章，我们会把这些变换器从「理想世界」拖进「现实世界」。 我们会问：如果电感是有电阻的会怎样？如果电容有 ESR 会怎样？如果开关不是瞬间切换的会有什么后果？ 那时候，本章建立的这些「平衡直觉」，会以一种意想不到的方式帮你挡掉那些诡异的波形故障。那时候你会庆幸，你现在把这些波形在脑子里过了一遍又一遍。

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练习题

练习 1：application

题目：假设有一个 Boost 变换器，输入电压 $V_g=12\text{V}$，负载电阻 $R=20\mathrm{\Omega }$，占空比 $D=0.5$。请利用小纹波近似和伏秒平衡原理，计算输出电压 $V$ 和输入电流（即电感电流直流分量）$I$ 的值。

答案与解析

答案：输出电压 $V=24\text{V}$，输入电流 $I=2.4\text{A}$。

解析：1. 计算输出电压：对于 Boost 变换器，电压转换比 $M(D)=\frac{1}{1-D}$。代入 $D=0.5$，得 $M(D)=\frac{1}{0.5}=2$。因此，$V=M(D)\cdot V_g=2\times 12\text{V}=24\text{V}$。 2. 计算输入电流：根据功率守恒（或电容电荷平衡推导），输入功率等于输出功率（忽略损耗），即 $V_g\cdot I=V^2/R$。故 $I=\frac{V^2}{V_{g}R}=\frac{{24}^2}{12\times 20}=\frac{576}{240}=2.4\text{A}$。 也可以使用 Boost 变换器电感电流公式 $I=\frac{V_g}{(1-D{)}^{2}R}$ 验证：$I=\frac{12}{(1-0.5{)}^2\times 20}=\frac{12}{0.25\times 20}=\frac{12}{5}=2.4\text{A}$。

练习 2：understanding

题目：关于 Boost 变换器的稳态分析，下列哪种说法是错误的？ A. 稳态下，电感两端电压在一个周期内的平均值为零。 B. 根据伏秒平衡原理，输出电压 $V$ 必须大于输入电压 $V_g$（当 $0<D<1$ 时）。 C. 根据小纹波近似，计算电感电流变化率时可以假设电感两端的电压恒定。 D. 稳态下，电容的充电电流平均值必须大于零，以维持输出电压。

答案与解析

答案：D

解析：本题考察稳态分析的基本原理。 A. 正确。根据电感伏秒平衡原理，稳态下电感磁通净变化为零，故电压平均值 $⟨v_L⟩=0$。 B. 正确。Boost 变换器在开关导通时，电感两端电压为 $V_g$（正值）；为了伏秒平衡，开关断开时电感电压必须为负值，即 $V_g-V<0$，这意味着 $V>V_g$。 C. 正确。小纹波近似假设输出电压纹波远小于直流分量，因此在计算电感电流斜率（$di/dt=v/L$）时，$v$ 可近似视为常数（如 $V$ 或 $V_g-V$）。 D. 错误。根据电容电荷平衡原理，稳态下电容电压的平均值应保持恒定，这意味着流入电容的平均电流必须为零（$⟨i_C⟩=0$）。如果平均电流大于零，电容电压将持续上升，违反稳态定义。

练习 3：application

题目：某 Buck 变换器工作在稳态，输入电压 $V_g=20\text{V}$，占空比 $D=0.6$。已知电感值 $L=50\mu \text{H}$，开关频率 $f_s=100\text{kHz}$（即周期 $T_s=10\mu \text{s}$）。请计算该电感电流的纹波峰峰值（peak-to-peak）。

答案与解析

答案：电感电流纹波峰峰值约为 $0.96\text{A}$。

解析：本题考察对 Buck 电感电流纹波公式的运用。

约定：题目里说的「纹波峰峰值」是三角波从谷底到峰顶的总摆幅，记作 $\mathrm{\Delta }{i}_{L,pp}$。如果你看到有的公式写成 $\mathrm{\Delta }{i}_L=\frac{V_g-V}{2L}D{T}_s$，那里的 $\mathrm{\Delta }{i}_L$ 指的是从中心到峰值的半摆幅，所以 $\mathrm{\Delta }{i}_{L,pp}=2\mathrm{\Delta }{i}_L$。两种写法都对，只是差一个因子 2，别搞混。

1. 先算输出电压：开关管导通时，电感左端接 $V_g$，右端接输出 $V$。根据伏秒平衡，Buck 的 $V=D{V}_g=0.6\times 20=12\text{V}$。
2. 算导通时电感电压：$V_{on}=V_g-V=20-12=8\text{V}$。
3. 算电流上升量（就是峰峰值）：导通阶段持续 $D{T}_s=0.6\times 10\mu \text{s}=6\mu \text{s}$，斜率 $\frac{V_{on}}{L}=\frac{8}{50\mu }=\mathrm{160,000}\text{ A/s}$。$$\mathrm{\Delta }{i}_{L,pp}=\frac{V_{on}\cdot D{T}_s}{L}=\frac{8\times 0.6\times 10\mu }{50\mu }=\frac{48}{50}=0.96\text{A}$$
4. 验算：用半摆幅公式 $\mathrm{\Delta }{i}_L=\frac{V_{on}D{T}_s}{2L}=0.48\text{A}$，峰峰值 $2\mathrm{\Delta }{i}_L=0.96\text{A}$，两边对得上。

工程意义：如果负载电流是 2A，那纹波占了近 50%，偏大了——实际设计会把 $L$ 加大（或提高 $f_s$）把纹波压到负载电流的 10%~20%。

练习 4：thinking

题目：在设计一个 Boost 变换器时，如果我们将开关频率 $f_s$ 提高到原来的 4 倍，同时保持占空比 $D$、电感量 $L$、输入电压 $V_g$ 和负载电阻 $R$ 不变，请问变换器的输出电压纹波 $\mathrm{\Delta }v$ 和电感电流纹波 $\mathrm{\Delta }{i}_L$ 会发生什么变化？

答案与解析

答案：输出电压纹波 $\mathrm{\Delta }v$ 变为原来的 1/4（减小），电感电流纹波 $\mathrm{\Delta }{i}_L$ 变为原来的 1/4（减小）。

解析：我们需要分析 $f_s$（即 $1/T_s$）对纹波的影响。

1. 分析输出电压 $V$：Boost 变换器的直流增益 $M(D)=1/(1-D)$ 仅取决于占空比 $D$，与 $f_s$ 无关。因此，输出电压的直流分量 $V$ 保持不变。
2. 分析电感电流纹波 $\mathrm{\Delta }{i}_L$：根据 Boost 变换器电感电流纹波公式 $\mathrm{\Delta }{i}_L=\frac{V_{g}D{T}_s}{L}$。当 $f_s$ 变为 4 倍时，周期 $T_s$ 变为原来的 1/4。代入公式可知，$\mathrm{\Delta }{i}_L$ 将减小为原来的 1/4。
3. 分析输出电压纹波 $\mathrm{\Delta }v$：根据 Boost 变换器输出电压纹波公式 $\mathrm{\Delta }v=\frac{VD{T}_s}{2RC}$（忽略 ESR）。由于直流输出电压 $V$ 不变，$T_s$ 变为 1/4，因此 $\mathrm{\Delta }v$ 也将减小为原来的 1/4。 结论：提高开关频率可以显著减小电感电流和输出电压的纹波，这正是现代电力电子技术倾向于使用高频开关的原因之一。

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要点提炼

开关电源的核心运作机制本质上是对时间与能量的精细控制，它并非像线性稳压器那样消耗多余能量，而是通过开关的通断产生断续脉冲，再利用电感（L）和电容（C）组成的低通滤波器滤除交流成分，仅保留直流分量输出，从而实现能量的高效“搬运”而非耗散，其输出电压的大小完全取决于开关在周期内的导通时间比例，即占空比（Duty Cycle, $D$）。

分析这些复杂变换器的通用钥匙是“小纹波近似”，即假设设计良好的变换器中电感电流和电容电压的纹波（交流波动）远小于其直流分量，从而将复杂的指数变化简化为几何上的直线上升与下降。这一假设结合物理学中的两个铁律——电感伏秒平衡（$⟨v_L⟩=0$）和电容电荷平衡（$⟨i_C⟩=0$），使得我们能够通过简单的几何面积计算（而非复杂的微积分）推导出任意拓扑结构的电压转换比 $M(D)$ 和稳态电流关系。

对于包含双极点滤波器（如 Buck 变换器）的特殊情况，直接套用小纹波近似会导致得出“纹波为零”的错误结论，因此必须进行修正分析。此时，电感电流的纹波 $\mathrm{\Delta }{i}_L$ 是唯一驱动输出电容充放电的源头，且高频纹波电流会全部流向阻抗极低的电容支路，根据 KCL 定律，通过计算电容电流波形在半个周期内的几何面积（即电荷量 $\mathrm{\Delta }Q$），即可精确推导出输出电压纹波的估算公式 $\mathrm{\Delta }v=\frac{\mathrm{\Delta }{i}_L{T}_s}{8C}$。

Buck、Boost 和 Buck-Boost 是三种最基本的拓扑结构，它们通过改变电感、开关和二极管的连接位置展示了不同的电压转换特性：Buck 电路通过开关切入输入电压，利用伏秒平衡推导出 $V=D{V}_g$，仅能降压；Boost 电路通过开关将电感左端接地，利用伏秒平衡强制输出端电压必须高于输入以维持平衡，得出 $V=\frac{V_g}{1-D}$，仅能升压；而 Buck-Boost 则结合了两者特性，既能升压也能降压且输出电压反相，其转换比为 $V=-\frac{D}{1-D}{V}_g$。

在实际工程设计中，计算纹波幅值（$\mathrm{\Delta }{i}_L$ 和 $\mathrm{\Delta }v$）是选型电感量 $L$ 和电容值 $C$ 的核心依据。设计师需要在体积、成本与性能之间权衡：通常需将电感电流纹波控制在负载电流的 10% 至 20% 以防止器件过流，同时根据允许的电压纹波幅值反推所需的电容大小，这种基于波形斜率和几何面积的逆向计算能力，是电源设计从理论通向实践的关键。

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参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。