22.2 示例演练

让我们把上一节建立起来的这套「正弦近似」理论，放到两个经典的案子里去试一把。

理论看着再漂亮，不跑个实际电路，心里总是不踏实。你会看到，这套方法在串联谐振和并联谐振这两种截然不同的拓扑里，是如何用同一把钥匙（交流传递函数）去开两扇不同的门的。

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22.2.1 串联谐振变换器

先看最经典的串联谐振变换器（Series Resonant Converter, SRC）。

这里有个细节要注意：既然我们玩的是谐振，电流会双向流动，所以开关管必须是双向的（Current-bidirectional），也就是我们常说的两象限开关。如果用普通 MOSFET 加体二极管的那种组合，你得确保那个二极管撑得住反向恢复的冲击——别为了省钱在这个地方省，否则炸管子别怪我没提醒你。

回到正题。上一节我们已经把谐振变换器拆解成了开关网络、槽路网络和整流网络三部分。对于串联谐振这种拓扑，它的槽路网络就是一个纯粹的 L-C 串联电路。

把上一节那个通用模型里填上串联 L-C 的具体参数，就得到了对应的等效电路。这里的 $Z_i(s)$ 是槽路的输入阻抗，也就是 $L$、$C$ 和负载等效电阻 $R_e$ 串联的总阻抗。

根据分压公式，传递函数 $H(s)$ 就是 $R_e$ 除以总阻抗：

$$H(s)=\frac{R_e}{Z_i(s)}=\frac{R_e}{R_e+sL+\frac{1}{sC}}$$

为了把它写成工程上更习惯的形式，我们引入三个特征参数：谐振频率 ${\omega }_0$、特征阻抗 $R_0$ 和有效品质因数 $Q_e$：

$$\begin{gathered} {\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=2\pi f_0 \\ {R}_0=\sqrt{\frac{L}{C}} \\ {Q}_e=\frac{R_0}{R_e} \end{gathered}$$

把这些代入并整理一下，$H(s)$ 就变成了一个非常标准的形式：

$$H(s)=\frac{1}{1+\frac{Z(s)}{Q_e{\omega }_0}+{\left(\frac{s}{{\omega }_0}\right)}^2}$$

还记得上一节的那个「惊天结论」吗？直流转换比 $M=V/V_g$ 就等于这个传递函数在开关频率处的幅值。所以，我们直接算 $\parallel H(j{\omega }_s)\parallel$，把 $s=j{\omega }_s$ 代进去，得到 $M$ 的表达式：

$$M=\parallel H(j{\omega }_s)\parallel =\frac{1}{\sqrt{{[1-{\left(\frac{1}{F}\right)}^2]}^2+{\left(\frac{1}{Q_{e}F}\right)}^2}}$$

这里我们用了一个归一化频率 $F=f_s/f_0$，也就是开关频率是谐振频率的多少倍。

波特图上看门道

光看公式可能有点晕，我们把它的波特图画出来，一切就豁然开朗了。

让我们用第 8 章里学过的「渐近线构造法」来拆解一下输入阻抗 $Z_i(s)$。

• 低频段：电感阻抗 $\omega L$ 很小，电容阻抗 $1/\omega C$ 很大。串联电路里谁大谁说了算，所以低频段是电容主导。阻抗渐近线随频率增加而下降（斜率 -1）。
• 高频段：频率上去了，电感阻抗 $\omega L$ 变大，电容阻抗 $1/\omega C$ 变小。这时候是电感主导，阻抗渐近线随频率增加而上升（斜率 +1）。
• 谐振点 $f_0$：神奇的事情发生了。电感和电容的阻抗大小相等、相位相反，它们互相抵消。这时候，槽路里只剩下 $R_e$。阻抗曲线在 $f_0$ 处触底，值就是 $R_e$。

有了阻抗的幅值曲线，传递函数 $\parallel H\parallel$ 的曲线就是 $R_e$ 除以 $\parallel Z_i\parallel$。

• 在谐振点 $f_0$：$\parallel Z_i\parallel =R_e$，所以 $\parallel H\parallel =1$。这意味着 $M=1$，输出电压等于输入电压。这是满功率输出的最佳点。
• 偏离谐振点：不管频率是高了还是低了，$\parallel Z_i\parallel$ 都会变大，大于 $R_e$。既然分母变大了，$\parallel H\parallel$ 自然就小于 1。这意味着 $M<1$，输出电压会掉下去。

所以，串联谐振变换器有一个很明显的特征：它的转换比 $M$ 永远小于等于 1。你没法用它来升压，它天生就是个降压拓扑。这也解释了为什么它有时候被称为「step-down」谐振变换器。

还有一点，如果你把负载电阻 $R$ 减小（也就是加重负载），有效品质因数 $Q_e$ 就会变大（因为 $Q_e=R_0/R_e$，注意 $R_e$ 和 $R$ 是正相关的）。在波特图上，高 $Q_e$ 意味着谐振点处的阻抗下陷更尖锐，对应的增益曲线 $\parallel H\parallel$ 也就更尖——也就是在谐振频率附近，电压的变化会非常剧烈。

正弦近似的有效边界

公式推导完了，现在必须泼一盆冷水：这个公式在什么范围内是靠谱的？

正弦近似的核心假设是：槽路只对基波 $f_s$ 有反应，对高次谐波 $3f_s,5f_s\dots$ 没反应。这个假设成立的前提是槽路的传递函数 $H(s)$ 必须能把这些谐波滤掉。

• 当 $f_s>f_0$（高于谐振频率）：这时候 $H(s)$ 是个低通特性（或者说带通特性的右侧），频率越高衰减越厉害。谐波被滤得干干净净，正弦近似非常准。
• 当 $f_s$ 在 $f_0$ 附近：这时候虽然滤波能力不是最强，但在谐振点附近基波分量最大，谐波依然相对较弱，近似也还算靠谱。

但是，当 $f_s\ll f_0$（远低于谐振频率）时，情况就崩了。

想象一下，假如 $f_s=f_0/3$。这时候开关频率的 3 次谐波 $3f_s$ 正好等于 $f_0$！ 也就是说，那个被我们扔在一边没管的 3 次谐波，正好击中了槽路的谐振点。 虽然基波 $f_s$ 离谐振点很远、反应迟钝，但 3 次谐波却正好撞在枪口上，引发了强烈的振荡。

这时候，槽路里的电流波形就不再是漂亮的正弦波了，而是包含了大量的 3 次谐波分量。这时候再用上面的正弦近似公式去算 $M$，结果会错得离谱。

所以，对于串联谐振变换器，正弦近似法有一个严格的使用红线：别在太低的频率下工作。如果你非要这么干，那就不能用简单的正弦近似了，得用更复杂的谐波平衡法，或者老老实实回时域去仿真。

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22.2.2 串联谐振的「次谐波模式」

刚才提到的那个「3 次谐波撞上谐振点」的现象，其实不仅仅是一个误差来源，它本身甚至可以作为一种工作模式。

这就叫次谐波模式。

设想一下，如果你的开关频率 $f_s$ 刚好等于 $f_0$ 的 $1/n$（比如 $1/3,1/5$），那么第 $n$ 次谐波（$3f_s,5f_s$）就会等于 $f_0$。 如果槽路的品质因数 $Q_e$ 足够高（足够挑剔），它就会对那个撞上谐振点的 $n$ 次谐波情有独钟，而对其他所有频率（包括基波）视而不见。

这时候，虽然开关管产生的方波电压 $v_s(t)$ 里含有各种频率成分，但槽路里的电流 $i(t)$ 几乎完全是由那个 $n$ 次谐波构成的。

既然如此，我们就可以做一个更大胆的近似：干脆认为 $v_s(t)$ 就只等于它的第 $n$ 次谐波。

$$v_s(t)\approx v_{sn}(t)=\frac{4V_g}{n\pi }\sin (n{\omega }_{s}t)$$

注意这里的系数：幅值变成了 $\frac{4V_g}{n\pi }$，而不是基波的 $\frac{4V_g}{\pi }$。这是因为谐波次数越高，幅值衰减越厉害（分母多了个 $n$）；频率也变成了 $n{\omega }_s$。

接下来的分析套路就完全一样了。整流器依然把它看作一个电阻 $R_e=8R/{\pi }^2$。唯一的区别是，我们要用 $n{\omega }_s$ 去计算传递函数。

于是，转换比 $M$ 的公式就变成了：

$$M=\frac{1}{n}\parallel H(jn{\omega }_s)\parallel$$

这种情况下的特性曲线里，在 $f_s=f_0/3$ 处，又出现了一个电压峰值——这就是 3 次谐波引发的共振。

这种模式在工程上通常是被**视为「异常」或「干扰」**的。因为相比于基波谐振，次谐波模式的输出电压更低（被 $1/n$ 削弱了），功率和效率都上不去。除非你在做某些特殊的频率合成器，否则作为电源设计者，你会极力避免掉进这个坑里。

但这并不意味着你可以无视它。如果在调试过程中，你的控制环路不小心把频率拉到了 $f_0/3$ 附近，你会发现输出电压突然出现一个诡异的小峰值，波形也变样了。如果你没见过这种阵势，可能会怀疑人生。现在你知道了，这只是谐振槽路在和第 $n$ 次谐波调情而已。

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22.2.3 并联谐振变换器

看完了串联，我们把电容的位置挪一下——把它并联在负载（或者说是整流器）两端。这就得到了并联谐振变换器。

别小看这一个位置的变动，整个电路的性格都变了。

它跟串联的区别在哪？

主要区别有两点，这两点都会直接体现在我们的等效电路上：

1. 槽路结构变了：电容 $C_p$ 从串联变成了并联（跟整流网络并联）。这意味着那个万能的传递函数 $H(s)$，具体的长相肯定和串联的不一样了。
2. 整流器的负载变了：你看整流器后面接的是什么？不是刚才那个电容滤波，而是一个电感输入滤波器（Inductive Filter）。这东西会改变整流器对槽路呈现的「有效电阻」大小。

虽然细节变了，但正弦近似法的灵魂依然没变。

1. 开关网络还是产出方波 $v_s(t)$。
2. 槽路还是只取基波 $v_{s1}(t)$。
3. 整流器还是把基波分量转成直流。

我们直接跳到最关键的部分：带电感滤波的整流器怎么建模？

在串联谐振那节里，整流器后面是电容，整流器从槽路吸取电流。而在并联谐振里，整流器是由槽路电容电压 $v_R(t)$ 驱动的。 电感滤波器意味着整流器的输出电流 $I$（也就是负载电流）是恒定的（假设电感足够大，电流纹波可忽略）。

整流二极管什么时候动作？由槽路电容电压 $v_R(t)$ 过零点决定。 这就导致了整流器从槽路吸取的电流 $i_R(t)$ 是一个方波，幅值等于 $I$，而且这个方波是和电压 $v_R(t)$ 同相的。

把这个方波电流 $i_R(t)$ 做傅里叶分解，它的基波分量是：

$$i_{R1}(t)=\frac{4I}{\pi }\sin ({\omega }_{s}t-{\varphi }_R)$$

其中 ${\varphi }_R$ 是电容电压 $v_R(t)$ 的相位。

既然 $v_{R1}(t)$ 是正弦，$i_{R1}(t)$ 也是正弦，而且两者相位相同，那么整流器对于槽路来说，依然表现为一个纯电阻。这个电阻的值是多大呢？

$$R_e=\frac{v_{R1}(t)}{i_{R1}(t)}=\frac{V_{R1}}{4I/\pi }$$

接下来我们要找出 $V_{R1}$ 和直流输出电压 $V$ 的关系。 整流后的电压 $|v_R(t)|$ 经过电感滤波后变成直流。平均值是多少？ 对于正弦波 $|V_{R1}\sin (\omega t)|$，它的平均值是 $2V_{R1}/\pi$。 所以：

$$V=\frac{2V_{R1}}{\pi }⟹V_{R1}=\frac{\pi V}{2}$$

把 $V_{R1}$ 代回 $R_e$ 的式子，并利用直流负载关系 $V=IR$：

$$R_e=\frac{\pi V/2}{4I/\pi }=\frac{{\pi }^{2}V}{8I}=\frac{{\pi }^2}{8}R\approx 1.2337R$$

这个结论很有意思：并联谐振的有效电阻 $R_e$ 比实际负载电阻 $R$ 还要大。 而在串联谐振里，我们算出来 $R_e=8R/{\pi }^2\approx 0.81R$，是小于 $R$ 的。 这反映了电容滤波和电感滤波本质上的对偶性。

这就是这个整流器加电感滤波的等效电路模型。除了 $R_e$ 的值不一样，它的结构和串联谐振整流器模型一模一样。

传递函数与转换比

有了整流器的模型，整个并联谐振变换器的模型也就立起来了。 这里唯一的难点是算槽路传递函数 $H(s)$。

对于并联谐振，传递函数定义为输出电压 $v_R(t)$ 除以输入电压 $v_s(t)$。 看着电路图，其实就是 $Z_o(s)$ 分压。

$$H(s)=\frac{Z_o(s)}{sL}$$

这里的 $Z_o(s)$ 是 $L$、$C$ 和 $R_e$ 三者并联的阻抗：

$$Z_o(s)=sL\parallel \frac{1}{sC}\parallel R_e$$

我们还是用波特图来理解它的幅频特性。 $Z_o(s)$ 是三个阻抗并联，其幅值渐近线遵循「木桶效应」——哪个阻抗最小，总阻抗就等于谁。

• 低频段：电感 $\omega L$ 很小，所以 $Z_o(s)\approx \omega L$，随频率线性上升。
• 高频段：电容 $1/\omega C$ 很小，所以 $Z_o(s)\approx 1/\omega C$，随频率线性下降。
• 谐振点：电感电流和电容电流大小相等方向相反，互相抵消（Loop Current）。这时候 $L$ 和 $C$ 并联起来相当于开路，所以 $Z_o(s)$ 就只剩下 $R_e$。

$$\parallel Z_o(s){\parallel }_{s=j{\omega }_0}=R_e$$

把 $Z_o$ 的谐振值代入 $H(s)$，得到的转换比 $M$ 是：

$$M=\frac{V}{V_g}=\frac{8}{{\pi }^2}\frac{Z_o(s)}{sL}{|}_{s=j{\omega }_s}=\frac{8}{{\pi }^2}\frac{1}{\sqrt{{(1-F^2)}^2+{\left(\frac{F}{Q_e}\right)}^2}}$$

这里的 $Q_e$ 依然是 $R_0/R_e$。注意公式分母里 $1-F^2$ 那一项，跟串联谐振的 $1-(1/F{)}^2$ 比较一下，是不是有一种对偶的美感？

升压的潜质

当 $F=1$（也就是正好谐振）时，分母那项最复杂，但如果我们简化一下看，会发现此时：

$$M=\frac{8}{{\pi }^2}\frac{R_e}{R_0}=\frac{8}{{\pi }^2}\frac{\frac{{\pi }^2}{8}R}{R_0}=\frac{R}{R_0}$$

这意味什么呢？ 只要负载电阻 $R$ 大于特征电阻 $R_0$，转换比 $M$ 就能大于 1。 如果开路（$R\to \mathrm{\infty }$），理论上 $M$ 可以无穷大！ 当然，现实是残酷的，损耗会限制最大输出电压，但这至少说明：并联谐振变换器天生就是可以做升压的。

而在串联谐振里，$M$ 永远小于等于 1，这是两者最大的性格差异。

为什么这么设计（直觉）：把并联谐振的 $R_e$ 算成 $\frac{{\pi }^2}{8}R\approx 1.23R$、串联谐振算成 $\frac{8}{{\pi }^2}R\approx 0.81R$，这俩数字看着是巧合，其实是「电感滤波」与「电容滤波」对偶性的指纹。电容滤波把电流砍成脉冲，所以交流侧看到的负载更「瘦」($R_e<R$)；电感滤波把电流摊平，交流侧看到的负载更「胖」($R_e>R$)。记住这条，看见滤波形式就能秒判 $R_e$ 该往大还是往小折算。

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参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。