7.2.7 构建小信号等效电路模型

我们在上一节的结尾处，得到了一组描述 Buck-Boost 变换器行为的线性化方程（式 7.37、7.40、7.43）。既然数学推导已经把非线性的开关网络「驯服」了，现在的任务，就是把这些抽象的代数方程，还原回我们工程师熟悉的电路图。

回想一下在第 3 章里我们是怎么处理直流方程的：我们把方程看作是对节点电流（KCL）和回路电压（KVL）的描述，然后根据这些方程画出对应的电阻、电源和变压器。我们在这里做完全相同的事情，只不过这次的对象是「小信号交流」模型。

先把这些线性化的方程重新列在下面，它们是我们要构建的一切蓝图：

$$\begin{array}{rl}L\frac{d\hat{i}(t)}{dt}& =D{\hat{v}}_g(t)+D^{\prime }\hat{v}(t)+(V_g-V)\hat{d}(t)\\ C\frac{d\hat{v}(t)}{dt}& =-D^{\prime }\hat{i}(t)-\frac{\hat{v}(t)}{R}+I\hat{d}(t)\\ {\hat{i}}_g(t)& =D\hat{i}(t)+I\hat{d}(t)\end{array}$$

7.2.7.1 第一步：重建电感回路

先看第一个方程。这个方程是怎么来的？它是我们对电感电压进行平均化、扰动和线性化之后得到的。既然它描述的是电感两端的电压关系，那么它自然对应于电路中的一个回路——这个回路的中心就是电感 $L$，流过的电流是小信号电感电流 $\hat{i}(t)$。

我们可以把方程重排一下，看作是电压平衡：

$$\underset{\text{电感电压}}{\underbrace{L\frac{d\hat{i}(t)}{dt}}}=\underset{\text{受控源项}}{\underbrace{D{\hat{v}}_g(t)+D^{\prime }\hat{v}(t)}}+\underset{\text{控制源项}}{\underbrace{(V_g-V)\hat{d}(t)}}$$

这不仅仅是一个公式，这是一张电路说明书：

1. $L\frac{d\hat{i}(t)}{dt}$：这是线性电感 $L$ 两端的电压，符号定义遵循 passive sign convention。
2. $D{\hat{v}}_g(t)$：这是一个受控电压源，它的值受输入电压 ${\hat{v}}_g(t)$ 控制，系数是 $D$。
3. $D^{\prime }\hat{v}(t)$：这是另一个受控电压源，受输出电压 $\hat{v}(t)$ 控制，系数是 $D^{\prime }$。
4. $(V_g-V)\hat{d}(t)$：这是一个独立电压源（在交流模型中），但它实际上是由控制输入 $\hat{d}(t)$ 激励的。注意这里的系数 $(V_g-V)$ 是直流稳态值。

我们将这些元件画出来，就得到了电感回路这一段子电路。

[思维模型切换] 这里有两个电压源 $D{\hat{v}}_g$ 和 $D^{\prime }\hat{v}$。如果你觉得它们只是孤立的源，那还不够。 在直流模型里，我们见过类似的项，它们最终被整合成了「直流变压器」。这里的 $D$ 和 $D^{\prime }$ 其实也是变压器的伏秒关系的体现。等到我们最后一步组装时，这两个源会再次「合体」。

7.2.7.2 第二步：重建电容节点

接下来是第二个方程。这个方程来自电容电流的节点分析（KCL），它描述了所有流入电容节点的电流：

$$\underset{\text{电容电流}}{\underbrace{C\frac{d\hat{v}(t)}{dt}}}=\underset{\text{受控源项}}{\underbrace{-D^{\prime }\hat{i}(t)}}\underset{\text{负载电阻项}}{\underbrace{-\frac{\hat{v}(t)}{R}}}+\underset{\text{控制源项}}{\underbrace{I\hat{d}(t)}}$$

对应的电路物理意义如下：

1. $C\frac{d\hat{v}(t)}{dt}$：这是流过电容 $C$ 的电流。
2. $-D^{\prime }\hat{i}(t)$：这是一个受控电流源。注意前面的负号，说明电流方向是流出节点的（或者 $\hat{i}$ 是流入）。这个项最终也会被变压器吸收。
3. $-\hat{v}(t)/R$：这一项我们非常熟悉，它就是欧姆定律。它代表了负载电阻 $R$ 上的电流。因为电阻和电容并联，电阻两端电压自然也是 $\hat{v}(t)$。
4. $I\hat{d}(t)$：这是另一个由控制变量 $\hat{d}(t)$ 激励的独立电流源，系数是直流电感电流 $I$。

把这些元件拼在一起，就得到了电容节点的子电路。你看，数学公式和电路拓扑是一一对应的，这就像是在做「连连看」，把方程里的每一项都落地到元件上。

7.2.7.3 第三步：重建输入端口

最后一个方程描述的是输入端的电流关系。它定义了变换器从电源 ${\hat{v}}_g$ 汲取的电流 ${\hat{i}}_g(t)$ 是多少：

$${\hat{i}}_g(t)=D\hat{i}(t)+I\hat{d}(t)$$

这代表了一个并联结构（或者说两个支路的电流和）：

1. $D\hat{i}(t)$：一个受控电流源，电流比例等于占空比 $D$。
2. $I\hat{d}(t)$：一个受控于 $\hat{d}(t)$ 的独立电流源。

这一步对应的就是输入端口的子电路。

7.2.7.4 最终组装：标准型模型的诞生

现在我们手里有了三块拼图，是时候把它们拼起来了。

如果把刚才那三块子电路直接堆在一起，看起来会有点乱——尤其是那些到处都是的受控源（$D{\hat{v}}_g$, $D^{\prime }\hat{i}$ 等）。

还记得我们在第 3 章直流模型里做过的事吗？那些受控源其实可以合并成理想变压器。我们在交流模型里做同样的事。

那些成对出现的受控源（$D{\hat{v}}_g$ 和 $D\hat{i}$）可以被整合成一个变压器。这个变压器符号上叠加着交流小信号标记，告诉我们：这是一个理想变压器，并且它处理的是交流小信号。

这揭示了一个深刻的物理事实：变换器的直流变比特性（DC Transformer Property），不仅仅决定了稳态电压转换关系，它也支配着小信号动态行为。 输入端的扰动会通过这个「交流变压器」传递到输出端，反之亦然。

这样拼出来的，就是我们梦寐以求的——Buck-Boost 变换器的小信号交流等效电路模型。

有了这张图，我们就可以扔掉那些复杂的微分方程，直接用我们在电路分析课上学过的线性电路技巧（拉普拉斯变换、阻抗分析、节点法）来计算传递函数（比如 $G_{vd}(s)$ 和 $G_{vg}(s)$）或者输入输出阻抗了。具体的计算过程我们留到下一章。

⚠️ 实战提示 别被这张图的简洁骗了。虽然它看起来像是一个普通的线性电路，但每一个元件的参数（特别是受控源）都依赖于你的直流工作点（$D,V,I$）。 这意味着：如果你改变了占空比，或者输入电压变了，这个「交流模型」本身的参数也会变。它不是一张通用的电路图，它是针对特定工作点的「线性化快照」。

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7.2.8 深入探讨：扰动与线性化的数学本质

刚才我们通过代数变换把方程线性化了，这在直观上很好理解。但在数学上，这一步到底对应着什么操作？

答案是：泰勒展开。

当我们说「忽略微小量的乘积」时，我们实际上是在做一阶泰勒近似。让我们回到那个非线性的电感方程（式 7.29）：

$$L\frac{d⟨i(t){⟩}_T}{dt}=d(t)⟨v_g(t){⟩}_T+d^{\prime }(t)⟨v(t){⟩}_T=f_1(⟨v_g⟩,⟨v⟩,d)$$

我们把右侧的这个非线性函数记为 $f_1$。现在的任务是在准静态工作点 $(V_g,V,D)$ 附近把它展开。这是一个三维泰勒展开：

$$L(\frac{dI}{dt}+\frac{d\hat{i}(t)}{dt})=f_1(V_g,V,D)+{\hat{v}}_g(t)\frac{\partial f_1}{\partial v_g}{|}_{vg=V_g}+\hat{v}(t)\frac{\partial f_1}{\partial v}{|}_{v=V}+\hat{d}(t)\frac{\partial f_1}{\partial d}{|}_{d=D}+\text{高阶项}$$

这里有个细节要注意：$\frac{dI}{dt}$ 是多少？因为 $I$ 是直流稳态值（常数），所以它的导数是 0。

现在我们来利用这个展开式。首先看左边的 0 和右边的 $f_1(V_g,V,D)$，它们构成了直流平衡方程：

$$0=f_1(V_g,V,D)=D{V}_g+D^{\prime }V$$

这其实就是我们熟知的伏秒平衡原则。线性化操作的前提是系统已经处于直流平衡态。

接下来看那些偏导数系数，它们正是线性化方程的骨架：

1. 对 $v_g$ 的偏导：

   $$\frac{\partial f_1}{\partial v_g}=\frac{\partial }{\partial v_g}(d{v}_g+d^{\prime }v)=d$$

   在工作点处，取 $d=D$，所以系数是 $D$。这解释了线性方程里 $D{\hat{v}}_g$ 的来源。

2. 对 $v$ 的偏导：

   $$\frac{\partial f_1}{\partial v}=\frac{\partial }{\partial v}(d{v}_g+d^{\prime }v)=d^{\prime }$$

   在工作点处，取 $d^{\prime }=D^{\prime }$，所以系数是 $D^{\prime }$。这解释了 $D^{\prime }\hat{v}$。

3. 对 $d$ 的偏导：

   $$\frac{\partial f_1}{\partial d}=\frac{\partial }{\partial d}(d{v}_g+(1-d)v)=v_g-v$$

   在工作点处，取 $v_g=V_g,v=V$，所以系数是 $V_g-V$。这解释了那个由 $\hat{d}$ 激励的电压源 $(V_g-V)\hat{d}$。

把这些系数代回泰勒展开式，扔掉高阶项，我们就得到了：

$$L\frac{d\hat{i}(t)}{dt}=D{\hat{v}}_g(t)+D^{\prime }\hat{v}(t)+(V_g-V)\hat{d}(t)$$

这和我们之前用代数「暴力展开」得到的结果（式 7.37）完全一致。

这就给了我们一个通用的「作弊码」：不管你的开关变换器电路多复杂，只要你能写出它的非线性平均状态方程，你就可以在工作点附近求偏导数，自动得到线性化的小信号模型。

推广：非线性负载的处理

这个泰勒展开的方法不仅适用于变换器本身，也适用于处理非线性负载。

假设你的负载不是个简单的电阻，而是一个非线性元件，满足 $i=f(v)$，比如二极管或者一个稳压管。 在直流分析时，你需要解非线性方程组找到工作点 $(V,I)$。但在小信号模型里，我们只需要在工作点处把它线性化：

$$i=f(v)⟹I+\hat{i}\approx f(V)+\hat{v}\frac{df}{dv}{|}_{v=V}$$

这里 $f(V)=I$，所以小信号交流项满足：

$$\hat{i}=\hat{v}\cdot \frac{df}{dv}{|}_{v=V}$$

你会发现，这个 $\frac{df}{dv}$ 的物理单位是电导（西门子）。我们定义增量电阻 $R$ 为：

$$\frac{1}{R}=\frac{df}{dv}{|}_{v=V}$$

结论就是：在工作点附近，任何非线性负载在小信号模型里都可以等效为一个线性电阻 $R$。这个电阻的值不是固定不变的，它取决于你的直流工作电压 $V$。

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7.2.9 成果展示：三大基本变换器模型清单

有了前面这套通用的推导方法，我们可以把教科书里最经典的三个 CCM 变换器的小信号模型全部列出来。

Buck、Boost、Buck-Boost 三者的最终形态如下。

1. Buck：模型里有一个 $1:D$ 的理想变压器。这意味着输入电压的扰动 ${\hat{v}}_g$ 会直接按比例耦合到输出端，没有任何反相。
2. Boost：模型里有一个 $D^{\prime }:1$ 的理想变压器。注意这里的变比关系。输入电压扰动在经过变压器时会经历一个增益变化。
3. Buck-Boost：模型里有两个级联的变压器（Buck + Boost），或者合并成一个 $D:D^{\prime }$ 的变压器。这也印证了我们之前对 Buck-Boost 物理结构的理解——它本质上是一个 Buck 级联一个 Boost。

关于变压器隔离版本 如果你想画 Forward（正激）或 Flyback（反激）的模型，不需要重新推导一遍。只需要在这个通用模型的基础上，把那个理想变压器的变比（Turns Ratio）替换成包含隔离变压器匝数比 $n$ 的形式即可。电路的结构和拓扑是不变的，变的只是参数。

这就完成了。从非线性的开关波形，到一阶线性微分方程，再到最后这张只有 $RLC$ 和受控源的电路图。这就是为什么我们能用控制理论去设计电源的原因——因为在这一刻，电源变成了电路。

💡 一招自检：把这套等效电路画完后，别急着用，先做两个 sanity check。第一，把所有受控源断开、$\hat{d}=0$，剩下的应该正好退化成第 3 章的直流模型（变压器变比 $M(D)$、负载 $R$），如果对不上说明系数抄错了。第二，把 ${\hat{v}}_g$ 当激励、$\hat{d}=0$，算出来的应当是输入到输出增益 $G_{vg}$，且它在直流下应等于 $M(D)$——这能帮你确认变压器变比方向没装反。

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参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。