高频动力学：当模型失效时

18.7 高频动力学：当模型失效时

我们在上一节里用非常顺滑的逻辑完成了一次电压环设计。顺滑到如果你不往下深究，可能会误以为整个 CPM 系统就是那个一阶模型描述的那样：一个完美的极点，一个完美的响应。

但在做工程的人都知道，「完美」通常是忽略细节的代价。

我们之前建立的「精确 CPM 模型」（18.3 节）虽然比简单模型进了一步，但它本质上还是一个连续时间的平均模型。它做了这样一个假设：电感电流是连续的，PWM 调制器也是连续的。

这个假设在低频时没问题，但一旦频率升高，开关动作的「颗粒感」就会显现出来。

这里有一个非常重要的问题：平均模型预测的 Gic(s) 在高频下是一条直线（0dB），但实际采样系统的行为真的如此吗？更重要的是，平均模型根本解释不了我们在 18.2 节里提到的「次谐波振荡」——在平均模型的世界里，只要加了负反馈，系统就是稳定的，哪来的震荡？

答案藏在离散时间的细节里。这一节，我们要把开关动作的「采样开关」找回来，看看它到底在高频干了什么。

18.7.1 采样数据模型

让我们回到波形发生的现场。

想想 CPM 变换器里我们真正看到的东西：锯齿波、控制信号 $i_{c}$ 、电感电流 $i_{L}$ 。当我们在第 $n$ 个周期引入一个扰动 ${\hat{i}}_{c}$ 时，系统是怎么反应的？

这里有两个关键点需要建立直觉：

采样动作：控制器只在开关周期结束时（或者说开关关断那一刻）看一眼电感电流。它不在乎周期中间电流怎么波动，只在乎那个瞬间的值。这就是典型的采样。
** 保持特性**：电感电流虽然是物理量，是连续的，但在数学上，它是由上一个周期的状态「保持」过来的，像是一个阶梯波。

从几何到代数：特征值重现

盯着第 $n$ 个周期的采样时刻 $t = D T_{s}$ 附近的波形细节看一会儿。

假设我们在第 $n - 1$ 个周期已经有了一个电流扰动 ${\hat{i}}_{L} [n - 1]$ 。到了第 $n$ 个周期，因为控制信号变了（ ${\hat{i}}_{c} [n]$ ），开关时刻被提前或延后了 $\hat{d} [n] T s$ 。

根据几何关系，我们可以写出两个非常直白的方程。

第一个是新的电感电流扰动 ${\hat{i}}_{L} [n]$ 。它由上一代的值 ${\hat{i}}_{L} [n - 1]$ 加上占空比变化带来的电流增量：

{\hat{i}}_{L} [n] = {\hat{i}}_{L} [n - 1] + (m_{1} + m_{2}) \hat{d} [n] T_{s} (18.160)

第二个是控制信号 ${\hat{i}}_{c} [n]$ 的采样值。它也是基于上一代的电感电流 ${\hat{i}}_{L} [n - 1]$ ，但注意这里的斜率是 $m_{1}$ 和人工斜坡 $m_{a}$ ：

{\hat{i}}_{c} [n] = {\hat{i}}_{L} [n - 1] + (m_{1} + m_{a}) \hat{d} [n] T_{s} (18.161)

这两个方程是理解整个高频动力学的地基。如果我们把 $\hat{d} [n]$ 消掉，把这两个方程联立，就能得到一个纯粹的迭代关系：

{\hat{i}}_{L} [n] = α {\hat{i}}_{L} [n - 1] + (1 - α) {\hat{i}}_{c} [n] (18.162)

这里的 $α$ 就是我们在 18.2 节里那个让人心惊肉跳的特征值：

α = - \frac{m_{2} - m_{a}}{m_{1} + m_{a}} (18.163)

回收验证：还记得我们在 18.2 节里画过的那些三角形推导吗？那里我们得出结论：如果 $| α | < 1$ ，扰动会衰减；如果 $| α | > 1$ ，扰动会爆炸。现在通过代数方法，我们完全得出了同一个系数——这证明了那个几何直觉是对的。

Z 域传递函数

有了这个差分方程（18.162），我们就可以求出离散域的传递函数。对两边做 Z 变换：

{\hat{i}}_{L} (z) = α {\hat{i}}_{L} (z) z^{- 1} + (1 - α) {\hat{i}}_{c} (z)

整理一下，得到离散传递函数 $G_{i c} (z)$ ：

G_{i c} (z) = \frac{{\hat{i}}_{L} (z)}{{\hat{i}}_{c} (z)} = \frac{1 - α}{1 - α z^{- 1}} (18.165)

这是一个一阶系统。极点在 $z = α$ 。对于离散系统，稳定性判据非常直观：极点必须在单位圆内。也就是说：

| z_{p} | = | α | < 1 (18.166)

这再次印证了 18.2 节的结论。如果 $α$ 跑出了单位圆，系统就不稳定了。

从离散回到连续：零阶保持

我们现在手里有一个 Z 域的传递函数，它描述的是采样点之间的关系。但实际物理世界里，电感电流 ${\hat{i}}_{L} (t)$ 是连续的——它是由这些采样点「保持」形成的。

这就引入了一个零阶保持 的模型。它的作用是把一串离散的脉冲变成连续的阶梯信号。零阶保持的传递函数是经典的：

\frac{1 - e^{- s T_{s}}}{s T_{s}} (18.167)

结合 Z 域部分（18.165）和保持器部分（18.167），并考虑采样带来的频谱效应（因子 $T_{s}$ ），我们可以得到最终的采样数据传递函数 $G_{i c} (s)$ ：

G_{i c} (s) = \frac{{\hat{i}}_{L}}{{\hat{i}}_{c}} = \frac{1 - α}{1 - α e^{- s T_{s}}} \frac{1 - e^{- s T_{s}}}{s T_{s}} (18.168)

这个公式看起来有点吓人，但它把所有真相都写在了脸上： $e^{- s T_{s}}$ 就是那个不按常理出牌的延时项，它是高频特性的源头。

真实的幅频特性：共振与滚降

让我们把这个公式代入具体的数值，看看它到底长什么样。

以一个 Buck 变换器为例：

$f_{s} = 100 kHz$
$D = 0.5$ （占空比 50%，这是临界点）
$V_{g} = 10 V$ , $V = 5 V$
$L = 5 μ H$
斜率 $M_{1} = M_{2} = 1 A/ μ s$

我们来看不同人工斜坡 $M_{a} / M_{2}$ 下的幅频响应曲线。

场景 1：极小的斜坡补偿 ( $M_{a} / M_{2} = 0.1$ )

这时候 $α = - 0.82$ 。虽然还在稳定区（ $| - 0.82 | < 1$ ），但非常接近边缘。
看点：幅频响应在 $f_{s} / 2 = 50 kHz$ 附近出现了一个巨大的尖峰。相频响应则断崖式下跌，直接从 0° 掉到 -180°。
直觉：这是典型的采样共振。系统在半个开关频率处非常敏感，任何一点扰动都会被放大。如果 $M_{a} = 0$ ，这个尖峰会变成无穷大（因为 $| α | = 1$ ），这就是纯粹的次谐波振荡。

场景 2：足够的斜坡补偿 ( $M_{a} / M_{2} = 0.5$ )

这对应了 $M_{a} = 0.5 M_{2}$ ，这通常被认为是一个很好的工程值，能保证全占空比范围的稳定性。
看点：高频尖峰消失了，曲线在接近 $f_{s} / 2$ 之前都很平缓。

场景 3：过补偿 ( $M_{a} / M_{2} = 5$ )

看点：幅频曲线开始在一个较低的频率处就开始下降。
代价：虽然稳定性极佳，但我们牺牲了带宽。电流环响应变慢了。

这就给了我们一个非常重要的工程直觉：斜坡补偿不是加得越多越安全，它是有代价的——带宽。

18.7.2 一阶近似：它是谁？它哪里不准？

现在我们要做一件很有趣的事：把刚刚那个复杂的采样模型（18.168）退化回我们熟悉的平均模型。

我们知道，平均模型（18.3 节的精确模型）给出的高频预测是一个单极点形式：

G_{i c} (s) \approx \frac{1}{1 + \frac{s}{ω_{h f}}} (18.157)

这个结果是怎么得来的？其实就是对 $e^{- s T_{s}}$ 做了一个一阶 Padé 近似。

Padé 近似用两个多项式之比来模拟延时：

e^{- s T_{s}} \approx \frac{1 - \frac{s}{ω_{s} / π}}{1 + \frac{s}{ω_{s} / π}} (18.169)

这个近似很有意思，它引入了一个右半平面（RHP）零点和一个极点，频率都在 $f_{s} / π$ 。虽然它把纯延时变成了相位移，但幅值特性保持了 1（0dB），这在数学上是个很巧妙的平衡。

如果我们把这个近似代入那个复杂的采样模型公式（18.168），经过一番代数化简，神奇的事情发生了：

G_{i c} (s) \approx \frac{1}{1 + \frac{s}{ω_{h f}}}

其中：

f_{h f} = \frac{1 - α}{1 + α} \frac{f_{s}}{π} = \frac{M_{1} + M_{2}}{2 M_{a} + M_{1} - M_{2}} \frac{f_{s}}{π} (18.171)

这就和 18.3 节的「精确平均模型」（18.157 式）完全一模一样。

这揭示了一个事实：我们在 18.3 节里引以为傲的「精确模型」，其实就是采样数据模型的一阶近似。

那么，这个近似什么时候会失效？

看看一阶近似和真实采样模型的对比。

当 $M_{a} / M_{2} = 0.1$ （接近不稳定）时：一阶近似（虚线）预测极点在 $3.2 f_{s}$ （非常高），意思是「系统高频增益很大，没问题」。但实际上（实线），系统在 $f_{s} / 2$ 处已经炸了。一阶近似完全掩盖了次谐波振荡的风险。
当 $M_{a} / M_{2} = 0.5$ （工程推荐值）时：一阶近似在 $f_{s} / 5$ 以下还比较准。但在接近 $f_{s} / 2$ 时，它还是预测不准相位。
当 $M_{a} / M_{2} = 5$ （过补偿）时：两条线几乎重合。因为 $α$ 很小，系统的采样特性不明显，表现得更像一个连续模拟系统。

结论：如果你只做一阶近似（也就是只用平均模型设计），你在斜坡补偿较小的时候会盲目乐观。你会以为你的带宽很高，但实际上你的系统在 $f_{s} / 2$ 处随时准备振铃。

18.7.3 二阶近似：预测灾难

既然一阶近似（RHP 零点 + 极点）不够准，尤其是在接近不稳定的时候，那我们能不能更精确一点？

可以。我们对 $e^{- s T_{s}}$ 使用二阶 Padé 近似：

e^{- s T_{s}} \approx \frac{1 - π (\frac{s}{ω_{s} / 2}) + (\frac{s}{ω_{s} / 2})^{2}}{1 + π (\frac{s}{ω_{s} / 2}) + (\frac{s}{ω_{s} / 2})^{2}} (18.172)

这就引入了一对 RHP 零点和一对极点。它们有相同的中心频率（ $f_{s} / 2$ ）和相同的 Q 值。

把它代入模型，我们可以得到一个新的二阶传递函数形式：

G_{i c} (s) \approx \frac{1}{1 + \frac{1}{Q_{h f}} \frac{s}{ω_{s} / 2} + (\frac{s}{ω_{s} / 2})^{2}} (18.173)

这里的 Q 值是关键：

Q_{h f} = \frac{2}{π} \frac{1 - α}{1 + α} = \frac{2}{π} \frac{1}{1 - 2 D + 2 D \frac{M_{a}}{M_{2}}} (18.175)

请注意这个分母。当系统接近不稳定边界时， $α \to - 1$ ，分母趋近于 0， $Q_{h f} \to \infty$ 。

这就对了。无限大的 Q 值意味着在 $f_{s} / 2$ 处有一个无限高的共振峰。这正是次谐波振荡在频域里的表达方式！

二阶近似（虚线）与真实采样模型（实线）对比下来，即使是在 $M_{a} / M_{2} = 0.1$ 这种极其恶劣的情况下，二阶近似也能完美地捕捉到那个在 $f_{s} / 2$ 处耸立的高峰。

这一节的启示：

如果你想做一个教科书式的完美设计，别太迷信那个简单的一阶平均模型。当你的占空比超过 50% 或者你不想加太大的斜坡补偿时，那个模型在骗你。要小心 $f_{s} / 2$ 这个陷阱——这才是 CPM 高频动力学的真实面貌。

为什么这么设计：为什么偏偏是 $f_{s} / 2$ ？因为采样数据系统的奈奎斯特频率就是采样频率的一半。CPM 每个开关周期采样一次电流，所以它「看得见」的最高频率就是 $f_{s} / 2$ 。任何高于 $f_{s} / 2$ 的扰动都会被混叠回来，伪装成一个低频信号——这就是为什么 $f_{s} / 2$ 处会出现那个尖峰，它是采样定理在控制环路里的回声。理解了这一层，你就明白为什么数字电源里也经常在 $f_{s} / 2$ 附近设计陷波或斜坡补偿了：大家踩的是同一个坑。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

18.7 高频动力学：当模型失效时 ​

18.7.1 采样数据模型 ​

从几何到代数：特征值重现 ​

Z 域传递函数 ​

从离散回到连续：零阶保持 ​

真实的幅频特性：共振与滚降 ​

18.7.2 一阶近似：它是谁？它哪里不准？ ​

18.7.3 二阶近似：预测灾难 ​