11.3 多绕组磁元件设计：扩展 Kg 法

上一节我们用一张“评分卡”——$K_g$ 法——搞定了单绕组电感的设计。那张卡片左边写着磁芯的几何能力，右边写着你的电气需求。

但这种简单情况在工程世界里往往不够用。现实中的变换器不只是需要一个电感，它们通常还需要变压器、耦合电感，或者反激变换器里的那个“既像变压器又像电感”的东西。这些器件身上挂着不止一个绕组。

现在问题变复杂了：我们不再是在窗口里填满一根铜线，而是要把有限的窗口面积 $W_A$ 分给好几个绕组，每个绕组还流着不同的电流。给初级绕组分多了，次级就得吃亏；分少了，初级可能先烧毁。

这一节我们要做两件事：

1. 先解决“分家产”的问题：窗口面积到底该怎么分，才能让总铜损最小？
2. 有了分家产的规则后，把之前的 $K_g$ 法推而广之，搞定多绕组器件（如耦合电感、反激变压器）的设计。

---

11.3.1 窗口面积分配：按需分餐

想象一下磁芯的窗口 $W_A$ 是一块有限的披萨饼。现在有几个饿死鬼（绕组）围着桌子，每个绕组都有自己的匝数 $n_j$ 和电流 $I_j$。

如果我们要切开这块披萨，每块占总面积的比例设为 ${\alpha }_j$（比如 ${\alpha }_1=0.4$ 表示 40% 的面积给了绕组 1）。显然：

$${\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_k=1$$

我们要找一个分配方案 ${\alpha }_j$，让大家的总铜损 $P_{cu,tot}$ 最小。

直觉上，这是一个有约束的优化问题。

绕组电阻的几何约束

先看第 $j$ 个绕组的电阻 $R_j$ 是怎么决定的。根据电阻公式 $R=\rho \ell /A_W$：

1. 导线长度 ${\ell }_j$：等于匝数 $n_j$ 乘以每匝平均长度 $MLT$（Mean Length per Turn）。$${\ell }_j=n_j(MLT)$$
2. 导线截面积 $A_{W,j}$：这个绕组分到的窗口面积是 ${\alpha }_j{W}_A$，但这只是铜线的“裸面积”，还要考虑到绝缘层、圆形线无法完美填充矩形空隙（填充系数 $K_u$）。所以实际能分到的净铜面积是：$$A_{W,j}=\frac{{\alpha }_j{W}_A{K}_u}{n_j}$$（注意：分母有个 $n_j$，因为总面积是分给 $n_j$ 匝线共同使用的。）

把它们代入电阻公式，得到第 $j$ 个绕组的电阻：

$$R_j=\frac{\rho n_j^2(MLT)}{W_A{K}_u{\alpha }_j}$$

你看，这个电阻非常敏感：匝数 $n_j$ 是平方关系。如果你不舍得给面积（${\alpha }_j$ 很小），或者匝数太多，电阻就会呈爆炸式增长。

总铜损的表达式

有了电阻，第 $j$ 个绕组的铜损就是 $I_j^2{R}_j$。把上面那个 $R_j$ 代进去：

$$P_{cu,j}=\frac{n_j^2{I}_j^2\rho (MLT)}{W_A{K}_u{\alpha }_j}$$

现在把所有绕组的损耗加起来，就是总铜损 $P_{cu,tot}$：

$$P_{cu,tot}=\sum _{j=1}^k{P}_{cu,j}=\frac{\rho (MLT)}{W_A{K}_u}\sum _{j=1}^k\left(\frac{n_j^2{I}_j^2}{{\alpha }_j}\right)$$

寻找最优解

我们要让 $P_{cu,tot}$ 最小。 这事儿有点反直觉。让我们想想极端情况：

• 情况 A：把所有窗口都给绕组 1（${\alpha }_1=1$，其他为 0）。 绕组 1 的电阻极小，损耗极低。但其他绕组的电阻趋于无穷大，总损耗直接爆炸。
• 情况 B：把所有窗口都给绕组 2。 同样的灾难，只是主角换了。

所以，最优解一定在中间的某一点。

用拉格朗日乘数法（这名字听着吓人，其实就是求极值的数学工具）对上面那个带约束的求和公式一顿操作，我们会得到一个极其优美的结论。

最优的面积分配比例 ${\alpha }_m$ 应该满足：

$${\alpha }_m=\frac{n_m{I}_m}{\sum _{j=1}^k{n}_j{I}_j}$$

这个结论意味着什么？

还记得理想变压器的伏秒平衡吗？绕组电压是和匝数成正比的（$V_j/n_j=\text{const}$）。如果我们把分子分母同乘以电压 $V_m$（或者任意比例系数），这个公式就变成了：

$${\alpha }_m=\frac{V_m{I}_m}{\sum _{j=1}^k{V}_j{I}_j}$$

看，这就是视在功率（Apparent Power）。

窗口分配黄金法则： 为了让总铜损最小，你应该按每个绕组的“视在功率”比例来分配窗口面积。功率大的绕组，分到的地盘就要大。

这完全符合直觉：干活（传输功率）多的绕组，当然要给它更粗的线。

实战演练：全桥变压器

书里给了一个例子：PWM 全桥变换器，带中心抽头次级。这可以看作是一个 3 绕组变压器（1 个初级，2 个次级）。

• 初级（1）：匝比 $n_1$，电流波形是占空比 $D$ 的方波，RMS 值 $I_1$。
• 次级（2, 3）：匝比 $n_2$，每个次级只在半个周期工作，RMS 值 $I_2,I_3$。

计算出来的 RMS 电流大概是：

$$I_1\propto \sqrt{D}$$$$I_2=I_3\propto \sqrt{1-D}$$

如果你把 $n_1,n_2,I_1,I_2$ 代进上面的最优 $\alpha$ 公式，你会发现当占空比 $D=0.75$ 时：

• 初级分得 ${\alpha }_1\approx 0.396$（约 40%）
• 次级每半个绕组分得 ${\alpha }_2={\alpha }_3\approx 0.302$（各约 30%）

这不仅仅是数学推导，这是你的绕线机应该遵循的物理法则。

---

11.3.2 耦合电感设计：Kg 法的全面升级

现在我们知道怎么分地盘了，接下来要把这套逻辑整合进 $K_g$ 法里，设计一个耦合电感（Coupled Inductor）或反激变压器。

设计目标通常有三个硬指标：

1. 励磁电感 $L_M$：决定了储能多少。
2. 最大磁通密度 $B_{max}$：决定了会不会饱和炸机。
3. 总铜损 $P_{cu}$：决定了效率。

物理图像：磁路模型

看一眼那个多绕组磁件的磁路模型。 虽然有好几个绕组，但在磁芯里，所有的磁通最终都是通过那个气隙（Air Gap） 走的。

根据安培定律，把所有绕组的电流归算到初级（Winding 1），我们可以定义一个等效的励磁电流 $i_M(t)$：

$$i_M(t)=i_1(t)+\frac{n_2}{n_1}{i}_2(t)+\cdots +\frac{n_k}{n_1}{i}_k(t)$$

这个 $i_M$ 才是真正产生磁通的那股电流。

避免饱和：气隙与匝数

为了不让磁芯饱和，磁通密度 $B(t)$ 必须小于饱和密度 $B_{sat}$。最大值发生在励磁电流达到峰值 $I_{M,max}$ 的时候。

$$n_1{I}_{M,max}=B_{max}{A}_c{\mathcal{R}}_g$$

这里 ${\mathcal{R}}_g={\ell }_g/{\mu }_0{A}_c$ 是气隙磁阻。这个公式和单绕组的一模一样，只是电流换成了归算后的 $I_{M,max}$。

建立电感量

我们要的励磁电感 $L_M$（在初级测得）是：

$$L_M=\frac{n_1^2}{{\mathcal{R}}_g}=\frac{{\mu }_0{n}_1^2{A}_c}{{\ell }_g}$$

这也和单绕组一样。

铜损约束（新部分）

这里就要用到 11.3.1 节的结论了。如果我们按照视在功率最优原则分配了窗口面积，那么总铜损 $P_{cu}$ 的公式会变成一个非常简洁的形式（引入 $I_{tot}$ 表示归算到初级的总等效电流）：

$$P_{cu}=\frac{\rho (MLT)n_1^2{I}_{tot}^2}{W_A{K}_u}$$

其中：

$$I_{tot}=\sum _{j=1}^k\frac{n_j}{n_1}{I}_j$$

你会发现，这个公式和单绕组的 $P_{cu}=I^{2}R$ 形式完全一样，只是把 $I$ 换成了 $I_{tot}$。这就是归一化的美妙之处。

推导多绕组 Kg 公式

好了，手里有了三张牌：

1. 磁路/电感方程：关联 $L_M,n_1,{\ell }_g$
2. 饱和方程：关联 $I_{M,max},B_{max},n_1,{\ell }_g$
3. 铜损方程：关联 $P_{cu},I_{tot},n_1$

我们的目标是消掉中间变量（匝数 $n_1$、气隙 ${\ell }_g$），直接把**几何参数（$A_c,W_A,MLT$）和电气参数（$L_M,I_{tot},I_{M,max},B_{max},P_{cu}$）**联系起来。

一顿推导操作后（就像我们在单绕组那一节做的一样），你会得到下面这个最终的 $K_g$ 判据：

$$\left(\frac{A_c^2{W}_A}{MLT}\right)=K_g\ge \frac{\rho L_M^2{I}_{tot}^2{I}_{M,max}^2}{B_{max}^2{K}_u{P}_{cu}}$$

对比一下单绕组的公式。你会发现 $I_{rms}^2$ 变成了两个电流的乘积：$I_{tot}^2\times I_{M,max}^2$。

为什么会有两个电流？

• $I_{M,max}$：代表磁芯里的能量/磁通压力。它决定了磁芯会不会饱和。
• $I_{tot}$：代表铜线里的发热压力。它决定了铜损。

在耦合电感里，这两个电流往往是不一样的！ 比如在反激变换器里，$I_{M,max}$ 是峰值电流（决定饱和），而 $I_{tot}$ 是有效值电流（决定发热）。如果只看其中一个，你可能会选错磁芯。

直觉补一刀：把这两个电流的关系记成「一个是峰值压力表，一个是平均温度计」就好懂了。$I_{M,max}$ 像汽缸里的峰值爆发压力——它一超标，磁芯当场「爆缸」（饱和）；$I_{tot}$ 像发动机长时间工作的平均温度——它超标不会瞬间炸，但铜线会慢慢被烤到绝缘老化。反激恰恰是这俩读数差得最远的拓扑：初级电流是窄而高的尖峰（峰值压力惊人），有效值却不高（平均发热温和）。所以反激变压器经常出现「$K_g$ 算下来磁芯不大，但实际一上电就饱和」——多半是只盯着 $I_{tot}$ 选磁芯，忘了校核 $I_{M,max}$。

---

11.3.3 第一轮设计流程

有了公式，现在可以上号了。这是一个标准的 6 步流程。

输入参数（给定的）：

• 电气需求：$L_M$, $I_{M,max}$, 允许铜损 $P_{cu}$, 各绕组匝比, 各绕组 RMS 电流。
• 材料限制：$B_{max}$, 填充系数 $K_u$。
• 物理常量：铜电阻率 $\rho$。

---

1. 选磁芯（算 Kg）

这是最关键的一步。把你的所有电气指标代进右边的公式：

$$K_g\ge \frac{\rho L_M^2{I}_{tot}^2{I}_{M,max}^2}{B_{max}^2{K}_u{P}_{cu}}\times {10}^8$$

（注：乘以 ${10}^8$ 是为了把单位从米制换算到常用的厘米制，因为磁芯手册通常用 cm。）

算出这个数值后，去翻厂家的手册。找一个 $K_g$ 值比你算出来的值大的磁芯。

这里千万别偷懒：如果磁芯太小，要么你根本绕不下线，要么铜损超标发烫；如果太大，那是浪费钱和板级空间。

---

2. 算气隙

磁芯选好了，我们就有了具体的 $A_c$。现在算气隙长度 ${\ell }_g$。

$${\ell }_g=\frac{{\mu }_0{L}_M{I}_{M,max}^2}{B_{max}^2{A}_c}\times {10}^4$$

这里的物理意义是：为了储存 $L_M$ 这么大的能量，并且承受 $I_{M,max}$ 这么大的冲击而不饱和，磁路里必须开这么大的口子。

• 实操注意：如果你买的是带气隙的磁芯（比如 PQ32/30，后面带个 A 表示磨过的），厂家通常不直接给你气隙长度，而是给一个 $A_L$ 值（每 1000 匝的电感量）。如果是这种情况，第 2 步变成反推需要的 $A_L$ 值。

---

3. 算初级匝数

有了气隙（或者 $A_L$），就可以定匝数 $n_1$ 了。

$$n_1=\frac{L_M{I}_{M,max}}{B_{max}{A}_c}\times {10}^4$$

这个公式保证了：当电流冲到 $I_{M,max}$ 时，磁通密度刚好撞到 $B_{max}$ 的天花板，不浪费余量，也不会越过红线。

---

4. 算次级匝数

这步最简单，直接按匝比来：

$$n_2=\left(\frac{n_2}{n_1}\right)n_1,n_3=\left(\frac{n_3}{n_1}\right)n_1,\dots$$

---

5. 分地盘

还记得那个披萨饼吗？现在按最优比例切分窗口面积。

对于第 $m$ 个绕组：

$${\alpha }_m=\frac{n_m{I}_m}{n_1{I}_{tot}}$$

（验证一下：把所有 ${\alpha }_m$ 加起来，应该正好等于 1。）

---

6. 选线径

最后，根据分到的面积 ${\alpha }_m{W}_A$，除以匝数 $n_m$，再考虑绝缘系数 $K_u$，算出每根导线的最大截面积 $A_{W,m}$。

$$A_{W,m}\le \frac{{\alpha }_m{K}_u{W}_A}{n_m}$$

拿着这个面积，去查线规表（AWG 表），选一根不超过这个尺寸的线。

---

走到这里，一个多绕组磁件的雏形就有了。 你确定了磁芯大小，磨好了气隙，算好了初级和次级匝数，甚至连每一根该用多粗的铜线都定好了。剩下的就是找绕线机师傅定做了。

下一章，我们会把这个设计流程放到更严苛的环境里——当磁通不再恒定，而是在剧烈波动时（比如正激变换器的变压器），我们该怎么处理随之而来的铁损。那是另一个故事了。

---

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。