DCM 平均开关模型 | 硬件学习笔记

15.2 DCM 平均开关模型

上一节我们留下了一个近乎强盗逻辑的假设：在 DCM 下，电感电压的平均值始终为零。

即便你对此还有些疑虑——毕竟波形图上确实还有那么一点点脉冲残留——但为了能继续推导模型，我们现在必须把这条路走到黑。接下来的任务，是利用这个近似，给开关网络这个「非线性怪物」穿上一层「平均等效电路」的伪装。

我们要用的工具，是第 14 章介绍过的平均开关建模法（Averaged Switch Modeling）。这次，我们的舞台还是那个 Buck-Boost 变换器。

15.2.1 重新审视开关网络

为了方便理清关系，我们沿用上一章的老办法，把变换器抽象成一个「双端口黑盒」：一边是晶体管端口（端口 1），电压电流是 $v_{1} (t)$ 和 $i_{1} (t)$ ；另一边是二极管端口（端口 2），电压电流是 $v_{2} (t)$ 和 $i_{2} (t)$ 。

我们的目标很明确：找到这四个端口的平均量 $⟨ v_{1} ⟩, ⟨ i_{1} ⟩, ⟨ v_{2} ⟩, ⟨ i_{2} ⟩$ 之间的代数关系，然后用电阻、电容、电源这些理想元件把它们搭起来。

先来回忆一下 DCM 下一个开关周期里的三段剧情：

$d_{1} T_{s}$ ：晶体管导通，电感电流从 0 往上冲，斜率是 $v_{g} / L$ 。
$d_{2} T_{s}$ ：晶体管关，二极管导通，电感电流往下掉，斜率是 $v / L$ 。
$d_{3} T_{s}$ ：电流归零，大家休息，二极管反向截止。

注意那个 $i_p_k$ ，这是这一轮充放电的「峰值电量」。根据几何关系（三角形面积），它显然等于：

i_{p k} = \frac{v_{g}}{L} d_{1} T_{s} (15.7)

记住这个式子，接下来的所有推导都跟它脱不了干系。

15.2.2 输入端：一个并不存在的电阻

先看端口 1（晶体管这边）。我们要算它的平均电压 $⟨ v_{1} (t) ⟩_{T_{s}}$ 。

如果你还记得 Buck-Boost 的电路结构，晶体管两端的电压 $v_{1} (t)$ 其实就是输入电压 $v_{g} (t)$ 减去电感电压 $v_{L} (t)$ ：

v_{1} = v_{g} - v_{L} (15.8)

现在对这个式子两边求平均。根据上一节那个「电感电压平均值为零」的神假设（式 15.6）， $v_{L}$ 的平均值直接消失：

⟨ v_{1} ⟩_{T_{s}} = ⟨ v_{g} ⟩_{T_{s}} - ⟨ v_{L} ⟩_{T_{s}} = ⟨ v_{g} ⟩_{T_{s}} (15.9)

这意味着，在平均模型里，晶体管两端的平均电压直接等于输入电源电压。这很符合直觉——毕竟在它导通的时候，它确实就是直接跨在电源两端的。

接下来算平均电流 $⟨ i_{1} (t) ⟩_{T_{s}}$ 。这里千万别手滑，以为直接用占空比乘个电感平均电流就行了——DCM 里没这回事。电流纹波大得离谱，必须老老实实积分。

晶体管电流 $i_{1} (t)$ 是一个底长为 $d_{1} T_{s}$ 、高为 $i_{p k}$ 的三角形。面积 $q_{1}$ 很好算：

\int_{t - T_{s} / 2}^{t + T_{s} / 2} i_{1} (t) d t = q_{1} = \frac{1}{2} (d_{1} T_{s}) i_{p k} (15.13)

除以周期 $T_{s}$ 得到平均值，再把刚才算出来的 $i_{p k}$ （式 15.7）代进去：

⟨ i_{1} (t) ⟩_{T_{s}} = \frac{1}{T_{s}} \frac{1}{2} d_{1} T_{s} (\frac{⟨ v_{g} (t) ⟩_{T_{s}}}{L} d_{1} T_{s}) = \frac{d_{1}^{2} T_{s}}{2 L} ⟨ v_{g} (t) ⟩_{T_{s}}

利用 $⟨ v_{g} ⟩ = ⟨ v_{1} ⟩$ ，我们可以把它改写成看起来更像欧姆定律的形式：

⟨ i_{1} (t) ⟩_{T_{s}} = \frac{⟨ v_{1} (t) ⟩_{T_{s}}}{R_{e} (d_{1})} (15.20)

这里的分母 $R_{e} (d_{1})$ 被定义为有效电阻（Effective Resistance）：

R_{e} (d_{1}) = \frac{2 L}{d_{1}^{2} T_{s}} (15.23)

⚠️ 别被这个电阻骗了

这里有一个非常容易产生的误解：既然 $⟨ i_{1} ⟩ = ⟨ v_{1} ⟩ / R_{e}$ ，那是不是说输入端真的并联了一个电阻 $R_{e}$ ，会把电能变成热量？

绝对不是。

如果变换器里的元件都是理想的，这里完全不发热。这个 $R_{e}$ 仅仅是一个数学上的等效关系，用来描述「输入电压是如何控制输入电流的」。 $R_{e}$ 的值取决于占空比 $d_{1}$ 和电感 $L$ 。这说明电流的大小是被控制信号（ $d_{1}$ ）和物理参数锁死的，而不是被负载决定的。

虽然它不发热，但它确实「吃掉」了功率。这股功率去哪了？这就是输出端口要讲的故事。

15.2.3 输出端：一个脾气古怪的电源

再看端口 2（二极管这边）。先看平均电压 $⟨ v_{2} (t) ⟩_{T_{s}}$ 。

根据环路方程 $v_{2} = v_{L} - v$ ，同样利用 $⟨ v_{L} ⟩ = 0$ ，我们可以直接得到：

⟨ v_{2} (t) ⟩_{T_{s}} = - ⟨ v (t) ⟩_{T_{s}} (15.11)

这里的负号来自二极管的反向连接定义（ $v_{2}$ 的正方向是上正下负，而输出电压 $v$ 也是上正下负，二极管压降为 0 时两者自然反向）。

接下来是平均电流 $⟨ i_{2} (t) ⟩_{T_{s}}$ 。老规矩，看图积分。 $i_{2} (t)$ 也是一个三角形，底长是 $d_{2} T_{s}$ ，高还是那个 $i_{p k}$ （别忘了，峰值电流是充放电共用的）。

⟨ i_{2} (t) ⟩_{T_{s}} = \frac{1}{T_{s}} \frac{1}{2} (d_{2} T_{s}) i_{p k} = \frac{d_{1} d_{2} T_{s}}{2 L} ⟨ v_{g} (t) ⟩_{T_{s}} (15.17)

现在的局面是：输入端有一个类似欧姆定律的方程（式 15.20），输出端有一个莫名其妙的式子（式 15.17）。要把它们串起来，我们需要找到 $d_{2}$ 这个隐形变量的真身。

15.2.4 寻找失踪的 $d_{2}$

$d_{2}$ 不像 $d_{1}$ 那样由控制器直接给出，它是电路自己折腾出来的结果——取决于电感电流放空的那一瞬间。

我们怎么用数学语言描述「电流放空」？回顾电感伏秒平衡（在 DCM 下依然成立）：

⟨ v_{L} (t) ⟩_{T_{s}} = d_{1} ⟨ v_{g} ⟩ + d_{2} ⟨ v ⟩ + d_{3} \cdot 0 = 0

因为 $⟨ v_{L} ⟩ \approx 0$ ，所以：

d_{1} ⟨ v_{g} ⟩ = - d_{2} ⟨ v ⟩

这里 $v_{g}$ 和 $v$ 的定义方向不同，会有一个符号差异，我们只关心绝对值关系。由此可以解出 $d_{2}$ ：

d_{2} (t) = \frac{d_{1} (t) ⟨ v_{g} (t) ⟩_{T_{s}}}{⟨ v (t) ⟩_{T_{s}}} (15.19)

现在把这个 $d_{2}$ 塞回刚才的输出电流公式（式 15.17），你会发现 $⟨ v_{g} ⟩$ 被约掉了，剩下一串非常漂亮的东西：

⟨ i_{2} (t) ⟩_{T_{s}} = \frac{⟨ v_{1} (t) ⟩_{T_{s}}^{2}}{R_{e} (d_{1}) ⟨ v_{2} (t) ⟩_{T_{s}}} (15.21)

把这一项整理一下，写成 $⟨ i_{2} ⟩ \cdot ⟨ v_{2} ⟩$ 的形式：

⟨ i_{2} (t) ⟩_{T_{s}} ⟨ v_{2} (t) ⟩_{T_{s}} = \frac{⟨ v_{1} (t) ⟩_{T_{s}}^{2}}{R_{e} (d_{1})} (15.24)

盯着右边看： $⟨ v_{1} ⟩^{2} / R_{e}$ 是什么？ 正是输入端那个「假电阻」消耗的功率！ 而左边，正是输出端输出的功率。

这就意味着：输入端吃进多少功率，输出端就吐出多少功率。 能量像坐滑梯一样，毫无损耗地从端口 1 滑到了端口 2。

这就是为什么我们叫它 Loss-Free Resistor (LFR)——无损耗电阻模型。

15.2.5 遇见「功率源」

为了在电路图里画出这个端口 2，教科书引入了一个新怪兽：受控功率源（Dependent Power Source）。

它的定义很简单粗暴：端口电压和电流的乘积必须恒定为 $P$ ，至于电压和电流各自是多少，这取决于外部负载。

v (t) \cdot i (t) = p (t)

这东西脾气很古怪，你得像供祖宗一样供着它：

你不能把它短路（ $v = 0 \to i \to \infty$ ）。
你不能把它开路（ $i = 0 \to v \to \infty$ ）。

它必须连接到一个实实在在的负载上，电压和电流的工作点由负载线和双曲线 $v \cdot i = P$ 的交点决定。

在这里，这个功率源的功率值 $p (t)$ 就等于 $⟨ v_{1} ⟩^{2} / R_{e}$ 。 也就是说，输出功率只跟输入电压和控制信号（ $d_{1}$ 决定 $R_{e}$ ）有关，跟输出接什么负载毫无关系。

这一点非常反直觉。普通的电压源或电流源，输出大小多少会受到负载影响（尤其是内阻存在时）。但这里的功率源就像个贪心的黑洞，它不管对面是谁，它只管以 $P = V_{i n}^{2} / R_{e}$ 的速率向外喷吐能量。至于负载能不能吃得消，那是负载的事。

顺带补充一个关于功率源的魔幻特性：你可以串联、并联它，甚至把它扔过理想变压器，它依然表现为一个功率源，大小等于各个源功率的代数和。这种「鲁棒性」是它成为优秀模型基石的原因。

15.2.6 完整模型与直流验证

现在，我们可以把原来的开关网络扔进垃圾桶，换上这个简洁的 LFR 模型：

输入端：一个电阻 $R_{e} (d_{1})$ 。
输出端：一个功率源 $P = ⟨ v_{1} ⟩^{2} / R_{e}$ 。

把这对双胞胎塞回 Buck-Boost 变换器里，我们就得到了它的平均等效电路。电容 $C$ 还在那里滤波，电感 $L$ 在平均模型里已经「消失」（短路）了。

来验证一下这个模型准不准。 我们将所有交流量置零，只看直流工作点。电感短路、电容开路，电路简化成最直白的电阻网络。

输入功率 $P_{i n}$ ：

P_{i n} = \frac{V_{g}^{2}}{R_{e} (D)} (15.28)

输出功率 $P_{o u t}$ （全被负载 $R$ 吃掉）：

P_{o u t} = \frac{V^{2}}{R} (15.29)

因为是「无损耗」模型，所以 $P_{i n} = P_{o u t}$ ：

\frac{V_{g}^{2}}{R_{e}} = \frac{V^{2}}{R}

解出电压传输比 $M = V / V_{g}$ ：

\frac{V}{V_{g}} = \sqrt{\frac{R}{R_{e}}} (15.31)

再把 $R_{e}$ 的定义（ $2 L / D^{2} T_{s}$ ）代进去：

M = - \sqrt{\frac{R \cdot D^{2} T_{s}}{2 L}} = - D \sqrt{\frac{R}{R_{e}}} = - D \sqrt{\frac{1}{K}}

宾果！ 这正是我们在第 5 章里费尽九牛二虎推导出来的 DCM 传输比公式。只不过这次我们没用微积分，只用了初中的几何和功率守恒就把它搞定了。

这也侧面印证了我们的 LFR 模型是站得住脚的。

15.2.7 通用的 DCM 模型家族

这个 LFR 模型并不是 Buck-Boost 的专属特权。教科书贴心地把五大基本变换器（Buck, Boost, Buck-Boost, Čuk, SEPIC）的 DCM 平均模型都列了出来。

你会发现它们的结构惊人地一致：

输入端：总是并联一个 $R_{e}$ 。
输出端：总是串联一个功率源 $P$ 。
区别：仅在于 $R_{e}$ 的公式。
- 对于单电感拓扑（Buck/Boost/Buck-Boost）， $R_{e} = 2 L / d^{2} T_{s}$ 。
- 对于双电感拓扑（Čuk/SEPIC），电感是并联工作的（在交流等效电路中），所以 $L$ 变成了 $L_{1} ∥ L_{2}$ 。

至于那个表 15.1，它总结了各个变换器的传输比 $M$ 。有意思的是，你会发现 Buck 的 $M$ 表达式长得有点复杂，而 Buck-Boost 和 SEPIC 的形式非常统一（ $- \sqrt{R / R_{e}}$ ）。这其实也说明了，对于隔离型和反激型这些源自 Buck-Boost 的拓扑，DCM 的分析反而比 CCM 更简单——因为功率守恒关系通常比复杂的能量传输几何关系更容易处理。

最后，那一堆 $I_{c r i t}$ 的公式（15.39, 15.40）只是老调重弹：负载电流太小（ $I < I_{c r i t}$ ）的时候，你就进入 DCM 了。 此刻，你应该对这句话有了更深的体会——不仅仅是电流波形断了，更是整个变换器的性格从「电压转换器」变成了「电阻-功率源转换器」。

🧮 自编速算： $R_{e}$ 到底有多大？ 逮个手感。设 $L = 10 μ H$ ，开关频率 $f_{s} = 100 k H z$ （即 $T_{s} = 10 μ s$ ），占空比 $d_{1} = 0.4$ 。套定义： $R_{e} = \frac{2 L}{d_{1}^{2} T_{s}} = \frac{2 \times 10 μ H}{0.16 \times 10 μ s} = \frac{20}{1.6} Ω = 12.5 Ω$ 。注意三件事：① $R_{e}$ 跟负载 $R$ 完全无关——它只认 $L$ 、 $f_{s}$ 、 $d_{1}$ ；② 占空比变小一档（ $0.4 \to 0.2$ ）， $R_{e}$ 直接翻四倍到 $50 Ω$ ，因为分母是平方项，这也是为什么轻载（小 $D$ ）下 DCM 特征格外明显；③ $R_{e}$ 是「吃了功率但不发热」的虚拟电阻，别真去散热手册里查它的温升。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

15.2 DCM 平均开关模型 ​

15.2.1 重新审视开关网络 ​

15.2.2 输入端：一个并不存在的电阻 ​

15.2.3 输出端：一个脾气古怪的电源 ​

15.2.4 寻找失踪的 d2 ​

15.2.5 遇见「功率源」 ​

15.2.6 完整模型与直流验证 ​

15.2.7 通用的 DCM 模型家族 ​