10.4.4 层内的功率损耗

我们现在拥有了足够的概念工具：等效铜箔层、修正后的趋肤深度，以及描述磁场分布的 MMF 图。

这一切都指向一个我们真正关心的物理量：热量。

这一节的任务非常明确——算出这一层铜箔里到底产生了多少损耗。为了做到这一点，我们必须求解麦克斯韦方程组，找到这一层导体内部的电流密度分布 $J(x)$，然后把产生的热量在整个体积上积分。

听起来很吓人？别担心，前人已经把最硬的骨头啃掉了。我们要做的，是把结果接回我们的绕组模型里。

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1. 从麦克斯韦到损耗公式

回到我们的单层模型。

假设这是一个厚度为 $h$ 的均匀导体层。左边的磁场强度是 $H(0)$，右边是 $H(d)$。我们假设磁场方向平行于导体表面（垂直分量为零），并且是正弦变化的。为了简化问题，我们假设 $H(0)$ 和 $H(d)$ 是同相的——相位差带来的影响可以在更高级的文献里找到（比如 [94]），但对于我们要建立的直觉，这个简化足够了。

在这个模型下，我们要解的一维麦克斯韦方程组，算出的总铜损 $P$ 是这个样子：

$$P=R_{dc}\frac{n_l^2}{\varphi }([F(h{)}^2+F(0{)}^2]G_1(\varphi )-4F(h)F(0)G_2(\varphi ))(10.75)$$

这里出现了几个我们需要留意的角色：

• $R_{dc}$：这层绕组的直流电阻。
• $n_l$：这一层里的匝数。
• $\varphi =h/{\delta }^{\prime }$：还记得上一节那个有效厚度吗？这就是它。
• $F(0)$ 和 $F(h)$：作用在这一层左表面和右表面的磁动势（MMF）。

然后是那两个看起来有点复杂的函数 $G_1$ 和 $G_2$。它们是解方程时自然冒出来的双曲函数：

$$G_1(\varphi )=\frac{\sinh (2\varphi )+\sin (2\varphi )}{\cosh (2\varphi )-\cos (2\varphi )}$$$$G_2(\varphi )=\frac{\sinh (\varphi )\cos (\varphi )+\cosh (\varphi )\sin (\varphi )}{\cosh (2\varphi )-\cos (2\varphi )}(10.76)$$

别急着去推导这两个式子。现在你只需要知道，$G_1$ 和 $G_2$ 描述的是趋肤效应和邻近效应综合作用下的损耗系数。当 $\varphi$ 很小（低频或细线）时，它们趋向于 0；当 $\varphi$ 很大（高频或粗线）时，它们趋向于 1。

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2. 用「安匝数」重新表述

公式 (10.75) 虽然精确，但它是用磁动势 $F$ 写出来的，用起来不太顺手。我们平时更关心的是电流。

如果这层绕组流过的电流有效值是 $I$，那么根据安培定律，这一层产生的磁动势差就是：

$$F(h)-F(0)=n_{l}I(10.77)$$

为了让公式更通用，我们定义一个比例系数 $m$。 令 $F(h)$ 等于这层总安匝数的 $m$ 倍：

$$F(h)=m\cdot n_{l}I(10.78)$$

那么 $F(0)$ 就自然可以写成：

$$F(0)=F(h)-n_{l}I=(m-1)n_{l}I$$

这个 $m$ 是个非常有用的参数。

• 如果 $m=0$，说明 $F(h)=0$，磁场在这一层左边归零。
• 如果 $m=1$，说明 $F(0)=0$，磁场在这一层右边归零。
• 如果 $m=0.5$，说明磁场左右对称，中心位置最强。

现在，我们可以把 (10.75) 用 $I$ 和 $m$ 重写，得到一个更简洁的形式：

$$P=I^2{R}_{dc}\cdot \varphi \cdot Q^{\prime }(\varphi ,m)(10.80)$$

这里的核心是那个 $Q^{\prime }$ 函数：

$$Q^{\prime }(\varphi ,m)=(2m^2-2m+1)G_1(\varphi )-4m(m-1)G_2(\varphi )(10.81)$$

这个式子的物理意义非常直观：

• $I^2{R}_{dc}$ 是最基础的直流损耗。
• $\varphi Q^{\prime }$ 就是由于高频效应（趋肤+邻近）增加的倍数。

你会发现，邻近效应带来的损耗增加倍数是：

$$\frac{P}{I^2{R}_{dc}}=\varphi Q^{\prime }(\varphi ,m)(10.82)$$

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3. 绘出损耗地图

公式有了，现在让我们看看它长什么样。 如果你把 (10.82) 丢进计算机画出来，会得到一族层损耗随 $\varphi$ 和 $m$ 变化的曲线。

简单说就是：横轴是导体厚度相对于趋肤深度的倍数 $\varphi$，不同的曲线代表不同的 $m$（磁场环境）。

这族曲线揭示了一个令人不安的事实： 当 $\varphi$ 很大时（也就是线径很粗，或者频率很高），损耗会急剧上升。特别是对于 $m$ 值较大的情况（比如在绕组的最外层，MMF 很大），损耗简直是爆炸性增长。

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4. 寻找最优厚度

为了找到设计的「甜点」，我们通常把损耗归一化。 我们不跟 $R_{dc}$ 比，而是跟一个假想的、厚度刚好等于一个趋肤深度（$\varphi =1$）的铜箔的直流损耗比。这样就能看出，如果我们把线做得更细或更粗，到底是赚了还是赔了。

把 (10.82) 除以 $\varphi$，我们就得到了相对于 $\varphi =1$ 的基准损耗：

$$\frac{P}{P_{dc}{|}_{\varphi =1}}=Q^{\prime }(\varphi ,m)(10.83)$$

此时纵轴变成了 $Q^{\prime }$，是一条先降后升的曲线。

这里有几个关键的信息：

1. 太薄了不行：当 $\varphi$ 很小（比如 0.1）时，曲线反而翘上去了。为什么？因为导线太细，直流电阻本身就太大了，即使没有高频损耗，总损耗也很高。
2. 太厚了也不行：当 $\varphi$ 很大时，曲线直冲云霄。因为邻近效应导致电流只在边缘流，中间的一大块铜变成了死重。
3. 中间有个坑：在 $\varphi$ 接近 1 的时候，曲线达到最低点。

这个结论至关重要：对于正弦波激励，最优的导体厚度 $\varphi$ 通常就在 1 附近，或者略小于 1。

如果你把线做得比趋肤厚度厚得多，你只是在浪费铜，而且还会因为涡流产生更多的热量。

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10.4.5 实例：变压器绕组中的损耗

现在，让我们把目光从「一层」放大到整个变压器。

考虑一个最普通的变压器：

• 初级有 $M$ 层。
• 次级也有 $M$ 层。
• 采用常规绕法（也就是不交错排列）。

在这种情况下，MMF 图是一个锯齿波。 第一层，$m=1/3$（假设 3 层）；第二层，$m=2/3$；第三层，$m=3/3$。 每一层的 $m$ 都不一样，受到的「折磨」程度也不一样。

我们可以用 (10.84) 式把所有层的损耗加起来，算出整个初级绕组的损耗倍数 $F_R$（Factor of Resistance increase）：

$$F_R=\frac{P_{pri}}{P_{pri,dc}}=\frac{1}{M}\sum _{m=1}^M\varphi Q^{\prime }(\varphi ,m)(10.84)$$

因为对称性，次级的损耗倍数跟初级是一样的。

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1. 多层绕组的闭式解

我们要把求和号 $\sum$ 展开，然后把 $m=1,2,...,M$ 代进去。这步推导有点繁琐，但并不难。利用两个数学恒等式：

$$\sum m=\frac{M(M+1)}{2},\sum m^2=\frac{M(M+1)(2M+1)}{6}$$

化简之后，你会得到一个著名的公式：

$$F_R=\varphi (G_1(\varphi )+2\frac{M^2-1}{3}(G_1(\varphi )-2G_2(\varphi )))(10.87)$$

把它画出来，横轴是 $\varphi$，纵轴是 $F_R$，你会看到一个惊人的现象：

• 当层数 $M$ 增加时，曲线整体抬升了。层越多，损耗越严重。
• 对于多层绕组（比如 $M=5,10$），随着 $\varphi$ 增加，损耗上升的速度快得吓人。

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2. 回到 $\varphi =1$ 的视角

同样地，我们把纵轴除以 $\varphi$，看看相对于 $\varphi =1$ 的基准损耗。

$$\frac{P_{pri}}{P_{pri,dc}{|}_{\varphi =1}}=G_1(\varphi )+2\frac{M^2-1}{3}(G_1(\varphi )-2G_2(\varphi ))(10.88)$$

这张归一化曲线给出了电源工程师的「生存法则」：

• 如果你只有 1 层（$M=1$）：最低点在 $\varphi =1.5$ 左右。这意味着你用比较粗的线也没事。
• 如果你有 5 层（$M=5$）：最低点迅速向左移动，大概在 $\varphi \approx 0.8$。
• 如果你有 10 层以上：最低点甚至会低于 0.5！

这意味着什么？ 如果你的变压器有很多层，而你还在用直径 1mm 的线（假设 $\varphi >2$），那你实际上是在造一个发热体。 哪怕你用了很多铜，直流电阻看起来很低，但在高频下，邻近效应会让中间那几层铜变成纯摆设，边缘的电流挤得寸步难行，电阻 $F_R$ 飙升到 10 甚至 20 倍。

结论已经无法回避：在正弦波激励下，为了最小化损耗，每一层的有效厚度 $\varphi$ 应该设计在 1 左右。

如果你必须绕很多层，那你就必须牺牲——要么用更细的线（增加直流损耗），要么用多股线或利兹线（增加成本和工艺难度），要么——就像我们下一节要讲的那样——换一种更聪明的绕法。

一个工程心算：$F_R$ 公式里那个 $(2M^2+1)/3$ 告诉你，损耗倍数大致正比于层数的平方。所以从 1 层到 3 层，邻近损耗并不是涨 3 倍，而是涨近 6 倍；从 1 层到 5 层，涨 17 倍。这也是为什么老工程师听到「窗口塞满 10 层」会本能皱眉——那已经不是绕变压器，是在绕电阻丝了。

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参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。