仿真模型的构建与验证 | 硬件学习笔记

18.5 仿真模型的构建与验证

上一节我们聊到了输入滤波器那个令人头疼的「负电阻」问题，还有那个能救命的 Middlebrook 准则。

但光纸上谈兵不够——工程总是要落地的。当理论公式变得像 (18.127) 那样又长又吓人的时候，哪怕是最老道的工程师也会想：「能不能直接跑个仿真看看？」

这不仅仅是想偷懒。在电流程序控制（CPM）这种系统里，占空比 $d$ 并不是我们直接拧在「阀门」上的旋钮，它是电感电流、输入电压和控制输入 $v_{c}$ 相互掐架后的结果。这种非线性关系，用计算器硬算是很难看清全貌的。

本节我们要干一件事：把前面推导的那些大信号平均模型，封装成一个 SPICE 能跑的子电路。

18.5.1 动手封装：从公式到模块

我们的目标是搭一个通用模块。

这个模块长得有点像个黑盒。它吃进去四种信号，吐出来一个占空比 $d$ 。只要把这个黑盒挂到任何一种拓扑（Buck, Boost 等）的开关模型上，你就能得到这个变换器在 CPM 模式下的平均行为。

先看看它的「胃口」——它的输入端口有哪些：

控制电流信号 $⟨ i_{c} (t) ⟩_{T_{s}}$ ：这是我们想达到的电感电流峰值（或者说控制指令）。
电感电流采样 $⟨ i_{L} (t) ⟩_{T_{s}}$ ：这是现在的实际电感电流。
开关管导通时的电感电压 $⟨ v_{1} (t) ⟩_{T_{s}}$ ：决定了电流上升的斜率。
二极管（或同步管）导通时的电感电压 $⟨ v_{2} (t) ⟩_{T_{s}}$ ：决定了电流下降的斜率。

除了这些动态信号，模块还需要几个静态参数，就像电阻值一样得提前设定好：

$R_{f}$ ：电流采样电阻（把电流变成电压）。
$f_{s}$ ：开关频率。
$L$ ：电感量。
$V_{a}$ ：人工斜坡的幅度。

这里我们要引入一个关键参数 $V_{a}$ ，它是这样定义的：

V_{a} = m_{a} T_{s} R_{f}

如果你还记得上一节那个用来稳定环路的人工斜坡 $m_{a}$ ，那你应该能认出 $V_{a}$ 就是这个斜坡在一个周期内累积的电压高度（乘上了采样电阻）。

推导过程

模块的核心任务是计算占空比 $d$ 。

在 CCM（连续导通模式）下，电感电流的平均值 $⟨ i_{L} ⟩_{T_{s}}$ 和控制输入 $i_{c}$ 之间的关系，我们在 18.3 节已经推导过了（见公式 18.67）：

⟨ i_{L} ⟩_{T_{s}} = i_{c} - m_{a} d T_{s} - \frac{(m_{1} + m_{2})}{2} d d^{'} T_{s}

这里要注意电感电流的斜率。

当开关管导通时，电流以 $m_{1}$ 上升。根据电感公式 $V = L \cdot d i / d t$ ，上升斜率取决于导通时的电感电压： $m_{1} = \frac{⟨ v_{1} (t) ⟩_{T_{s}}}{L}$
当开关管关断、二极管导通时，电流以 $- m_{2}$ 下降。下降斜率取决于关断时的电感电压： $m_{2} = \frac{⟨ v_{2} (t) ⟩_{T_{s}}}{L}$

我们的目标是求 $d$ 。我们可以把上面的平均电流公式变形，解出 $d$ 。经过一番代数骚操作，我们会得到一个关于 $d$ 的方程。

但是，在 SPICE 里实现方程有很多种写法。虽然数学上它们是等价的，但对数值求解器来说，收敛性天差地别。有些写法会让仿真器跑得飞快，有些则会让它卡死在「Time Step Too Small」的报错里。

这里有一个比较稳健的写法：

d = \frac{⟨ i_{c} (t) ⟩_{T_{s}} - ⟨ i_{L} (t) ⟩_{T_{s}}}{\frac{(m_{1} + m_{2})}{2} d^{'} T_{s} + m_{a} T_{s}}

注意，这里右边分母里还藏着个 $d^{'}$ （也就是 $1 - d$ ）。所以这是一个隐式方程。别担心，SPICE 的牛顿-拉夫逊求解器很擅长搞定这种隐式方程。

把斜率 $m_{1}, m_{2}$ 和参数代进去，并且把电流项都乘上 $R_{f}$ 变成电压量纲（这样在 SPICE 里处理更方便），我们就得到了最终版的大信号控制方程：

d = \frac{2 (⟨ v_{c} (t) ⟩_{T_{s}} - R_{f} ⟨ i_{L} (t) ⟩_{T_{s}})}{(⟨ v_{1} (t) ⟩_{T_{s}} + ⟨ v_{2} (t) ⟩_{T_{s}}) \frac{d^{'}}{L f_{s}} + 2 V_{a}}

这就是我们要塞进那个黑盒里的核心逻辑。我们给它起个名字叫 CPM-CCM 子电路。

18.5.2 进阶封装：兼容 CCM 和 DCM

上面的模型假设电感电流永远不会降到零（CCM）。但现实中，负载变轻或者电压变高时，电感电流会放完电，进入 DCM（断续导通模式）。

在 DCM 下，电流波形会提前趴在零轴上歇着。这对我们的模型意味着什么？

想象一下波形的样子：

在 CCM 下，第二个阶段（电流下降阶段）持续时间 $d_{2} T_{s}$ 其实就等于 $(1 - d) T_{s}$ 。
但在 DCM 下，电流在周期结束前就归零了。这时候 $d_{2}$ 不再是 $1 - d$ ，而是取决于峰值电流 $i_{p k}$ 和下降斜率 $m_{2}$ 的比例。

具体的 $d_{2}$ 算法是这样的：

d_{2} = min (1 - d, \frac{i_{p k}}{m_{2} T_{s}})

这里有个很妙的逻辑：取「理论剩余时间」和「实际放电时间」中的较小值。

如果是 CCM，电流放不完， $1 - d$ 更小，取它。
如果是 DCM，电流放完了，第二项更小，取第二项。

把这个 $d_{2}$ 的逻辑加进之前的公式里，我们就得到了一个通用的 CPM 模型（CCM/DCM 混合模型）：

d = \frac{2 (⟨ v_{c} (t) ⟩_{T_{s}} (d + d_{2}) - R_{f} ⟨ i_{L} (t) ⟩_{T_{s}})}{(⟨ v_{1} (t) ⟩_{T_{s}} + ⟨ v_{2} (t) ⟩_{T_{s}}) \frac{d_{2} (d + d_{2})}{L f_{s}} + 2 V_{a} (d + d_{2})}

这个公式看起来更吓人了，但它其实是同一个物理过程的更完整描述。在 SPICE 里实现这个，就得到了一个全功能的 CPM 子电路。

18.5.3 实战演练：Buck 变换器的频域特性

模型造好了，得拉出来溜溜。我们拿经典的 Buck 变换器做小白鼠。

搭建仿真电路就像搭积木：

把原本的开关管和二极管替换成 CCM-DCM1 平均开关模型。
把我们刚封装好的 CPM 子电路挂上去。
CPM 的输入端需要接几个传感器：
- $E_{i}$ ：测电感电流 $i_{L}$ 。
- $E_{1}$ ：测开关管导通时的电感电压（节点 1 和 3 的差）。
- $E_{2}$ ：测二极管导通时的电感电压（节点 3 对地）。
给定工况： $V_{g} = 12 V$ ，参考电压 $V_{c} = 1.4 V$ 。
运行 AC 仿真，看看它在工作点（ $D \approx 0.676$ ）附近的频域响应。

对比一：CPM vs 传统电压模式（控制-to-输出）

对比一下两者的波特图。

虚线：传统的电压模式控制。那个大家熟悉的 LC 双极点高高耸立，相位在谐振频率处直接从 $0^{\circ}$ 掉到 $- 180^{\circ}$ 。想把这个环路补稳，你得费尽心思去设计 PID 补偿器。
实线：电流程序控制（CPM）。刚才那个让人头疼的 LC 谐振峰不见了！幅频曲线在低频像个单极点系统一样平缓下降。相位也 mostly 停留在 $- 90^{\circ}$ 附近。

这就解释了为什么工程师喜欢 CPM：它把一个原本难搞的二阶系统，变成了一个容易伺候的一阶系统。外环电压补偿器的设计难度大大降低，甚至简单的 PI 补偿就能搞定。

对比二：谁抗扰能力强（线-to-输出）

再看线-输出这条曲线。这是输入电压 $v_{g}$ 波动对输出电压 $v$ 的影响。

电压模式：低频增益大概就是占空比 $D$ （约 0.676，也就是 -3.4dB）。输入端的扰动几乎原封不动地传到了输出端。
CPM 模式：注意看那条低得多的曲线。在低频段，CPM 对输入扰动的抑制能力比电压模式强了 30dB！

这其实就是那个「电压前馈」在干活。当 $v_{g}$ 升高，电感电流斜率变大，CPM 控制器会自动地、更早地关断开关，从而把平均电流拉回来。这种「自动调节」不需要电压环路介入，完全是由电流环的物理机制完成的。

顺便提一句，CPM 的那条线-输出曲线，如果你用 18.1 节那个「简单一阶模型」是算不出来的。你得用 18.3 节那个精确模型才行。这就是为什么要花精力去推导复杂公式的原因——它能预测出简单模型看不到的细节。

对比三：输出阻抗

最后看一眼输出阻抗。

电压模式：在 LC 谐振频率处有个巨大的尖峰。这意味着负载电流如果刚好晃在这个频率，输出电压会剧烈波动。
CPM 模式：那个尖峰被抹平了。CPM 引入了一种「无损耗阻尼」（Lossless Damping）。电感在电流环眼里不再是纯电感，它的行为被改变了，从而抑制了谐振。

走到这里，你应该能感觉到 CPM 的魅力了：它不仅仅是一个控制方案，它在根本上改变了变换器的等效电路特性，把那个难伺候的 LC 滤波器驯服成了温顺的小绵羊。

踩坑提醒：那个隐式方程里的 $d^{'}$ （分母里藏着 $1 - d$ ）是新手封装 SPICE 子电路时最容易翻车的地方。如果你直接写成显式形式硬解，数学上没错，但牛顿-拉夫逊迭代经常会在某个工作点附近来回横跳，仿真器报 Time step too small。窍门是保留隐式形式、或者用 gmin 之类的小电导给它垫一个收敛地板。另外那个 min(1-d, i_pk/(m_2 T_s)) 的 DCM/CCM 切换，在切换瞬间会有一个不可导的拐点，建议加一点点平滑过渡，否则 AC 扫描会给出带毛刺的相位曲线。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

18.5 仿真模型的构建与验证 ​

18.5.1 动手封装：从公式到模块 ​

18.5.2 进阶封装：兼容 CCM 和 DCM ​

18.5.3 实战演练：Buck 变换器的频域特性 ​

18.5 仿真模型的构建与验证

18.5.1 动手封装：从公式到模块

18.5.2 进阶封装：兼容 CCM 和 DCM

18.5.3 实战演练：Buck 变换器的频域特性