把电感损耗找回来 | 硬件学习笔记

3.2 把电感损耗找回来

上一节里，我们构建了一个非常完美的世界。

在那个世界里，电感是完美的储能元件，开关是零电阻的导体，整个变换器像是一个没有摩擦的齿轮箱，输入多少能量就输出多少。这很好，但它是一个谎言。

如果你拿着那个「理想模型」去算实际电路的电压，你会发现算出来的值总是偏高——有时候偏高一点点，有时候偏差大得离谱。为什么会这样？因为能量不会凭空消失，它们只是变成了热量。而我们第一个要找回来的热量，就藏在电感那根铜线里。

第一步——承认电感不是完美的

现实中的电感，并不是教科书里那个光溜溜的线圈符号。它是一捆实实在在的铜线，绕在一个铁芯上。

既然有铜线，就有电阻。既然有电阻，流过电流就会发热。这就是所谓的「铜损」（Copper Loss）。至于铁芯里的磁滞损耗和涡流损耗，那是后话，现在我们先盯住电阻。

怎么建模？非常简单——在理想电感 $L$ 旁边串联一个电阻 $R_{L}$ 。

这不仅仅是一个形式上的改动。这个 $R_{L}$ 意味着：当我们对电感两端写电压方程时，必须减去这一部分压降。

现在，把这个稍微没那么理想的电感扔回 Boost 变换器里，电路就成了「电感 + 一根有电阻的铜线」一起接在开关网络里。

多了个电阻，事情变复杂了吗？并没有。我们依然沿用那套老办法：电感伏秒平衡、电容电荷平衡，再加上「小纹波近似」。只不过这一次，所有的方程里都要带上 $R_{L}$ 。

第二步——像外科手术一样拆解两个状态

为了搞清楚 $R_{L}$ 是怎么搞砸一切的，我们还是得把开关动作拆成两个状态分别看。

状态 1：开关在位置 1（ $0 < t < D T_{s}$ ）

这个时候开关闭合，二极管反向截止。电路变成了左边那副样子：电源 $V_{g}$ 直接怼在电感 $L$ 和电阻 $R_{L}$ 上。

写方程，注意这里的 $v_{L} (t)$ 是理想电感两端的电压（不含 $R_{L}$ 的压降）：

v_{L} (t) = V_{g} - i (t) R_{L} (3.6)

看清楚了吗？如果不考虑 $R_{L}$ ，这就是简单的 $V_{g}$ 。但现在，电感每一瞬间都在对抗这个电阻压降。

再看电容电流 $i_{C} (t)$ 。在这个状态下，输出端是断开的（二极管截止），负载 $R$ 完全靠电容 $C$ 放电维持：

i_{C} (t) = - \frac{v (t)}{R} (3.7)

状态 2：开关在位置 2（ $D T_{s} < t < T_{s}$ ）

开关断开，电感开始向输出端释放能量。电路变成了右边那副样子。

此时电感电压变成了电源电压减去电阻压降，再减去输出电压：

v_{L} (t) = V_{g} - i (t) R_{L} - v (t) (3.9)

而电容电流此时是电感电流分流过来的一部分，减去负载电阻吃掉的那部分：

i_{C} (t) = i (t) - \frac{v (t)}{R} (推导形式)

第三步——小纹波近似上线

上面的方程都是时域的，带着 $i (t)$ 和 $v (t)$ 这种瞬态值。算起来太麻烦，而且我们只关心稳态。

祭出我们的小纹波近似： $i (t)$ 围绕着直流平均值 $I$ 上下波动，幅度很小。 $v (t)$ 围绕着直流平均值 $V$ 上下波动，幅度也很小。

所以，在计算平均值的时候，我们可以直接把 $i (t)$ 换成 $I$ ，把 $v (t)$ 换成 $V$ 。这不只是偷懒，这是把问题降维打击。

应用到刚才的方程里：

状态 1 的平均电压：

v_{L} (t) \approx V_{g} - I R_{L}

状态 2 的平均电压：

v_{L} (t) \approx V_{g} - I R_{L} - V

第四步——让伏秒平衡说话

现在，我们来看看电感电压 $v_{L} (t)$ 的波形。这就不是完美的矩形波了，它整体被 $I R_{L}$ 往下压了一截：状态 1 时是 $V_{g} - I R_{L}$ ，状态 2 时还要再扣一个 $V$ ，整体往下沉。

根据电感伏秒平衡原则：稳态下，电感电压在一个周期内的总积分（直流分量）必须为零。

⟨ v_{L} (t) ⟩ = \frac{1}{T_{s}} \int_{0}^{T_{s}} v_{L} (t) d t = 0

把两个状态的电压代进去：

0 = D (V_{g} - I R_{L}) + D^{'} (V_{g} - I R_{L} - V) (3.10)

展开，合并同类项。注意这里 $D + D^{'} = 1$ 。

0 = V_{g} - I R_{L} - D^{'} V (3.11)

停一下。盯着这个公式看（SICP 模式 A）。

还记得上一节我们得到的那个简洁的 $V_{g} = D^{'} V$ 吗？那是理想世界的产物。现在呢？多了一项 $- I R_{L}$ 。这多出来的一项，就是现实世界的代价。

但这里有个麻烦：公式里有三个变量， $V_{g}$ 已知，但 $V$ 和 $I$ 都是未知的。只有一个方程解不出来。我们还得找另一个方程。

第五步——用输出端守恒来补刀

另一个方程来自电容电荷平衡。稳态下，电容电流的平均值也必须为零（否则电容电压会一直充上去或者放到底）。

看回 $i_{C} (t)$ 波形。状态 1 时，电容给负载供电，电流是负的 $- V / R$ 。状态 2 时，电感给电容充电（同时供负载），电流是 $I - V / R$ 。

取平均值：

⟨ i_{C} (t) ⟩ = D (- \frac{V}{R}) + D^{'} (I - \frac{V}{R}) = 0 (3.12)

整理一下：

0 = D^{'} I - \frac{V}{R} (3.13)

这其实就是我们在理想 Boost 里早就熟知的欧姆定律关系：输出电流 $I_{o u t}$ 就是 $V / R$ ，而它等于 $D^{'} I$ 。这很合理，物理直觉没变。

第六步——直面那个并不完美的真相

现在我们手上有两个方程：

$0 = V_{g} - I R_{L} - D^{'} V$ （输入端守恒，考虑了损耗）
$0 = D^{'} I - V / R$ （输出端守恒）

我们要解的是输出电压 $V$ 。

把第二个方程里的 $I$ 解出来： $I = \frac{V}{D^{'} R}$ 。把它代入第一个方程：

V_{g} - (\frac{V}{D^{'} R}) R_{L} - D^{'} V = 0

V_{g} = V (\frac{R_{L}}{D^{'} R} + D^{'})

到这里，离真相只差最后一步代数变换。为了把 $V$ 露出来，我们把右边的项合并一下（通分）：

V_{g} = V \frac{D^{'} + \frac{R_{L}}{D^{'} R}}{1} \cdot \frac{D^{'}}{D^{'}} (这一步是为了凑出理想项)

不，更简单的做法是直接提取公因式。让我们重新排列项：

V_{g} = V (\frac{R_{L}}{D^{'} R} + D^{'}) = V (\frac{R_{L} + D^{' 2} R}{D^{'} R})

解出 $V$ ：

V = V_{g} \frac{D^{'} R}{R_{L} + D^{' 2} R}

把分子分母同除以 $D^{' 2} R$ ：

V = V_{g} \frac{1}{D^{'}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{R_{L}}{D^{' 2} R}}

这就是最终的答案：

\frac{V}{V_{g}} = \frac{1}{D^{'}} \frac{1}{1 + \frac{R_{L}}{D^{' 2} R}} (3.14)

真相的代价——看清这个公式的解剖结构

这个公式（3.14）非常重要，它不仅仅是一个计算结果，它是理解变换器效率的钥匙。

它由两部分组成（类比回收）：

还记得上一节我们把变换器比作「直流变压器」吗？那个变压器的变比是 $1 / D^{'}$ 。在这里，它依然存在——这就是公式的前半部分 $\frac{1}{D^{'}}$ 。这是理想的部分。

但是，这个变压器的后面挂了一个负载，这个负载不是真实的负载电阻 $R$ ，而是被寄生电阻 $R_{L}$ 修改过的等效负载。

看公式的后半部分： $\frac{1}{1 + \frac{R_{L}}{D^{' 2} R}}$ 。这其实就是分压器公式（Voltage Divider）。

想象一下，输入电源 $V_{g}$ 经过一个「理想变压器」变成了一个较高电压的源，但这个源的内阻也变大了（被变压器折算过去）。这个输出源现在要和一个电阻分压：

一个电阻是 $D^{' 2} R$ （从输出端折算回来的等效负载电阻）
另一个电阻是 $R_{L}$ （电感电阻）

当 $R_{L}$ 很小很小的时候，分母接近 1，我们得到的电压就是完美的 $\frac{V_{g}}{D^{'}}$ 。但是，当 $R_{L}$ 不能忽略时，电压就会被拉下来。

真正的坑在这里——当 D 趋近于 1

在电压转换比的曲线里，有一个非常反直觉的现象，值得我们血压升高一下。

在理想模型里，当占空比 $D \to 1$ （也就是 $D^{'} \to 0$ ）时，Boost 的输出电压应该趋向于无穷大。这听起来很美好，但如果你真的去调板子，把占空比推到 99%，你不会得到无穷大的电压——你会得到零电压，甚至可能闻到烟味。

公式（3.14）解释了这个残酷的现实。注意看 $\frac{R_{L}}{D^{' 2} R}$ 这一项。当 $D^{'}$ 很小的时候，分母是平方级减小，整个分数项 $\frac{R_{L}}{D^{' 2} R}$ 会爆炸式增长。

结果是什么？整个公式 $\frac{1}{1 + huge}$ 会趋向于 0。

为什么会这样？ 回到物理场景。当 $D$ 接近 1 时，开关几乎一直闭合。电感几乎一直连在电源上，只有极短的时间（ $D^{'} T_{s}$ ）去给输出端放电。就在这极短的时间里，电感电流 $I$ 会变得非常大（为了维持伏秒平衡）。电流 $I$ 变大，流过 $R_{L}$ 的压降 $I R_{L}$ 就变得巨大。大到什么程度？大到它几乎吃掉了所有的电源电压 $V_{g}$ 。于是，输出端 $V = V_{g} - I R_{L} - \dots$ 就被压到了接近 0。

而且，因为 $I$ 很大， $I^{2} R_{L}$ 的损耗也是巨大的。你的电感在疯狂发热。

这告诉我们一个简单的工程真理： 不要试图通过把 $D$ 调到 1 来获得无限高电压。 那是物理学家做的事，工程师不能那么干。你有损耗，你得尊重它。

踩坑提醒：Boost 推到 $D \to 1$ 时电压崩塌这件事，在很多datasheet 的「最大占空比」参数里都有体现——典型控制器会把 $D$ 限制在 0.9 左右甚至更低。这看起来是芯片厂商「保守」，其实是被 $R_{L} / D^{' 2} R$ 这一项逼的：再往上推，多出来的电压全变成铜线上的热，效率曲线直接垂直跳水。所以选 Boost 芯片时，先看最大占空比，再看你的目标升压比落在不在它的「健康区间」里。

这个结论非常重要，因为下一节我们把这个思路再推进一步——不只是电感有电阻，开关管也有电阻。那时候，这个分压模型会变得更加完善，也会更加真实。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

3.2 把电感损耗找回来 ​

第一步——承认电感不是完美的 ​

第二步——像外科手术一样拆解两个状态 ​

状态 1：开关在位置 1（0<t<DTs） ​

状态 2：开关在位置 2（DTs<t<Ts） ​

第三步——小纹波近似上线 ​

第四步——让伏秒平衡说话 ​

第五步——用输出端守恒来补刀 ​

第六步——直面那个并不完美的真相 ​

真相的代价——看清这个公式的解剖结构 ​

真正的坑在这里——当 D 趋近于 1 ​