练习题：从推导到仿真 | 硬件学习笔记

14.4 练习题：从推导到仿真

我们在这一章里，把「开关」这个极其不听话的家伙，驯化成了一个个听话的「受控源」和「理想变压器」。这套东西看起来抽象，但它是你在仿真里搞定变换器动态行为的唯一捷径。

别光听故事。下面的题目是这套理论的试金石——有些是让你手动推导一遍平均模型，有些是让你去处理那些不想 modeled 的损耗。

练习 14.1 ⭐⭐（推导验证）

回到最初的起点。请使用电路平均法（Circuit Averaging），推导一个带输入滤波器的 Buck 变换器的直流（DC）和小信号交流（AC）等效电路。假设所有元件都是理想的。

提示：别被输入滤波器吓住，它不参与开关动作，只是给开关网络提供了一个更复杂的负载环境。你的重点依然是那个开关网络。

练习 14.2 ⭐⭐⭐（桥式逆变器的建模）

桥式逆变器电路看起来比 Buck 复杂，但只要你能画出它的开关网络端口波形，剩下的路子是一样的。

(a) 证明这个变换器可以改画成一个开关网络加外围元件的形式。画出端口电流 $i_{1} (t)$ 和端口电压 $v_{1} (t)$ 的波形草图。

(b) 使用电路平均法，推导这个变换器的大信号平均模型。

(c) 对你在中的模型进行扰动和线性化，得到一个能同时描述直流和小信号交流特性的等效电路。

练习 14.3 ⭐⭐（Buck-Boost 的平均模型）

用电路平均法推导 Buck-Boost 变换器（工作在 CCM，所有元件理想）的直流和小信号交流等效电路。

(a) 给出它的时不变等效电路（把开关换成电压/电流源，定义波形）。

(b) 推导大信号平均模型。

(c) 扰动并线性化，得到最终的等效电路。

练习 14.4 ⭐⭐⭐（功率流向的本质）

这道题是给那些真正想明白「功率是怎么流的人」准备的。

在一个工作于 CCM 的双开关 PWM 变换器中，晶体管开关吸收直流功率 $P_{d c}$ 并向电路其余部分释放交流功率 $P_{a c} = P_{d c}$ 。另一方面，整流开关从电路吸收 $P_{a c}$ 并释放 $P_{d c}$ 。变换器的直流输出功率 $P_{o u t}$ 可以写为：

P_{o u t} = P_{d i r e c t} + P_{i n d i r e c t}

其中 $P_{i n d i r e c t}$ 等于开关处理的交流功率 $P_{a c}$ 。假设参考极性选择使得 $P_{o u t} > 0, P_{d i r e c t} > 0, P_{i n d i r e c t} > 0$ ，且忽略损耗。

请针对以下两种情况，推导输出功率 $P_{o u t}$ 和间接功率 $P_{i n d i r e c t}$ 关于 $V_{g}, I_{l o a d}, D$ 的表达式，并推导 $P_{i n d i r e c t} / P_{o u t}$ 和 $P_{d i r e c t} / P_{o u t}$ 关于直流变换比 $M = V / V_{g}$ 的表达式：

a) 一个理想的 Buck 变换器。
b) 一个理想的 Ćuk 变换器。

提示：你会发现 Buck 变换器和 Ćuk 变换器在「直接功率」占比上有本质区别，这解释了为什么它们的体积和损耗特性不同。

练习 14.5 ⭐⭐（模型的一致性检验）

使用平均开关建模技术，推导一个 Buck-Boost 变换器的交流等效电路模型。

(a) 把变换器里的开关替换成我们前面总结的通用双开关网络平均模型。

(b) 把你的结果和用状态空间法得到的那版 Buck-Boost 小信号模型对比。证明这两个模型预测的小信号输入-输出传递函数 $G_{v g} (s) = \hat{v} / {\hat{v}}_{g}$ 是一样的。

意义：这说明不管你用哪种路子推，物理本质是不会变的。

练习 14.6 ⭐⭐（引入现实世界）

我们在 14.3 节里花了很大力气处理 MOSFET 的导通电阻 $R_{o n}$ 和二极管压降 $V_{D}$ 。

现在，请修改我们前面总结的那组 CCM 直流和小信号交流平均开关模型，计入这两个非理想因素。

练习 14.7 ⭐⭐⭐（隔离型的挑战：Flyback）

Flyback 变换器其实就是一个隔离版的 Buck-Boost，但它的变压器磁化电感扮演了关键角色。忽略所有损耗和漏感。

(a) 定义一个包含晶体管 $Q_{1}$ 和二极管 $D_{1}$ 的开关网络。推导这个开关网络的大信号平均开关模型。注意：模型必须计入变压器匝数比 $n$ 。

(b) 对 (a) 中的模型进行扰动和线性化，得到直流和交流小信号平均开关模型。验证当 $n = 1$ 时，你的模型能退化回前面 14.1 节推导出的那版通用平均开关模型。

(c) 使用你推导的模型，画出完整的 Flyback 变换器直流和小信号交流模型。求解稳态变换比 $M (D) = V / V_{g}$ 。

(d) 思考题：你在和中推导的模型，还可以用于哪些带隔离变压器的变换器？

练习 14.8 ⭐（基础推导）

一个理想的 Buck 变换器工作在输入电压 $V_{g}$ 、输出电流 $I_{l o a d}$ 和占空比 $D$ 下。推导输出功率和间接功率关于 $V_{g}, I_{l o a d}, D$ 的表达式。

练习 14.9 ⭐（三剑客的对比）

理想 Buck、Boost 和 Buck-Boost 变换器都工作在输入电压 $V_{g}$ 、输出电流 $I_{l o a d}$ 和占空比 $D$ 下。

针对每一种变换器，推导间接功率与输出功率的比值 $P_{i n d i r e c t} / P_{l o a d}$ 。

观察：做完这道题，你会对 Boost 的痛苦有深刻的数学理解——为什么 Boost 的应力那么大？

练习 14.10 ⭐⭐⭐（隔离 + 损耗）

回到那台 Flyback 变换器。这次，晶体管有导通电阻 $R_{o n}$ ，二极管有正向压降 $V_{D}$ 。忽略其他损耗和漏感。

推导包含晶体管 $Q_{1}$ 和二极管 $D_{1}$ 的开关网络的直流和小信号交流平均开关模型。模型必须计入 $R_{o n}$ 、 $V_{D}$ 和匝数比 $n$ 。

练习 14.11 ⭐⭐⭐（二极管的阴暗面：反向恢复）

这是给实战派的题目。二极管的反向恢复是高压高频变换器损耗的主要来源。

在一个 Boost 变换器中，我们观察到了 $v_{1} (t)$ 和 $i_{2} (t)$ 的波形。在晶体管开通瞬间，二极管流过一个反向电流以扫除存储电荷。这个反向电流尖峰的面积为 $- Q_{r}$ ，持续时间为 $t_{r}$ 。电感绕组电阻为 $R_{L}$ 。

除了二极管存储电荷引起的开关损耗和电感绕组电阻引起的导通损耗外，忽略所有其他损耗。

(a) 推导这个 Boost 开关网络的平均开关模型。

(b) 使用的结果，画出 Boost 变换器的直流等效电路模型。

(c) 二极管存储电荷可以表示为电流 $I_{1}$ 的函数：

Q_{r} = k_{q} \sqrt{I_{1}}

而反向恢复时间 $t_{r}$ 近似为常数。给定参数： $V_{g} = 100 V$ , $D = 0.5$ , $f_{s} = 100 kHz$ , $k_{q} = 100 nC / \sqrt{A}$ , $t_{r} = 100 ns$ , $R_{L} = 0.1 Ω$ 。

请用直流扫描仿真，画出负载电流 $I_{L O A D}$ 在 $1 A \leq I_{L O A D} \leq 10 A$ 范围内，变换器效率随负载电流变化的曲线。

提示：这里的损耗计算需要你在平均模型里巧妙地加入一个与电流相关的功率项。

本章小结与回响

走到这一章的尽头，让我们回过头看一眼我们在 14.1 节那个开头。

为什么我们需要「平均」？因为原始的开关世界是疯狂的——它既时变又非线性，如果你直接把它扔进仿真器或者控制方程里，算力会瞬间爆炸，而且结果会淹没在开关纹波的噪声里。

我们在本章构建的那套「平均开关模型」，本质上就是把那个疯狂的开关网络，关进了一个**「时不变的笼子」**里。

CCM1 模型让我们看到了无损的理想世界：开关网络变成了一个变比为 $d^{'} : d$ 的理想变压器。这解释了为什么变换器的电压增益天生就是非线性的。
CCM2 模型把我们拉回了现实：我们引入了 $R_{o n} / d$ 来模拟导通损耗。这不仅仅是修修补补，它让我们能在仿真中看到效率曲线，预测热应力。

这套方法论最硬核的地方在于，它不仅是为了手算推导（虽然手算也很重要），更是为了仿真实战。当你把一个封装好的 CCM2 子电路扔进 SPICE，跑一次 .ac 分析只需要几秒钟，而不是详细开关模型需要的几小时。

还记得 14.1.4 节那个关于「直接功率」和「间接功率」的讨论吗？那时候我们只是定性地说了说。现在，通过这些练习题——特别是 14.4 题和 14.11 题——你应该能定量地算出，有多少能量是「直通」过去没受罪的，又有多少能量是被开关强行折腾、变换电压等级后再吐出来的。那个「间接功率」，正是器件发热和体积膨胀的罪魁祸首。

下一章，我们将利用这个「时不变」的特权，开启变换器的「歌手模式」。我们要对它进行 AC 小信号分析。我们将向这个平均模型注入正弦波，画出它的波特图，看看它在什么频率下会开始振荡，什么频率下会拒绝响应。也就是在那一刻，我们才能设计出那个让它稳如泰山的反馈环路。

练习题

练习 1：understanding

题目：电路平均法与状态空间 averaging 法在数学本质上是等价的，但电路平均法在操作对象上有一个显著区别。请指出这个区别是什么，并说明为什么这有助于建立“平均开关模型”？

答案与解析

答案：区别：电路平均法直接对电路图中的波形进行平均，而不是对微分方程进行平均。原因：这种操作直接针对“开关网络”部分进行，将开关器件替换为等效的受控源，从而能够提取出一个通用的、独立于具体变换器拓扑的子电路模型（即平均开关模型）。

解析：根据章节开头所述，状态空间 averaging 是对数学方程组进行操作，而电路 averaging 是直接在电路图上对波形（如 v1(t), i2(t)）进行操作。通过将开关视为受控源并求其平均值的表达式（例如 ⟨v1⟩ = d' ⟨v2⟩ / d），我们可以将开关网络封装成一个“黑盒子”或子电路模块。这使得同一个模型可以适用于 Buck、Boost 等多种变换器，而不必每次重新推导整个电路的方程。

练习 2：understanding

题目：对于工作在 CCM 模式下的理想 Boost 变换器，应用文中推导的“平均开关模型”，其端口 1（输入端口）和端口 2（输出端口）之间的等效直流变换比是多少？请用占空比 D 表示。

答案与解析

答案：等效直流变换比为 D'😄 (即 (1-D) : D)，或者从端口 2 到端口 1 的电压比为 D/D'。

解析：根据文中 14.1.3 节的推导，所有的基本二开关变换器在 CCM 模式下，其平均开关模型都包含一个等效的直流变压器。根据那版小信号线性化模型和公式 14.7/14.8 的结果，开关网络将端口 2 的电压/电流变换到端口 1 时，遵循 D'😄 的比例（V1 = D' V2 / D）。对于 Boost 变换器，输出电压 V2 与输入电压 V1 的关系通过这一模型及外部电路关系确定，最终符合 Boost 的特性。

练习 3：application

题目：在推导 SEPIC 变换器的平均开关模型时，假设开关网络的端口波形 v2(t) 和 i1(t) 为独立输入变量。若在 CCM 下，测得端口 2 的平均电压 ⟨v2(t)⟩_Ts = 20V，占空比 d = 0.4，根据平均开关模型公式，端口 1 的平均电压 ⟨v1(t)⟩_Ts 是多少？

答案与解析

答案：30V

解析：根据文中公式 14.7：⟨v1(t)⟩_Ts = d'(t) ⟨v2(t)⟩_Ts / d(t)。代入数值计算：d = 0.4，则 d' = 1 - 0.4 = 0.6。因此，⟨v1⟩ = 0.6 * 20V / 0.4 = 12V / 0.4 = 30V。这展示了如何将平均开关模型的大信号非线性公式应用于具体数值计算。

练习 4：application

题目：若你要使用 SPICE 仿真软件来预测一个 PWM 变换器在 100kHz 处的音频敏感度，你应该选择“详细器件模型”还是“平均变换器模型”？请解释理由。

答案与解析

答案：应选择“平均变换器模型”。

解析：根据 14.3 节的内容，详细器件模型用于模拟开关瞬态和损耗，包含高频噪声，且通常需要瞬态仿真，难以直接通过 AC 扫描得到精确的波特图。而平均变换器模型忽略了开关纹波，保留了低频动态特性。SPICE 可以对这种平均化后的电路直接进行 AC 小信号分析，从而快速准确地画出 100kHz（远低于开关频率）处的传递函数，这是平均开关模型的一个重要应用优势。

练习 5：thinking

题目：文中提到了“间接功率”的概念，即功率被转化为高频交流形式后再传输。Buck-Boost 变换器和 Buck 变换器在功率传输路径上有显著不同。请基于“直接功率”和“间接功率”的概念分析：为什么通常预期 Buck 变换器的效率会高于 Buck-Boost 变换器？（提示：思考从输入到输出的直流通路）

答案与解析

答案：因为 Buck 变换器存在直接功率传输路径，而 Buck-Boost 变换器的功率几乎完全依赖间接功率传输。

解析：根据 14.1.4 节，直接功率是指在部分子区间中，直流能量无需经过高频逆变和整流的中间步骤，直接从输入传递到输出。

Buck 变换器：当开关闭合时，输入电源直接与电感和输出端相连（存在直流通路），部分能量以直流形式直接传输。这部分能量只经历导通损耗，避免了高频开关损耗和磁性元件的交流损耗。
Buck-Boost 变换器：在开关导通和关断的任何时刻，输入源和输出负载都没有公共的直流回路（输入源只向电感储能，电感向负载放电）。所有能量都必须先转化为高频交流（存储在电感中），然后再整流输出。这意味着全部功率都是“间接功率”，不仅要经过导通损耗，还要承受开关切换损耗和磁芯交流损耗。因此，传输直接功率的变换器通常效率更高。

要点提炼

电路平均法的核心在于将时变的开关网络从拓扑中剥离，通过受控源替代开关器件，将原本随时间跳变的非线性电路转化为拓扑固定的“时不变”系统。这种方法摆脱了繁琐的状态空间微分方程推导，允许工程师像处理理想变压器一样封装开关网络，从而获得包含直流与交流小信号特性的通用等效电路模型（如 CCM1），这是分析 Buck、Boost 及 SEPIC 等各类变换器动态行为的“瑞士军刀”。

在 CCM 模式下，平均开关模型的数学本质是一个变比为 $d^{'} : d$ （或 $1 : D$ 、 $D^{'} : 1$ ）的理想变压器，并叠加了反映控制扰动 $\hat{d}$ 的独立受控源。通过“冻结”拓扑和“抹平”纹波，原电路的高频开关动作被抽象为端口变量间的代数关系，使得复杂的功率传输过程简化为对平均电压和电流的线性电路分析，极大降低了系统建模的复杂度。

物理上，该模型揭示了变换器功率传输的两种形式：直接功率与间接功率。对于 SEPIC、Ćuk 等无直通路径的拓扑，100% 的功率必须经历“直流转高频交流”再“整流回直流”的间接传输过程，这种通过高频纹波作为媒介的搬运机制解释了为何此类变换器的损耗和器件应力通常高于具有直接功率通路的 Buck 或 Boost 变换器。

为了兼顾仿真速度与工程精度，平均模型被封装为 SPICE 子电路（如 CCM1 和 CCM2）。相比于需要纳秒级步长且极易收敛失败的详细开关瞬态仿真，平均模型忽略了开关纹波细节，能够以极快的速度完成直流工作点扫描、负载瞬态响应分析及效率计算，是评估系统环路稳定性和进行大范围参数扫描的高效工具。

现实中的导通损耗可以通过修改受控源的代数关系直接嵌入平均模型中，例如加入 $R_{o n} / d$ 项来等效 MOSFET 的电阻效应，或加入 $V_{D}$ 来等效二极管压降。这种修正不仅保留了模型直观的物理意义，还能在仿真中精准预测不同占空比和负载条件下的效率曲线，帮助工程师快速定位设计的最佳工作区间并权衡器件成本。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

14.4 练习题：从推导到仿真 ​

本章小结与回响 ​

练习题 ​

练习 1：understanding ​

练习 2：understanding ​

练习 3：application ​

练习 4：application ​

练习 5：thinking ​

要点提炼 ​

14.4 练习题：从推导到仿真

本章小结与回响

练习题

练习 1：understanding

练习 2：understanding

练习 3：application

练习 4：application

练习 5：thinking

要点提炼