7.5.4 示例：非理想 Buck–Boost 变换器的状态空间平均

好了，理论铺垫得差不多了，该上点硬菜了。

上一节我们在黑板上推导了一通公式，得到了一个看起来有点唬人的通用线性化模型。如果不把它落地到一个具体的例子上，那些矩阵里的 $\mathbf{A}$、$\mathbf{B}$ 也就是一堆代号，没什么实感。

这一节，我们要把这套状态空间平均的方法论，应用到最经典的测试用例上：一个非理想的 Buck–Boost 变换器。

之所以选它，是因为它既不像 Buck 那么简单（只有降压），也不像 Boost 那么单纯（只有升压），它能升能降，而且在这个例子里，我们要故意加入一些非理想因素——MOSFET 的导通电阻 $R_{on}$ 和二极管的压降 $V_D$——看看这套方法能不能像外科手术一样，把寄生参数的物理意义精准地切出来。

我们的目标是得到一个完整的等效电路模型，不仅管输出端口，还要管输入端口（也就是输入电流 $i_g$ 的行为）。让我们开始。

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第一步：定义变量

首先，我们要把物理世界的元件翻译成数学世界的符号。

对于一个 Buck–Boost 变换器，真正的独立状态变量只有两个：电感电流 $i(t)$ 和 电容电压 $v(t)$。这两个量决定了系统的能量状态。

所以，状态向量 $\mathbf{x}(t)$ 的定义毫无悬念：

$$\mathbf{x}(t)=\left[\begin{array}{c}i(t)\\ v(t)\end{array}\right]\text{(7.130)}$$

接下来是输入向量 $\mathbf{u}(t)$。谁是外部驱动的独立源？ 显然，输入电压 $v_g(t)$ 是一个。 除此之外，我们特意要把二极管 $D_1$ 的正向压降建模为一个独立的电压源 $V_D$。既然是我们设定的“源”，它也得算作输入之一。

因此，输入向量包含两个元素：

$$\mathbf{u}(t)=\left[\begin{array}{c}{v}_g(t)\\ V_D\end{array}\right]\text{(7.131)}$$

最后是输出向量 $\mathbf{y}(t)$。 我们要的是“完整”模型，意味着我们要关心输入端口的电流特性。输入电流 $i_g(t)$ 是一个受电路状态控制的“非独立”量，所以我们要把它算进输出里，好让方程把它解出来。

注意，输出电压 $v(t)$ 已经在状态向量里了，没必要在输出向量里重复算一遍。所以：

$$\mathbf{y}(t)=[i_g(t)]\text{(7.132)}$$

变量定义完毕，战场清空。

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第二步：子拓扑 1（开关导通）

当 MOSFET $Q_1$ 导通时，电路进入「充电」状态。二极管反向截止，输入电压直接加在电感上，电容独自给负载供电。

我们根据 KVL 和 KCL 写方程：

1. 电感电压：输入电压减去电感电流在 $R_{on}$ 上的压降。$$L\frac{di(t)}{dt}=v_g(t)-i(t)R_{on}$$
2. 电容电流：电容电压 $v(t)$ 作用在负载 $R$ 上产生的电流。$$C\frac{dv(t)}{dt}=-\frac{v(t)}{R}$$
3. 输入电流：直接等于电感电流。$$i_g(t)=i(t)$$

这里没什么魔法，只是把物理规律写下来。为了套用我们刚才的矩阵公式，我们需要把它整理成 $\mathbf{K}\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}$ 的形式。

在这个子电路（Subinterval 1）里，对应的矩阵是 ${\mathbf{A}}_1,{\mathbf{B}}_1,{\mathbf{C}}_1,{\mathbf{E}}_1$。把它们填进去：

$$\underset{\mathbf{K}}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}L& 0\\ 0& C\end{array}\right]}}\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}i(t)\\ v(t)\end{array}\right]=\underset{{\mathbf{A}}_1}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}-R_{on}& 0\\ 0& -\frac{1}{R}\end{array}\right]}}\left[\begin{array}{c}i(t)\\ v(t)\end{array}\right]+\underset{{\mathbf{B}}_1}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]}}\left[\begin{array}{c}{v}_g(t)\\ V_D\end{array}\right]\text{(7.134)}$$

对于输出方程：

$$\underset{\mathbf{y}(t)}{\underbrace{[i_g(t)]}}=\underset{{\mathbf{C}}_1}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]}}\left[\begin{array}{c}i(t)\\ v(t)\end{array}\right]+\underset{{\mathbf{E}}_1}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}0& 0\end{array}\right]}}\left[\begin{array}{c}{v}_g(t)\\ V_D\end{array}\right]\text{(7.134 cont.)}$$

${\mathbf{A}}_1,{\mathbf{B}}_1,{\mathbf{C}}_1,{\mathbf{E}}_1$ 到位。

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第三步：子拓扑 2（开关关断）

当开关打到位置 2，电感通过二极管向电容和负载释放能量，电路进入「放电」状态。此时输入源 $v_g$ 被断开，二极管压降 $V_D$ 串联在回路里。

继续列方程。这里有一个建模选择必须先讲清楚：在这个例子里，我们让 $R_{on}$ 只在 MOSFET 导通的那半个周期里串进电感回路，而关断的那半个周期（电流走二极管）就不再带 $R_{on}$。这看起来「非对称」，但其实是符合物理的——关断期间电流走的是二极管支路，电感看到的回路电阻是二极管的正向动态电阻（已经被我们用理想压降 $V_D$ 近似掉了），而不是 MOSFET 的 $R_{on}$。所以状态 2 的电感方程里没有 $-i(t)R_{on}$ 这一项。

于是状态 2 的方程为：

$$L\frac{di(t)}{dt}=v(t)-V_D$$$$C\frac{dv(t)}{dt}=-\frac{v(t)}{R}-i(t)$$$$i_g(t)=0$$

写成矩阵形式 ${\mathbf{A}}_2,{\mathbf{B}}_2,{\mathbf{C}}_2,{\mathbf{E}}_2$：

$$\left[\begin{array}{cc}L& 0\\ 0& C\end{array}\right]\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}i(t)\\ v(t)\end{array}\right]=\underset{{\mathbf{A}}_2}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -\frac{1}{R}\end{array}\right]}}\left[\begin{array}{c}i(t)\\ v(t)\end{array}\right]+\underset{{\mathbf{B}}_2}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 0\end{array}\right]}}\left[\begin{array}{c}{v}_g(t)\\ V_D\end{array}\right]\text{(7.136)}$$

输出方程：

$$[i_g(t)]=\underset{{\mathbf{C}}_2}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}0& 0\end{array}\right]}}\left[\begin{array}{c}i(t)\\ v(t)\end{array}\right]+\underset{{\mathbf{E}}_2}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}0& 0\end{array}\right]}}\left[\begin{array}{c}{v}_g(t)\\ V_D\end{array}\right]$$

（注：输入电流在状态 2 为 0，这是合理的，因为开关断开了输入回路。）

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第四步：平均化运算

现在我们手里有两套矩阵，一套描述“开”的状态，一套描述“关”的状态。 按照状态空间平均法的核心公式：平均矩阵等于各状态矩阵的加权和。

权重就是占空比。 $\mathbf{A}=D{\mathbf{A}}_1+D^{\prime }{\mathbf{A}}_2$$\mathbf{B}=D{\mathbf{B}}_1+D^{\prime }{\mathbf{B}}_2$$\mathbf{C}=D{\mathbf{C}}_1+D^{\prime }{\mathbf{C}}_2$$\mathbf{E}=D{\mathbf{E}}_1+D^{\prime }{\mathbf{E}}_2$

我们来算一下 $\mathbf{A}$：

$$\mathbf{A}=D\left[\begin{array}{cc}-R_{on}& 0\\ 0& -\frac{1}{R}\end{array}\right]+D^{\prime }\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -\frac{1}{R}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-D{R}_{on}& D^{\prime }\\ -D^{\prime }& -1/R\end{array}\right]\text{(7.137)}$$

再来算 $\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{E}$：

$$\mathbf{B}=D\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]+D^{\prime }\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}D& -D^{\prime }\\ 0& 0\end{array}\right]\text{(7.138)}$$$$\mathbf{C}=D\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]+D^{\prime }\left[\begin{array}{cc}0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}D& 0\end{array}\right]\text{(7.138)}$$$$\mathbf{E}=D\left[\begin{array}{cc}0& 0\end{array}\right]+D^{\prime }\left[\begin{array}{cc}0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\end{array}\right]\text{(7.138)}$$

这几个矩阵里，$\mathbf{A}$ 是最关键的，它决定了系统的极点和动态响应。你可以看到那个 $-D{R}_{on}$，这就是我们之前用伏秒平衡算出来的等效直流电阻。而 $D^{\prime }$ 和 $-D^{\prime }$ 则体现了 Buck–Boost 变换器特有的能量传输属性。

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第五步：稳态解（直流模型）

现在我们要解稳态。在稳态下，导数为 0。 $\mathbf{0}=\mathbf{AX}+\mathbf{BU}$$\mathbf{Y}=\mathbf{CX}+\mathbf{EU}$

把刚才算出来的平均矩阵代进去：

$$\mathbf{0}=\left[\begin{array}{cc}-D{R}_{on}& D^{\prime }\\ -D^{\prime }& -1/R\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}I\\ V\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}D& -D^{\prime }\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{V}_g\\ V_D\end{array}\right]\text{(7.139)}$$

这个方程组其实就在告诉你两件事：

1. 第一行（电感方程）告诉我们：电感上的平均电压为 0（伏秒平衡）。
2. 第二行（电容方程）告诉我们：电容上的平均电流为 0（电荷平衡）。

如果我们去解这个矩阵方程，就能得到稳态值 $I$ 和 $V$。原文给出了 (7.140) 的解，但那个矩阵求逆过程写出来太占地方，而且对理解电路模型帮助不大。 不如直接画电路。

观察 (7.139) 的第一行：

$$-D{R}_{on}I+D^{\prime }V+D{V}_g-D^{\prime }{V}_D=0$$

这可以写成：

$$0=-D{R}_{on}I+D^{\prime }V+(D{V}_g-D^{\prime }{V}_D)$$

这不就是一个包含电阻 $D{R}_{on}$、电压源 $D{V}_g$（这也是我们熟悉的，来自 $M(D)\cdot V_g$）以及二极管等效项 $D^{\prime }{V}_D$ 的回路方程吗？

基于这些方程，我们可以重构出直流等效电路模型。

这个模型里有一个 $1:D$ 和 $D^{\prime }:1$ 的级联变压器结构，原边串着 $D{R}_{on}$ 和 $D{V}_g$，副边串着折算后的二极管压降 $D^{\prime }{V}_D$，输出端口接负载 $R$，输入端口电流为 $I_g=DI$。

这个模型完美地把所有非理想因素都“吸收”到了各自的回路中：$R_{on}$ 变成了 $D{R}_{on}$，二极管压降变成了折算后的电压源 $D^{\prime }{V}_D$。

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第六步：线性化——小信号模型

有了稳态工作点 $(\mathbf{X},\mathbf{U})$，也就是 $I,V,V_g,V_D$，我们就可以进行最后一步：扰动与线性化。

我们需要计算那个看似吓人的系数项：

$$({\mathbf{A}}_1-{\mathbf{A}}_2)\mathbf{X}+({\mathbf{B}}_1-{\mathbf{B}}_2)\mathbf{U}$$$$({\mathbf{C}}_1-{\mathbf{C}}_2)\mathbf{X}+({\mathbf{E}}_1-{\mathbf{E}}_2)\mathbf{U}$$

先算 ${\mathbf{A}}_1-{\mathbf{A}}_2$ 和 ${\mathbf{B}}_1-{\mathbf{B}}_2$：

$${\mathbf{A}}_1-{\mathbf{A}}_2=\left[\begin{array}{cc}-R_{on}& 0\\ 0& -1/R\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1/R\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-R_{on}& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$$$${\mathbf{B}}_1-{\mathbf{B}}_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$$

现在代入 $\mathbf{X}=\left[\begin{array}{c}I\\ V\end{array}\right]$ 和 $\mathbf{U}=\left[\begin{array}{c}{V}_g\\ V_D\end{array}\right]$：

$$({\mathbf{A}}_1-{\mathbf{A}}_2)\mathbf{X}+({\mathbf{B}}_1-{\mathbf{B}}_2)\mathbf{U}=\left[\begin{array}{c}-R_{on}I-V\\ I\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{V}_g+V_D\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{V}_g-V-I{R}_{on}+V_D\\ I\end{array}\right]\text{(7.141)}$$

这就是出现在 $\hat{d}(t)$ 前面的系数向量。 注意看它的物理意义：第一行 $V_g-V-I{R}_{on}+V_D$，这不就是电感上叠加的那些直流电压分量吗？ 这一项作为受控源，会出现在小信号电感方程里。

同理，计算输出的系数：

$${\mathbf{C}}_1-{\mathbf{C}}_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]$$$$({\mathbf{C}}_1-{\mathbf{C}}_2)\mathbf{X}+({\mathbf{E}}_1-{\mathbf{E}}_2)\mathbf{U}=I\text{(7.141)}$$

这说明输入电流的扰动中，直接叠加了一个 $I\hat{d}(t)$。

现在，把这些项全部组装到线性化状态方程 (7.142) 中：

$$\mathbf{K}\frac{d\hat{\mathbf{x}}(t)}{dt}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}(t)+\mathbf{B}\hat{\mathbf{u}}(t)+[({\mathbf{A}}_1-{\mathbf{A}}_2)\mathbf{X}+({\mathbf{B}}_1-{\mathbf{B}}_2)\mathbf{U}]\hat{d}(t)$$

写成标量形式（就是把矩阵展开成我们看得懂的电路方程），就是 (7.143)：

1. 电感方程：

   $$L\frac{d\hat{i}(t)}{dt}=D^{\prime }\hat{v}(t)-D{R}_{on}\hat{i}(t)+D{\hat{v}}_g(t)+\underset{\text{来自 }\hat{d}\text{ 的激励}}{\underbrace{(V_g-V-I{R}_{on}+V_D)}}\hat{d}(t)$$

2. 电容方程：

   $$C\frac{d\hat{v}(t)}{dt}=-D^{\prime }\hat{i}(t)-\frac{\hat{v}(t)}{R}+I\hat{d}(t)$$

3. 输入电流方程：

   $${\hat{i}}_g(t)=D\hat{i}(t)+I\hat{d}(t)$$

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第七步：画出等效电路

这一步就是“翻译”。 我们把上面三个标量方程分别“翻译”成电路元件。

• 第一行（电感）：包含一个 $L$，一个串联电阻 $D{R}_{on}$，一个受控电压源 $D{\hat{v}}_g$（源自 $\mathbf{B}$），以及另一个受控电压源 $e\hat{d}(t)$（源自那个长长的系数项）。这是电感回路子电路。
• 第二行（电容）：包含一个 $C$，一个并联电导 $1/R$，以及一个受控电流源 $I\hat{d}(t)$。这是电容节点子电路。
• 第三行（输入）：包含一个受控电流源 $D\hat{i}(t)$ 和 $I\hat{d}(t)$。这是输入端口子电路。

最后，把这三块拼起来，中间用理想变压器（变比 $D:D^{\prime }$）连接——这就是我们在矩阵 $\mathbf{A}$ 中看到的 $D^{\prime }$ 和 $-D^{\prime }$ 项在电路层面的体现。

最终拼出来的，就是完整的小信号交流等效电路。

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回响

看看我们这一顿猛如虎的操作之后的战果。

这不仅仅是一个电路图，它是状态空间平均法的物理实体化。

• 矩阵 $\mathbf{A}$ 里的元素，变成了变压器匝比和寄生电阻。
• 矩阵 $({\mathbf{A}}_1-{\mathbf{A}}_2)\mathbf{X}+({\mathbf{B}}_1-{\mathbf{B}}_2)\mathbf{U}$，变成了受控电压源。
• 矩阵 $({\mathbf{C}}_1-{\mathbf{C}}_2)\mathbf{X}+({\mathbf{E}}_1-{\mathbf{E}}_2)\mathbf{U}$，变成了受控电流源。

你完全可以不用画电路，直接拿着这些矩阵去跑 MATLAB 求解传递函数。但对于工程师来说，画出来有两个巨大的好处：

1. 直觉检查：如果变压器变比算反了，或者受控源极性搞反了，电路一眼就能看出来“这不对劲”，而矩阵可能就报错了。
2. 通用性：不管你面对的是 Buck、Boost 还是 Flyback，只要你写出了状态方程，这套流程就能自动吐出一个等效电路。

状态空间平均法，本质上就是把离散的、跳变的物理世界，强行通过数学手段平滑成连续的、可解析的数学模型。它是连接“物理开关”和“控制理论”之间最坚固的那座桥梁。

💡 矩阵法的真正甜头：这一节手算到吐，你可能会问「为什么不直接用 7.2 节的电路平均法？」答案是——当拓扑只有两个子区间、一个电感一个电容时，电路平均法确实更直观。但一旦你面对的是 Cuk（4 个状态变量）、或者带多个寄生参数的五阶系统，电路平均法的「画受控源再合并」会绕到爆炸，而状态空间法只要老老实实填 4 个矩阵，剩下的加权平均和线性化全是机械代数，可以丢给 MATLAB。所以记住：简单拓扑用电路法找直觉，复杂拓扑用矩阵法保命。

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参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。