建模脉宽调制器（PWM） | 硬件学习笔记

7.3 建模脉宽调制器（PWM）

现在，整个建模谜题的最后一块碎片终于要拼上了。

在上一节里，我们成功地「降伏」了反激变换器中的功率级——那个由电感、电容、开关和变压器组成的暴力物理世界。我们用平均化和线性化这两把手术刀，把那个忽通忽断的混沌电路，解剖成了一个听话的线性交流等效电路。

现在只剩下那个一直站在门口的「翻译官」——脉宽调制器（PWM）。

没有它，控制电路发出的模拟信号 $v_{c} (t)$ 就只是一团无用的电压，功率级听不懂，更不会去改变占空比。我们的任务是为这个翻译官建立模型，搞清楚它是怎么把连续的模拟电压「翻译」成开关能懂的离散占空比信号 $δ (t)$ 的。

7.3.1 PWM 是怎么工作的？

先来看一下 PWM 调制器的实际结构，别被吓跑，它其实很简单。

它的核心部件只有两个：

锯齿波发生器：产生一个固定的锯齿波电压 $v_{s a w} (t)$ 。
比较器：一个疯狂比较输入大小的器件。

我们通常用 $v_{s a w} (t)$ 来设定开关频率 $f_{s}$ 。锯齿波的峰峰值电压记为 $V_{M}$ 。

把模拟控制信号 $v_{c} (t)$ 接到比较器的正端，把锯齿波 $v_{s a w} (t)$ 接到负端。比较器的输出逻辑 $δ (t)$ 遵循一个简单的暴力规则：

当 $v_{c} (t) > v_{s a w} (t)$ 时，输出高电平（开关导通）。
否则，输出低电平（开关关断）。

这就产生了一个经典的** trailing-edge（后沿）调制**波形。

我们可以想象一个简单的类比：这是一个看谁跑得快的比赛。锯齿波 $v_{s a w} (t)$ 是一个匀速起跑的运动员，从 0 跑到 $V_{M}$ ，然后瞬间回到起点重新跑。控制信号 $v_{c} (t)$ 是一条终点线。

如果终点线 $v_{c} (t)$ 设得很低（比如接近 0），锯齿波刚起跑一点点就撞线了，比较器翻转。
如果终点线 $v_{c} (t)$ 设得很高（接近 $V_{M}$ ），锯齿波要跑很久才能撞线，比较器就晚翻转。

撞线的时刻，就是开关关断的时刻。

7.3.2 揭示距离：类比在哪失效了？

但「终点线」这个类比有一个地方是错的，也是 PWM 模型的关键：

真正的比赛里，你可以随时移动终点线。但在 PWM 里，一旦锯齿波起跑，你在这一周期内怎么动 $v_{c} (t)$ ，都不会改变这一枪的结果了。

这就是采样。虽然 $v_{c} (t)$ 是连续变化的模拟电压，但在每一个开关周期 $T_{s}$ 内，PWM 只能在那个「撞线」的瞬间看它一眼（采样），从而决定这一周期的占空比 $d (t)$ 是多少。一旦确定了，这个 $d (t)$ 就会锁定整个周期，直到下一个锯齿波到来。

这个「采样」特性会在高频下引发麻烦，但在我们现在的低频模型里，可以先暂时忽略它，把它当成一个连续的线性环节。不过我们心里得有数，这玩意儿不是理想的。

7.3.3 推导输入输出特性

现在我们回到 PWM 的波形上来建立数学关系。假设锯齿波 $v_{s a w} (t)$ 的最小值是 0，最大值是 $V_{M}$ 。在一个周期 $T_{s}$ 内，锯齿波从 0 线性上升到 $V_{M}$ 。

若 $v_{c} (t) \leq 0$ ，则 $v_{c}$ 永远追不上锯齿波，占空比 $d (t) = 0$ 。若 $v_{c} (t) \geq V_{M}$ ，则 $v_{c}$ 始终高于锯齿波，占空比 $d (t) = 1$ 。

对于正常工作区间 $0 \leq v_{c} (t) \leq V_{M}$ ，利用相似三角形原理（或者简单的线性关系），我们可以直接写出占空比 $d (t)$ 与控制电压 $v_{c} (t)$ 的关系：

d (t) = \frac{v_{c} (t)}{V_{M}}

这就是 PWM 调制器的静态输入输出特性。你看，它本质上就是一个增益。输入电压乘以增益 $1 / V_{M}$ ，就得到了占空比。

7.3.4 引入小信号扰动

为了把它塞进我们上一节辛辛苦苦搭好的交流等效电路模型里，我们需要对这个关系进行扰动和线性化。

还记得那个套路吗？把变量拆成直流分量（稳态）和交流分量（小信号扰动）：

v_{c} (t) = V_{c} + {\hat{v}}_{c} (t)

d (t) = D + \hat{d} (t)

这里的 $V_{c}$ 和 $D$ 是我们在设计时设定好的工作点（Quiescent Point），而 ${\hat{v}}_{c} (t)$ 和 $\hat{d} (t)$ 是我们要关心的微小变化量。

把这两个式子代入刚才的线性公式 $d (t) = v_{c} (t) / V_{M}$ ：

D + \hat{d} (t) = \frac{V_{c} + {\hat{v}}_{c} (t)}{V_{M}}

把等式两边对应项拿出来：

直流项：
$D = \frac{V_{c}}{V_{M}}$
这说明我们的稳态占空比 $D$ 完全由控制电压的直流偏置 $V_{c}$ 决定。
交流项：
$\hat{d} (t) = \frac{{\hat{v}}_{c} (t)}{V_{M}}$
这说明占空变化的交流分量，也是控制电压交流分量的线性缩放。

7.3.5 模型框图与 PWM 增益

现在我们可以把上面那个交流项的关系画成框图了。

这个框图就是 PWM 的小信号模型。它非常简洁：一个增益为 $1 / V_{M}$ 的比例环节。控制电压的小扰动 ${\hat{v}}_{c} (t)$ 进来，乘以这个增益，就变成了占空比的小扰动 $\hat{d} (t)$ 。

回到那个「终点线」的类比：你现在应该能看出来，锯齿波的幅度 $V_{M}$ 其实就是标尺的刻度。 $V_{M}$ 越大，同样的控制电压变化 ${\hat{v}}_{c}$ 引起的占空比变化 $\hat{d}$ 就越小——相当于灵敏度被调低了。反之， $V_{M}$ 越小，系统越灵敏。这个增益 $F_{m} = 1 / V_{M}$ 是控制环路设计中极其重要的一个参数。

7.3.6 真正的坑：采样效应

刚才那个线性增益模型是不是太完美了？是的。它隐含了一个假设：PWM 是完全线性的、连续的。

事情到这里还没完。

还记得我们在前面埋下的伏笔吗？——采样。在每一个开关周期内，无论 $v_{c} (t)$ 在这期间怎么跳动，比较器只关心它在翻转瞬间的值。这就像是把一根连续的曲线切成了一段段台阶。

一个更精确的 PWM 模型应该长这样：它不仅仅是一个增益，后面还挂着一个采样器。

这个采样器在每一个开关周期 $T_{s}$ 动作一次（具体是 trailing edge 时的下降沿）。这意味着，如果你的控制信号 ${\hat{v}}_{c} (t)$ 变化得太快——快到接近开关频率 $f_{s}$ ，这个模型就会失效。你会看到混叠，就像车轮转太快在视频里看起来像倒转一样。

在实践中，这意味着控制回路的带宽 $f_{B W}$ 必须被限制在远低于开关频率的一半（Nyquist 限制，即 $f_{s} / 2$ ）。否则，你以为在调节电压，其实 PWM 根本采不到那个变化，或者采到了错误的相位，系统就会直接振荡甚至发散。

这不仅仅是个理论坑。 在数字控制（第 19 章）或者电流模式控制（第 18 章）里，这个采样引入的延迟会是限制环路带宽的罪魁祸首。但在目前这一章的模拟平均模型里，我们先把它记在小本子上，继续使用那个简单的线性增益模型。只要我们的频率够低，它就是好用的。

到这里，PWM 模型这块拼图也严丝合缝地扣上了。我们拿到了 $\hat{d} (t)$ 到 ${\hat{v}}_{o u t} (t)$ 的传递函数（来自上一节的交流等效电路），也拿到了 ${\hat{v}}_{c} (t)$ 到 $\hat{d} (t)$ 的增益（来自这一节的 PWM 模型）。

这意味着，我们终于可以闭上眼睛，想象控制信号如何在环路中流动，穿过这些增益和传递函数，最终稳定住输出电压。这就是下一章——也就是整个控制系统设计——的物理基础。

⚠️ 数字控制的隐藏陷阱：在数字电源里，那个「采样器」不是连续比较器，而是 ADC + 计数器。这意味着 PWM 增益 $1 / V_{M}$ 之上还叠了一层「计算延迟 + PWM 更新延迟」，常常等效成一个小死区时间 $e^{- s T_{d}}$ 。新手把 $F_{m} = 1 / V_{M}$ 直接塞进模拟环路去算相位裕度，结果上板就振荡——因为那个额外的 $T_{d}$ 在高频段吃掉了好几度相位。所以数字电源的带宽通常要比同频模拟电源再压低一截，留出延迟裕量。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

7.3 建模脉宽调制器（PWM） ​

7.3.1 PWM 是怎么工作的？ ​

7.3.2 揭示距离：类比在哪失效了？ ​

7.3.3 推导输入输出特性 ​

7.3.4 引入小信号扰动 ​

7.3.5 模型框图与 PWM 增益 ​