22.4.1 逆变器的输出特性

上一节我们搞定了 ZVS，这让我们确信在谐振频率之上工作不仅能活下来，还能活得很好。但这就引出了一个更实际的问题：既然开关频率是固定的（或者说在一个特定范围内），那么当我们接上不同的负载时，这个谐振槽路到底会表现出什么样的行为？

换句话说，如果你盯着输出端口看，当负载电流 $\parallel i\parallel$ 变大时，输出电压 $\parallel v\parallel$ 会怎么掉下来？这不仅仅是一个简单的分压问题——它关乎我们到底能从这套系统里挤出多少功率，以及在极限情况下会发生什么。

为了回答这个问题，我们需要推导出逆变器的输出特性。

从黑盒到戴维南等效

让我们盯着这套系统看一会儿。为了把槽路内部的复杂性隔绝开，我们还是得祭出电路分析里的老朋友——戴维南等效定理。

正如我们在 22.4 节开头提到的那样，对于谐振槽路这个黑盒，我们可以定义两个核心参数：

1. 开路传递函数 $H_{\mathrm{\infty }}(s)$：当负载完全开路（$R\to \mathrm{\infty }$）时，输出电压 $v(s)$ 与输入电压 $v_{s1}(s)$ 的比值。

   $$H_{\mathrm{\infty }}(s)=\frac{v(s)}{v_{s1}(s)}{|}_{R\to \mathrm{\infty }}$$

   这个函数描述了槽路在“空载”时的理想增益。

2. 输出阻抗 $Z_{o0}(s)$：当我们把输入源 $v_{s1}(s)$ 短路（看作电压源特性，内阻视为零，即电压源短路保留阻抗），从输出端口看进去的等效阻抗。

有了这两个东西，那个复杂的谐振网络就可以简化成一个清爽的戴维南等效电路：一个标准的电压源串联输出阻抗的模型。

在这个模型里，根据分压公式，输出电压 $v(s)$ 很容易写出来：

$$v(s)=H_{\mathrm{\infty }}(s)v_{s1}(s)\frac{R}{R+Z_{o0}(s)}$$

这里没什么魔法，就是基尔霍夫定律和欧姆定律的直接应用。$H_{\mathrm{\infty }}(s)v_{s1}(s)$ 是等效的源电压，再乘以 $R/(R+Z_{o0})$ 这个分压系数，就是最终落到负载上的电压。

聊一聊复数模值

现在我们要把视线从拉普拉斯域（$s$域）拉回到频域（$j\omega$域）。因为我们是在一个固定的开关频率 ${\omega }_s=2\pi f_s$ 下工作的，所以我们把 $s$ 替换成 $j{\omega }_s$：

$$v(j{\omega }_s)=H_{\mathrm{\infty }}(j{\omega }_s)v_{s1}(j{\omega }_s)\frac{R}{R+Z_{o0}(j{\omega }_s)}$$

我们要的是幅值（Magnitude）。在交流电路里，要算幅值，最稳妥的办法是利用复数与其共轭的乘积：

$$\parallel v(j{\omega }_s){\parallel }^2=v(j{\omega }_s)v^{\ast }(j{\omega }_s)$$

把上面的 $v(j{\omega }_s)$ 代进去，你就得到了一个长得有点吓人的式子（22.37）：

$$\parallel v(j{\omega }_s){\parallel }^2=\frac{\parallel H_{\mathrm{\infty }}(j{\omega }_s){\parallel }^2\parallel v_{s1}(j{\omega }_s){\parallel }^2}{R^2}\cdot \frac{1}{(R+Z_{o0}(j{\omega }_s))(R+Z_{o0}^{\ast }(j{\omega }_s))}$$

分母那一坨 $(R+Z)(R+Z^{\ast })$ 其实就是 $|R+Z{|}^2$ 的展开形式。别被符号吓跑了，这只是代数。

关键假设：纯无损网络

这一步是推导的转折点。

请注意，我们假设谐振槽路是由纯电抗元件（电感和电容）组成的。这意味着什么？意味着槽路内部没有电阻（或者说损耗小到可以忽略不计）。

这在工程上是一个非常有分量的近似。如果槽路是纯电抗的，那么它的所有阻抗——无论是输入阻抗还是输出阻抗 $Z_{o0}$——都是纯虚数。

对于纯虚数 $z$，它的共轭 $z^{\ast }$ 等于它的负数：

$$Z_{o0}^{\ast }(j{\omega }_s)=-Z_{o0}(j{\omega }_s)$$

这个性质就像一把钥匙，能瞬间把那个复杂的分母打开。让我们把这个性质代入式子（22.37）的分母中：

$$(R+Z_{o0})(R+Z_{o0}^{\ast })=(R+Z_{o0})(R-Z_{o0})=R^2-Z_{o0}^2$$

因为 $Z_{o0}$ 是虚数，$Z_{o0}^2$ 就是一个负实数。所以 $R^2-Z_{o0}^2$ 其实等于 $R^2+\parallel Z_{o0}{\parallel }^2$。

于是，整个式子被大大简化了：

$$\parallel v(j{\omega }_s){\parallel }^2=\frac{\parallel H_{\mathrm{\infty }}(j{\omega }_s){\parallel }^2\parallel v_s(j{\omega }_s){\parallel }^2}{R^2+\parallel Z_{o0}(j{\omega }_s){\parallel }^2}$$

为了消除 $R$，我们可以利用欧姆定律 $\parallel v\parallel =R\parallel i\parallel$。把 $R=\parallel v\parallel /\parallel i\parallel$ 代入上式，经过整理（这一步代数运算建议你在草稿纸上推一遍，感受一下那种各项归位的快感），我们得到了一个极其优美的关系：

$$\parallel v(j{\omega }_s){\parallel }^2+\parallel i(j{\omega }_s){\parallel }^2\parallel Z_{o0}(j{\omega }_s){\parallel }^2=\parallel H_{\mathrm{\infty }}(j{\omega }_s){\parallel }^2\parallel v_s(j{\omega }_s){\parallel }^2$$

椭圆特性：电压与电流的舞步

盯着上面这个式子看几秒钟。这是 $\parallel v\parallel$ 和 $\parallel i\parallel$ 的方程。

如果把 $\parallel v\parallel$ 看作 $x$，把 $\parallel i\parallel \cdot \parallel Z_{o0}\parallel$ 看作 $y$，这不就是 $x^2+y^2=\text{常数}$ 吗？

但在我们的坐标系里，横坐标是 $\parallel v\parallel$，纵坐标是 $\parallel i\parallel$。所以这就是一个椭圆方程。

为了把它写成标准的椭圆形式，我们可以定义两个关键参数：

1. 开路电压 $V_{oc}$：当负载 $R\to \mathrm{\infty }$（也就是 $\parallel i\parallel \to 0$）时的输出电压。

   $$V_{oc}=\parallel H_{\mathrm{\infty }}(j{\omega }_s)\parallel \parallel v_s(j{\omega }_s)\parallel$$

   这就是椭圆在横轴上的截距。

2. 短路电流 $I_{sc}$：当负载 $R\to 0$（也就是 $\parallel v\parallel \to 0$）时的输出电流。

   $$I_{sc}=\frac{\parallel H_{\mathrm{\infty }}(j{\omega }_s)\parallel \parallel v_s(j{\omega }_s)\parallel }{\parallel Z_{o0}(j{\omega }_s)\parallel }=\frac{V_{oc}}{\parallel Z_{o0}(j{\omega }_s)\parallel }$$

   这就是椭圆在纵轴上的截距。

有了这两个截距，式子（22.41）就可以重写成经典的椭圆标准方程（22.42）：

$$\frac{\parallel v(j{\omega }_s){\parallel }^2}{V_{oc}^2}+\frac{\parallel i(j{\omega }_s){\parallel }^2}{I_{sc}^2}=1$$

这就是谐振逆变器的输出特性。它告诉我们，在给定的开关频率下，不管你怎么折腾负载，输出电压和电流的幅值点 $(\parallel v\parallel ,\parallel i\parallel )$ 永远落在这个椭圆上。

把这个椭圆画出来，就是一个非常有用的工具图。它描述了随着负载变化，交流输出电压的幅值是如何沿着这个轨迹滑动的。

匹配负载：功率的巅峰

既然有了这个椭圆，我们就能找到一个特殊的工作点。

想象你手里有一个电阻负载 $R$。根据欧姆定律，负载线是一条过原点的直线，斜率为 $1/R$。这条直线会与椭圆相交，那个交点就是实际的工作点。

那么，当 $R$ 取什么值时，传输给负载的功率最大？

答案是当 $R=\parallel Z_{o0}(j{\omega }_s)\parallel$ 时。这被称为匹配负载。

为什么？因为从戴维南等效源的角度看，只有当负载电阻等于源内阻时，功率传输才最大化。在这个特定的条件下，通过简单的数学推导（把 $R$ 代入并开根号），你会发现工作点正好位于椭圆的“中心”——也就是电压和电流都降到了各自最大值的 $1/\sqrt{2}$ 处：

$$\parallel v(j{\omega }_s)\parallel =\frac{V_{oc}}{\sqrt{2}}$$$$\parallel i(j{\omega }_s)\parallel =\frac{I_{sc}}{\sqrt{2}}$$

这就解释了为什么谐振变换器的设计非常看重“阻抗匹配”。如果你在调试时发现输出电压怎么都拉不起来（掉得厉害），可能不是你的芯片坏了，而是你的负载电阻太小了，导致你在椭圆上跑到了太靠下的位置。

回扣 DC-DC 变换器

这里有一个容易混淆的点，必须澄清一下。

我们在上面分析的是“逆变器”的交流输出端口。但是，对于我们在前几节讨论的谐振 DC-DC 变换器，这个结论依然成立。

还记得我们在 22.1.2 节里引入的那个有效负载电阻 $R_e$ 的概念吗？

在 DC-DC 变换器里，虽然最终接的是电池或者电阻，但在谐振槽路眼里，它后面那个整流桥加上滤波电容加上真实负载，整体上表现得就像是一个电阻 $R_e$。

所以，这条椭圆特性同样适用于 DC-DC 变换器——只要把纵轴的电流理解为槽路输出给整流桥的电流，把横轴的电压理解为整流桥输入端的交流电压即可。这条椭圆曲线，就是连接输入侧和输出侧的那根看不见的“绳子”。

这个认知非常重要，因为下一节当我们讨论“边界”问题时，这个椭圆就是我们的地图。

自编小练习：假设你测得一台谐振逆变器在某频率下 $V_{oc}=200\text{V}$、$I_{sc}=2\text{A}$。问：(1) 输出阻抗 $\parallel Z_{o0}\parallel$ 是多少？(2) 匹配负载取多大、此时输出功率多少？答案：$\parallel Z_{o0}\parallel =V_{oc}/I_{sc}=100\mathrm{\Omega }$；匹配负载 $R=100\mathrm{\Omega }$，工作点落在 $(V_{oc}/\sqrt{2},I_{sc}/\sqrt{2})$，功率 $={\displaystyle \frac{V_{oc}{I}_{sc}}{2}}=200\text{W}$。这道题提醒你：椭圆的两个截距一锁，最大功率和最佳负载就全锁死了。

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参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。