建模二极管引起的开关损耗

4.3.3 建模二极管引起的开关损耗

我们在上一节里花了很大篇幅讨论二极管的反向恢复机制，不仅是因为它好玩，更是因为它真的很要命。在 PWM 变换器的损耗清单里，二极管反向恢复引起的开关损耗往往占据了榜首位置。即便你选了最好的 MOSFET，导通电阻低到忽略不计，只要二极管不给力，整个变换器的效率照样会瞬间跌穿地板。

本节的任务，是把这些物理现象翻译成电路模型。我们要把第 3 章里那些漂亮的等效电路模型拿出来——它们当时是为了理想情况设计的——现在我们要把“二极管反向恢复”这个脏东西塞进去，看看它如何破坏原有的平衡，以及我们如何量化这种破坏。

Buck 变换器战场

为了把事情说清楚，我们还是用最经典的 Buck 变换器作为靶子。

在这个模型里，我们做一个稍显理想化的假设：MOSFET 是完美的。它没有寄生电容，开关速度无限快，导通电阻为零。它只是听命于控制信号 $c (t)$ ，该信号占空比为 $D_{c}$ 。

但坏消息是，二极管是真实的。它是一个普通的 p-n 二极管，拥有两个麻烦的参数：

$t_{r}$ ：反向恢复时间。
$Q_{r}$ ：恢复电荷。

为了不让噪音淹没信号，我们暂时忽略导通损耗（ $R_{o n}$ ）和开关纹波，专注于开关瞬间的那个“碰撞”。

波形：真实的碰撞过程

下面这套波形，就是我们在"二极管会反向恢复"这个非理想世界里会看到的样子（这里我们假设软度因子 $S = 0$ ，也就是最惨烈的情况：电流瞬间折返，没有圆滑过渡）。

这里有一个微妙的细节需要解释：占空比的扭曲。

在理想世界里，控制信号说导通多久，功率级就导通多久。但在二极管有反向恢复的情况下，物理世界和逻辑世界出现了裂痕。定义功率级占空比 $D$ 时，我们依据的是晶体管两端电压 $v_{t} (t)$ 的波形：当电压为 0 时，晶体管才算真正导通。你会发现，晶体管电压下降到 0 的时刻比控制信号 $c (t)$ 跳变的时刻要晚——因为在那之前，二极管还在反向恢复，它还在导电，把电压钳位住了。于是：

D = D_{c} - \frac{t_{r}}{T_{s}} (4.12)

这行公式告诉我们：二极管的反向恢复时间 $t_{r}$ 实际上“偷走”了一部分占空比。 虽然控制信号想让开关开启 $D_{c}$ 这么长的时间，但实际的电感充电时间被缩短了。这个视角的转换（从控制视角看向功率级视角）非常重要，因为它直接决定了后面等效电路里那个变压器匝数比是多少。

把波形变成方程

现在我们开始动手搭建模型。第一步，把晶体管/二极管的电压电流波形，翻译成电感和电容的语言。

1. 电感电压 $v_{L} (t)$

电感左端连着二极管（也就是开关节点），右端连着输出电压 $V$ 。所以：

v_{L} (t) = v_{d} (t) - V (4.13)

把上面那条二极管电压 $v_{d} (t)$ 平移下来，减去输出电压 $V$ ，就得到电感电压 $v_{L} (t)$ 的波形。

你看，只要我们接受了 $D$ 的重新定义，这个波形就又变得符合直觉了。利用电感伏秒平衡原则：

⟨ v_{L} ⟩ = 0 = D V_{g} - V (4.14)

这个方程和理想 Buck 变换器的一模一样！这让我们松了一口气：至少稳态电压传递比没被破坏（至少在模型层面上）。

2. 电容电流 $i_{C} (t)$

根据 KCL，电容电流还是那个老样子：

⟨ i_{C} ⟩ = 0 = I_{L} - \frac{V}{R} (4.15)

结合（4.14）和（4.15），我们可以画出那个熟悉的等效电路模型：一个 $1 : D$ 的直流变压器，后面挂着一个负载电阻。

3. 输入电流 $I_{g}$ —— 真正的坑在这里

到这里一切似乎都很美好。但是，输入电流的计算会揭示损耗的真相。

输入电流 $i_{g} (t)$ 就是流过晶体管的电流 $i_{t} (t)$ （因为晶体管串联在输入端）。让我们盯着 $i_{t} (t)$ 的波形算一下平均值。

它由两部分组成：

在 $0$ 到 $D T_{s}$ 期间，晶体管导通，电流是电感电流 $I_{L}$ 。
在随后的 $t_{r}$ 期间，二极管反向恢复，晶体管虽然还在导通（或正在关断），但电流还是被强行拉上来维持反向电流，这部分峰值电流依然消耗了输入电荷。
还有一个额外的三角形面积，对应着恢复电荷 $Q_{r}$ 。

计算平均值：

I_{g} = ⟨ i_{t} (t) ⟩ = \frac{1}{T_{s}} \int_{0}^{T_{s}} i_{t} (t) d t (4.16)

I_{g} = \frac{1}{T_{s}} (D T_{s} I_{L} + t_{r} I_{L} + Q_{r}) (4.17)

整理一下：

I_{g} = D I_{L} + I_{L} \frac{t_{r}}{T_{s}} + \frac{Q_{r}}{T_{s}} (4.18)

⚠️ 停一下，仔细看这个公式。

如果是理想情况，输入电流应该就是 $D I_{L}$ 。后面多出来的这两项是什么？它们是幽灵负载。

$I_{L} \frac{t_{r}}{T_{s}}$ ：这是为了填补反向恢复时间 $t_{r}$ 内的电流消耗。
$\frac{Q_{r}}{T_{s}}$ ：这是为了供给反向恢复电荷 $Q_{r}$ 所需的平均电流。

这两项不仅不产生输出功率，还纯粹在发热。

根据（4.18），我们可以画出输入端的等效电路。这里出现了两个额外的受控电流源，它们把真实的开关损耗以电路元件的形式表现了出来——这两个电流源，就是我们要抓捕的”嫌疑犯”。

完整模型与效率推导

现在，把输出端的模型和输入端的模型拼在一起，就得到了完整的模型：中间是个直流变压器，输入侧却多了两个吸取功率的电流源。

在这个模型里，那两个额外的电流源从输入电源 $V_{g}$ 吸取功率，却没有任何能量传送到输出端。这部分功率全部变成了热量——也就是开关损耗 $P_{s w}$ 。

根据功率守恒，这部分损耗就是输入侧多出来的功率：

P_{s w} = V_{g} (\frac{Q_{r}}{T_{s}} + I_{L} \frac{t_{r}}{T_{s}}) = V_{g} (f_{s} Q_{r} + I_{L} f_{s} t_{r}) (4.19)

这就解释了为什么开关频率 $f_{s}$ 一旦提上去，效率就崩了。损耗与频率成正比。

现在我们来解这个模型，看看效率到底变成了什么样。

电压转换比 $M$ ：因为 $V = D V_{g}$ （伏秒平衡依然成立），所以：
$M = \frac{V}{V_{g}} = D (4.20)$
这一点很反直觉：虽然效率变低了，但电压传递比的主方程形式没变。这是因为在等效电路里，损耗是作为并联电流源出现的，而不是串联电阻。
输出功率：
$P_{o u t} = V I_{L} (4.21)$
输入功率：
$P_{i n} = V_{g} (D I_{L} + \frac{Q_{r}}{T_{s}} + I_{L} \frac{t_{r}}{T_{s}}) (4.22)$
效率 $η$ ：用输出功率除以输入功率：
$η = \frac{P_{o u t}}{P_{i n}} = \frac{V I_{L}}{V_{g} (D I_{L} + \frac{Q_{r} + I_{L} t_{r}}{T_{s}})}$
把 $V = D V_{g}$ 代入并化简，得到最终公式：
$η = \frac{1}{1 + \frac{f_{s}}{D} (\frac{t_{r}}{D} + \frac{Q_{r} R}{D^{2} V_{g}})} (推导整理如下)$
文中给出的简化形式是（代入 $I_{L} \approx V / R = D V_{g} / R$ ）：
$η = \frac{1}{1 + \frac{f_{s}}{D^{2} V_{g}} (t_{r} D V_{g} + Q_{r} R)} (4.23)$
或者更直观的写法：
$η = \frac{1}{1 + f_{s} (\frac{t_{r}}{D} + \frac{Q_{r} R}{D^{2} V_{g}})}$

这个公式揭示了几个残酷的事实。我们把它画成"效率 vs. 占空比 $D$ "的曲线来看看。

效率曲线的残酷真相

假设参数如下： $V_{g} = 24 V$ , $f_{s} = 100 kHz$ , $R = 15 Ω$ , $Q_{r} = 0.75 μ C$ , $t_{r} = 75 ns$ 。

盯着这条曲线你会发现，当占空比 $D$ 很小的时候，效率惨不忍睹，直接趋向于 0。

为什么？ 回想一下那个模型：开关损耗 $P_{s w} = V_{g} f_{s} (Q_{r} + I_{L} t_{r})$ 是一个固定的税，只要你工作，不管输出功率多小，这笔税都要交。而输出功率 $P_{o u t} = V I_{L} = D V_{g} I_{L}$ 。当 $D$ 很小（输出电压很低）或者负载很轻（ $I_{L}$ 很小，导致 $R$ 很大）时，输出功率微乎其微，但那笔固定的开关损耗依然存在。

当 P_{o u t} \to 0, η = \frac{P_{o u t}}{P_{o u t} + P_{f i x e d}} \to 0

这就是为什么很多轻载或低压输出的电源效率很难做上去的根本原因——二极管反向恢复这种固定损耗在“空车”运行时依然在烧油。

回响与启示

这一节我们做了一件看似枯燥但极具工程价值的事：把波形里的尖峰和震荡，抽象成了公式里的 $t_{r}$ 和 $Q_{r}$ ，然后把它们塞进了等效电路。

这个过程揭示了开关损耗的本质：它不是一个随意的误差，而是一个与频率 $f_{s}$ 息息相关的项。公式 (4.23) 清楚地告诉我们：如果你想提高 $f_{s}$ 让体积变小，你必须付出效率下降的代价，除非你能减小 $t_{r}$ 和 $Q_{r}$ 。

这也从系统层面解释了为什么我们愿意花大价钱买 SiC 二极管或者 GaN FET——因为它们的 $Q_{r}$ 和 $t_{r}$ 极小，甚至接近于零。对于高频设计来说，这不仅仅是买个好零件，而是在抢救那个即将跌穿底板的效率曲线。

当然，这个模型依然有它的局限性（比如假设 $Q_{r}$ 和 $t_{r}$ 是常数，实际上它们随电流变化），但它已经足够让我们看清问题的全貌了。

下一节，我们会离开二极管，去看看主动开关（MOSFET, IGBT）本身也有哪些让人头疼的脾气。你会发现，它们的故事其实和二极管有着惊人的相似之处。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

4.3.3 建模二极管引起的开关损耗 ​

Buck 变换器战场 ​

波形：真实的碰撞过程 ​

把波形变成方程 ​

1. 电感电压 vL(t) ​

2. 电容电流 iC(t) ​

3. 输入电流 Ig —— 真正的坑在这里 ​

完整模型与效率推导 ​

效率曲线的残酷真相 ​

回响与启示 ​