22.10 问题与实战

我们花了大量篇幅推导模型、画曲线、分析各种奇奇怪怪的模式。现在，是时候把这些工具磨一磨，看看它们在实战里是不是真的锋利了。

这一节全是硬货。我们会算频率、算元件、画特性，甚至会遇到一种非常特别的「电流源」模式。别指望能轻松翻过去，这里的每道题都是为了把那个抽象的「谐振」概念，钉进实实在在的电路里。

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22.1 并联谐振变换器实战：高于谐振

来看一个半桥并联谐振变换器。参数都标好了：$L=10\mu H$，$C=1.5\mu F$，变压器匝比 $n=20$。输入电压 $V_g=160V$。题目的假设很理想：$C_b,L_F,C_F$ 都无穷大，所以没有纹波；开关管和二极管都是理想的。让我们用正弦近似法来拆解它。

(a) 输入电流波形 $i_g(t)$

开关网络是半桥，那它的输出电压 $v_s(t)$ 肯定是个方波，在 $+V_g/2$ 和 $-V_g/2$ 之间跳变，频率是 $f_s$。

半桥输出的方波电压给定了波形。现在的关键是 $i_g(t)$。因为半桥的两个开关管是交替导通的，输入电流 $i_g(t)$ 实际上就是上面那个开关管（比如 Q1）导通时的电流。忽略直流分量，$i_g(t)$ 的形状主要由谐振槽路的电流决定。

考虑到是并联谐振，而且是高于谐振（Above Resonance）工作，槽路呈现感性。这意味着电流滞后于电压。方波电压的基波分量会驱使正弦电流流过槽路。所以，$i_g(t)$ 大概是个被切了顶的正弦波（因为 Q1 只在半个周期导通），但如果我们只看基波模型，它就是一个正弦波。

(b) 基波等效电路模型

这步是关键。我们要把这个复杂电路变成像前面那种简单的交流模型。

1. 开关网络：半桥输出的方波电压 $v_s(t)$，其基波分量幅值是 $V_{s1}=\frac{4}{\pi }\frac{V_g}{2}=\frac{2}{\pi }{V}_g$。这部分变成一个电压源。
2. 谐振槽路：就是 $L$ 和 $C$。注意，这里的 $C$ 是并联在变压器原边的（这是并联谐振的定义）。
3. 整流网络与负载：变压器副边接的是全桥整流器加 $L_F{C}_F$ 滤波。根据我们在 22.1.2 节学过的反射电阻定理，这个带大电感滤波的整流器网络，从原边看进去，就像一个等效电阻 $R_{ac}$。
   • 反射公式是 $R_{ac}=n^2{R}_{dc}$。
   • 这里直流负载电阻 $R_{dc}=V/I$。
   • 但等等，这个等效电阻是和谁并联？在并联谐振里，负载电阻（反射后）是和槽路电容 $C$ 并联的。

所以，模型画出来很简单：一个正弦电压源 $V_{s1}$ 串联一个电感 $L$，然后后面并联回路是 $C$ 和 $R_{ac}$。

(c) 推导转换比 $M$

现在我们有了交流模型。转换比 $M=V/V_g$。

根据分压原理，并联谐振槽路的电压传递函数（从输入电压到电容电压，也就是变压器原边电压）是：

$$\frac{V_{c1}}{V_{s1}}=\frac{1}{1-(\frac{\omega }{{\omega }_0}{)}^2+j\frac{\omega L}{R_{ac}}}$$

这里 ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$。

为了得到直流转换比 $M$，我们要把交流基波幅值折算回直流值。

• 输出直流电压 $V$ 和变压器原边电压基波幅值 $V_{p1}$ 的关系是：$V=\frac{n{V}_{p1}}{\pi }$（忽略整流器压降和系数差异，实际上标准推导是 $V=\frac{n{V}_{p1}\cdot 2}{\pi }$，取决于波形定义，我们用标准正弦近似结果：$M=\frac{n}{2\pi }\cdot \text{传递函数幅值}\cdot \frac{4}{\pi }$... 让我们直接用阻抗比推导）。

更直接的方式是利用功率守恒或者标准教材推导结果。对于并联谐振变换器，标准的转换比 $M$ 是频率 $F$ 和负载 $Q_e$ 的函数。

题目给的数据：额定负载 $I=20A,V=3.3V$。算一下负载电阻 $R=3.3/20=0.165\mathrm{\Omega }$。 反射回原边：$R_{ac}=n^{2}R={20}^2\times 0.165=66\mathrm{\Omega }$。

我们需要找到 $M$ 的表达式。通常并联谐振的 $M$ 公式比较复杂，但在高于谐振且重载时，它大致是线性的。我们保留符号推导：

$$M(F,Q_e,n)=\frac{V}{V_g}=\frac{n}{2}\frac{|H(j\omega )|}{\pi }\dots$$

(注：具体的解析解代入这里，如果是考试请写出完整推导，这里重点是过程)

(d) 额定负载下的频率

额定电压是 3.3V，输入 160V。所以 $M_{target}=3.3/160\approx 0.02$。

这非常小！这完全是因为匝比 $n=20$ 造成的巨大降压。实际上原边电压并不低，但变压器把它压下来了。

我们需要计算槽路的特征阻抗 $R_0=\sqrt{L/C}=\sqrt{10\mu /1.5\mu }\approx 2.58\mathrm{\Omega }$。 有效品质因数 $Q_e=R_{ac}/R_0=66/2.58\approx 25.6$。

这是一个高 $Q$ 值的槽路。要得到特定的 $M$，通常需要解频率方程。对于这么低的 $M$，频率很可能远高于谐振频率 $f_0$。

计算 $f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{10\mu \cdot 1.5\mu }}\approx 41\text{ kHz}$。 如果 $Q_e$ 很大，在谐振点增益是 $Q_e$ 倍（对于并联谐振）。在这里，谐振点原边电压会被 $Q_e$ 放大，这对于 3.3V 输出来说可能太高了？不，别忘了变压器是降压的。

通常我们需要解 $M(F)$ 的超越方程找到 $F$，然后算出 $f_s$。这部分通常需要数值迭代。

(e) & (g) 峰值电流与轻载效率

一旦找到了频率 $F$，槽路阻抗就确定了，电流幅值 $I_{p1}=V_{s1}/|Z_{in}|$ 就能算出来。

轻载时 ($I=2A$)： 负载电阻变大 10 倍，反射电阻 $R_{ac}$ 也变大 10 倍，$Q_e$ 变得非常大。 对于并联谐振，轻载时为了维持电压，频率通常会远离谐振点（通常是升高频率，使槽路呈感性，电压增益随频率升高而下降）。 此时峰值电流会显著下降，因为负载不再抽取大电流。 效率：虽然导通损耗降低了，但开关损耗（特别是容性损耗，如果频率跑得很高）可能会增加。不过在高于谐振模式下，ZVS（零电压开通）通常是容易实现的，所以轻载效率依然会比较高。

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22.2 LCC 谐振变换器 —— 混合槽路

LCC 变换器是个杂交体。它的槽路里既有串联电容 $C_s$，又有并联电容 $C_p$。这种结构在逆变器里很常见。

(a) 等效电路模型

建模方法和之前一样。

1. 开关网络变成电压源。
2. 槽路：$L$ 串联，然后分叉成 $C_s$ 和 $C_p$。$C_p$ 并联在负载（反射后的 $R_{ac}$）两边。
3. 负载还是等效电阻 $R_{ac}$。

(b) 转换比 $M$ 的推导

我们要定义两个重要的参数：

• $f_{\mathrm{\infty }}$：开路谐振频率。当负载开路时，只有 $L$ 和 $C_s$ 振荡。
• $R_0$：特征阻抗，这里定义为 $\sqrt{\frac{L(C_s+C_p)}{C_s{C}_p}}$（由谐振总感总容决定）。

转换比 $M$ 是 $F,Q_e,n$ 的函数。

$$M=\frac{V}{V_g}=\dots$$

(这是一个经典的三阶系统传递函数，推导结果通常包含 $F,n,Q_e$ 的组合项)。

(c) & (d) 绘制 $M$ vs $F$ 曲线

当 $n=1$ 时 ($C_s=C_p$)： 这就是对称的情况。增益曲线在谐振点附近会比较平缓。

当 $n=0.25$ 时 ($C_p=4C_s$)： 并联电容占主导。这时候特性更像并联谐振变换器（PRC）。增益曲线在谐振点会有个峰值，且随着 $Q_e$ 增大（负载变轻），峰值变高，变尖锐。这正是 LCC 的魅力所在——可以通过调整 $n$ 来调整它的负载调整率和增益形状。

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22.3 串联谐振的“对偶” —— 有意思的镜像

看这道题。这是个全桥结构，但槽路是 $L$ 和 $C$ 并联，而整流滤波... 等等，输出滤波是 $L_{F2}{C}_F$。

等等，如果我们仔细看：

• 开关网络产生方波电压加在 $LC$ 并联槽路上。
• 并联槽路两端产生正弦电压 $v_C(t)$。
• 这个 $v_C(t)$ 加在变压器原边。
• 变压器副边经过整流和滤波输出。

这不就是并联谐振变换器吗？ 题目说它是“Dual of the series resonant converter”（串联谐振的对偶）。从拓扑对偶性上讲确实如此，但在实际分析中，它就是一个并联谐振变换器。

(b) 槽路阻抗 Bode 图

这是个标准的 $LC$ 并联网络。

• 谐振点 $f_0=1/(2\pi \sqrt{LC})$。在这一点阻抗无穷大（理想情况）。
• 低于 $f_0$ 呈感性。
• 高于 $f_0$ 呈容性。

(c) 转换比 $M$

既然是并联谐振模型，$M$ 的推导就和我们上面做的 22.1 题非常像。它同样也是 $F$ 和 $Q_e$ 的函数。

(d) 正弦近似的有效性

这是关键。 在并联谐振点，阻抗极高，哪怕一点点电流也会产生巨大的电压。如果开关频率正好落在 $f_0$，而且负载很轻（$Q_e$ 很大），正弦近似法非常准。 但是，如果负载很重（$R$ 很小，$Q_e$ 很小），或者频率偏移太远，波形畸变会很大，正弦近似就开始“撒谎”了。特别是如果进入了不连续导通模式（DCM），正弦近似完全失效。

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22.5 并联谐振的设计约束

这题是个典型设计题。已知 $V_g=270V$，输出 $5V$，功率 $20W\sim 200W$。 我们要保证 ZVS（零电压开关）。 给定 $L=57\mu H,C_p=0.9nF,n=52:1$。

(a) 推导 $F(M,Q_e)$

我们要反过来用公式。通常 $M$ 是 $F$ 的函数。现在我们要把 $F$ 解出来。

(b) & (c) 满载与轻载特性

满载 (200W)：

• 负载电阻 $R\approx 0.125\mathrm{\Omega }$。
• 反射回原边：$R_{ac}={52}^2\times 0.125\approx 338\mathrm{\Omega }$。
• 特征阻抗 $R_0=\sqrt{57\mu /0.9n}\approx 252\mathrm{\Omega }$。
• $Q_e=338/252\approx 1.34$。 这时候 $Q_e$ 不算大。为了得到 5V 输出（即特定的 $M$），频率通常需要比较靠近谐振点，或者高于谐振点。

轻载 (20W)：

• 负载变大 10 倍，$Q_e$ 变成约 13.4。
• 这是一个高 $Q$ 值。
• 为了维持电压，频率必须大幅提升（远高于谐振），利用并联槽路的低通特性来降压。

ZVS 条件： 要实现 ZVS，槽路输入阻抗必须是感性的（电流滞后电压）。 在满载时，因为 $Q_e$ 小，相位裕度小，可能会比较难实现 ZVS，或者需要很高的频率才能进入感性区。这通常是并联谐振的一个痛点：重载时容易失去 ZVS。

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22.7 串联谐振的高压挑战

这题很刺激。输入 550V，输出 30kV，功率 5kW~25kW。 最大频率 50kHz。电容电压不能超过 2000V。 这是典型的 X光机或激光电源应用。

串联谐振在这里很合适，因为串联谐振本质是电流源，容易通过控制频率来限制电流，从而保护高压部件。

设计思路：

1. 频率限制：最高 50kHz。为了覆盖 25kW 的满载，谐振频率 $f_0$ 通常会设计得比 50kHz 低一点。
2. 电压应力：这是硬约束。峰值电容电压 $V_{c,peak}=I_{tank}\times X_C$。满载时电流最大，频率可能也会变。我们需要保证在最坏情况下（通常是最低频率、满载），电容电压不超过 2000V。
3. 变压器匝比：30kV / 550V ≈ 54。考虑到串联谐振的升压能力（利用 $Q$ 值），实际匝比可以取得比 54 小一些，利用槽路增益来补足电压。

这题的解通常是凑出来的：先选一个合理的 $L$ 和 $C$ 得到合适的 $R_0$，再算匝比，然后回过头来验证电容电压和频率是否超标。

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22.9 LLC 变换器的特性绘制 —— 必须动手

LLC 是现在的明星。参数全给出来了：$L_s=2.5\mu H,C=0.4\mu F,L_p=15\mu H,n=7.5$。 频率 100kHz。

(a) 开路电压 $V_{oc}$ 和短路电流 $I_{sc}$

LLC 的魅力在于它的输出特性可以完美映射到负载平面上。

1. 短路电流 ($R=0$)： 这时 $L_p$ 被短路（直接跨在变压器副边反射电阻上，若 $R=0$ 则 $L_p$ 无效）。 槽路退化成纯粹的 $L_{s}C$ 串联谐振。

   $$f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{L_{s}C}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{2.5\mu \cdot 0.4\mu }}\approx 159\text{ kHz}$$

   此时工作频率 $f_s=100\text{ kHz}$，低于谐振频率。槽路呈容性。 我们可以利用交流模型算出短路电流基波幅值，再折算成直流。

2. 开路电压 ($R\to \mathrm{\infty }$)： 此时负载断开。$L_p$ 参与谐振。

   $$f_{\mathrm{\infty }}=\frac{1}{2\pi \sqrt{(L_s+L_p)C}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{17.5\mu \cdot 0.4\mu }}\approx 60\text{ kHz}$$

   此时 $f_s=100\text{ kHz}$，高于 $f_{\mathrm{\infty }}$。在开路时，电流全部流经 $L_p$ 和 $C$ 形成回路，输出电压取决于分压。

(b) 椭圆输出特性与 ZVS

LLC 的输出特性是个完美的椭圆（或者一段圆弧）。

• 匹配负载：当负载电阻等于槽路特征阻抗时，输出功率最大。
• ZVS 区域： 在低于谐振频率（比如 $f_s<f_0$）的区域，槽路呈容性（电流超前电压），此时很难实现 ZVS，而是会实现 ZCS（零电流开关）。这对于 MOSFET 来说通常意味着关断损耗（虽然电流为零关断，但电压建立需要时间）。 但是！LLC 的魅力在于，当负载很重（电阻小）时，虽然整体呈容性，但在死区时间内，输出电容放电可能会被强迫完成。不过严格来说，低于谐振频率且重载时，ZVS 是有风险的。 更正：LLC 通常工作在 $f_{\mathrm{\infty }}<f_s<f_0$ 的区域来实现 ZVS（感性区），或者 $f_s>f_0$（强感性）。如果 $f_s$ 掉得太低（比如 100kHz 低于 159kHz），进入容性区，我们可能会失去 ZVS。

(c) 阻抗 Bode 图

• $Z_{i0}$ (短路阻抗)：就是 $L_{s}C$ 串联。谷底在 159kHz。
• $Z_{i\mathrm{\infty }}$ (开路阻抗)：是 $L_p$ 和 $(L_s+C)$ 串联后的并联感抗。谷底在 60kHz。
• 交点频率 ($f_m$)：这是 ZVS/ZCS 的分界线。当负载电阻大到一定程度，使得输入阻抗的实部等于虚部（或者说总阻抗角为 0），就是 $f_m$。

(d) 峰值电流

• $R=0$ 时：电流最大，由 $L_{s}C$ 串联阻抗决定。
• $R\to \mathrm{\infty }$ 时：电流最小，完全由励磁电感 $L_p$ 决定。

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22.10 暴力的电流源模式 —— k=2 DCM

最后这题很有意思。我们要让串联谐振变换器变成一个电流源。 条件是：工作在断续导通模式（DCM），且模式指数 $k=2$。 频率 $f_s=0.225f_0$。这意味着频率远低于谐振频率。

(a) 输出特性 ($M$ vs $J$)

在 $k=2$ 模式下，谐振电流会在半个开关周期内完成两个完整的正弦振荡，然后归零休息。 这就像我们在 22.5.1 节里看到的那样，这种模式下的变换器表现出回旋器特性。 这意味着，输出电压 $V$ 和输出电流 $I$ 的关系是线性的，且曲线斜率为负。无论负载电阻怎么变，只要频率固定，它就像一个恒流源一样工作。

具体的输出特性是一条直线，它经过 $(J=0,M=0)$ 吗？不，它可能经过某些特定的截距。 通常 $k=2$ 时，$M$ 和 $J$ 呈现完美的线性关系：

$$M=C-J\cdot R_{const}$$

(具体常数取决于 $k=2$ 的模式方程解)。

题目要求画出 $M$ vs $J$：这是一条直线。 在短路 ($J$ 很大，$V\to 0$) 时，它进入 DCM 模式边界。 在开路 ($J\to 0$) 时，电压达到某个最大值。

(b) 有效负载范围

为了保证它始终工作在 $k=2$ 模式，负载电阻不能太大，也不能太小。

• 如果 $R$ 太小（电流太大），我们会跳出 $k=2$ 区域，可能进入 $k=1$ 或者连续导通模式（CCM）。
• 如果 $R$ 太大（电流太小），可能会进入更深的 DCM（比如 $k=3$）或者其他模式。

所以，这个“电流源”特性只在中间的一段负载范围内有效。

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22.11 单相高功率因数整流 —— 谐振的另一种用法

这题把思路完全打开了。我们不再做 DC-DC，我们做 AC-DC，而且要利用并联谐振变换器来实现功率因数校正（PFC）。

(a) 输入特性曲线

如果我们在固定的频率 $F$ 下运行并联谐振变换器，输入电压 $v_g(t)$ 和输入电流 $i_g(t)$ 的平均关系（低频包络）呈现什么形状？ 题目要求画出 $m_g$ vs $j_g$ 的曲线。 如果我们把频率设定在略高于谐振（比如 $F=1.1,1.2...$），这时候变换器的输入阻抗近似呈感性。如果电压是正弦，电流也是正弦，且相位固定。 这意味着，从输入端看进去，它像一个电阻 $R_{emulated}$。 这正是我们做 PFC 想要的。

(b) 开环运行

如果频率固定在 1.1，输入电压是正弦波 $|\sin (\omega t)|$。 因为输入特性是非线性的（稍微有点弯曲），输入电流波形会稍微有些畸变，但大致还是跟随电压形状的。你可以算出峰值电流和死区时间。

(c) 闭环控制 —— 变频率

为了得到完美的正弦电流，我们必须调节频率 $F$。 当输入电压过零时，我们需要很小的增益（因为电压低），但变换器在轻载（电压低时对应电流小，即负载轻）增益高... 等等。 实际上，并联谐振变换器在轻载时增益高。为了在电压过零点附近（这时候瞬时功率低，负载轻）保持电流跟随电压，我们需要大幅降低增益。 但在并联谐振里，降低增益通常意味着升高频率（对于高于谐振模式）。 所以，控制器在过零点附近会把频率推得非常高。而在电压峰值处，频率会降下来。 你可以画出 $F(t)$ 的波形：在正弦波的过零点，$F$ 达到峰值；在正弦波的波峰，$F$ 达到谷值。

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本章回响 —— 谐振不仅是波形，更是控制

我们终于走完了这一章。

回过头看，你一开始可能以为谐振变换器只是为了“正弦波”美观，或者是为了减少 EMI。但现在你应该明白，谐振改变了变换器的本质性格。

对于传统的 PWM 变换器，负载就是负载，电阻是多少就是多少。 但对于谐振变换器，负载是通过槽路网络这个透镜折射进去的。

• LLC 变换器利用 $L_p$ 把负载“折射”成一条能够实现 ZVS 的最佳路径。
• 串联谐振在 $k=2$ 模式下，利用断续导通把负载“折射”成一个电流源。
• LCC 变换器通过混合槽路，把“折射率”变成了可编程的。

我们学到的那些曲线——椭圆的、垂直的、回旋器直线——其实全是负载折射率的某种投影。

还记得开头那个问题吗？为什么要搞得这么复杂？ 因为当我们把频率推到几百kHz，甚至MHz，硬开关的损耗会烧毁一切。 谐振是我们唯一能举起的盾牌。

而在举起这个盾牌的同时，我们意外地获得了一种新的控制自由度——频率。通过这个旋钮，我们可以把变换器从 Buck 变成 Boost，从电压源变成电流源，从整流器变成电阻模拟器。

下一章，我们会把这些直觉应用到更广阔的场景里。那时候，你会发现今天建立的这些模型，就像是几张透镜，帮你看清那些看似复杂的波形背后，其实只是简单的能量在唱歌。

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练习题

练习 1：understanding

题目：在基于正弦近似法分析谐振变换器时，为什么通常将整流器+滤波+负载电路等效为一个电阻（Re），而不是电阻与电容的并联组合？请结合本章原理分析原因。

答案与解析

答案：因为采用了正弦近似，假设输出端的电容滤波效果足够好（即小纹波近似），使得输出电压 V(t) 基本恒定为直流 V。整流桥的输入电压 vR(t) 变为幅值取决于 V 的方波。当只关注基波分量时，vR1(t) 与整流桥输入电流 iR(t)（正弦波）同相位，因此从谐振槽路的角度看，该端口呈现出纯电阻特性。该有效电阻 Re 的值为 $R_e=\frac{8}{{\pi }^2}R$。

解析：根据 22.1.2 节的内容，正弦近似法的一个核心假设是忽略谐波。由于大电容 CF 的存在，输出电压 v(t) 被钳位在直流电压 V。整流二极管在 iR(t) 过零时切换，导致 vR(t) 变为与 iR(t) 同相位的方波。在频域分析中，我们只提取基波分量 vR1(t)。由于 vR1(t) 和 iR1(t) 同相，其比值（阻抗）是一个实数，即等效电阻 Re。这使得复杂的非线性整流电路可以被线性化为一个简单的电阻负载，从而利用传递函数 H(s) 来分析整个系统。

练习 2：application

题目：某串联谐振直流-直流变换器的谐振槽路参数为：L = 20 μH，C = 0.05 μF。开关频率 fs 设为 150 kHz。请计算该变换器的特征阻抗 R0、谐振频率 f0 以及归一化开关频率 F。

答案与解析

答案：特征阻抗 R0 = 20 Ω；谐振频率 f0 = 159.15 kHz；归一化频率 F = 0.943。

解析：根据 22.2.1 节的公式进行计算：

1. 特征阻抗 $R_0=\sqrt{L/C}=\sqrt{20\times {10}^{-6}/0.05\times {10}^{-6}}=\sqrt{400}=20\mathrm{\Omega }$。
2. 谐振频率 $f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{{10}^{-9}}}\approx 159155\text{ Hz}\approx 159.15\text{ kHz}$。
3. 归一化频率 $F=f_s/f_0=150/159.15\approx 0.943$。 由于 F < 1，该变换器工作在谐振频率点以下（Sub-resonant mode）。

练习 3：application

题目：一个设计用于 LLC 谐振拓扑的变压器，其初级侧测得的漏感为 $L_s=10\mu H$，激磁电感为 $L_m=40\mu H$。如果谐振电容 $C_s=47nF$。请计算该变换器的短路谐振频率（$f_0$）和开路谐振频率（$f_{\mathrm{\infty }}$）。

答案与解析

答案：短路频率 $f_0\approx 73.2\text{ kHz}$；开路频率 $f_{\mathrm{\infty }}\approx 116.2\text{ kHz}$。

解析：LLC 变换器包含两个电感：串联电感 $L_s$（漏感）和并联电感 $L_p$（激磁电感）。

1. 短路谐振频率 $f_0$：当负载电阻极低（R->0）时，输出端被短路，并联电感 $L_p$ 被输出短路不起作用。此时只有 $L_s$ 和 $C_s$ 参与谐振。 $f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{L_s{C}_s}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{10\mu H\cdot 47nF}}\approx 73,245\text{ Hz}$。
2. 开路谐振频率 $f_{\mathrm{\infty }}$：当负载极高（R->$\mathrm{\infty }$）时，谐振槽路电流全部流经 $L_p$。此时 $L_s$ 与 $L_p$ 串联，总电感量为 $L_s+L_p$。 $f_{\mathrm{\infty }}=\frac{1}{2\pi \sqrt{(L_s+L_p)C_s}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{50\mu H\cdot 47nF}}\approx 116,160\text{ Hz}$。 LLC 变换器的工作频率通常跨越这两个频率点之间，以获得宽范围的电压调节能力。

练习 4：thinking

题目：在谐振变换器设计中，我们通常希望在满载时实现 ZVS（零电压开通），但在轻载时往往会遇到挑战。请结合“槽路输入阻抗”和“有效负载电阻”的概念，解释为什么当负载电阻变得非常大（轻载）时，维持 ZVS 会变得困难？并指出一种可以缓解此问题的电路参数调整方向。

答案与解析

答案：在轻载时，有效负载电阻 Re 变得非常大。根据谐振槽路输入阻抗 $Z_{in}(j{\omega }_s)$ 的性质，当 Re 很大时，输入阻抗的相位角主要由槽路自身的电感和电容决定，且倾向于变得很小（甚至变为负，即容性）。ZVS 的实现要求开关网络的开关动作在电流滞后于电压的时刻发生，即槽路呈现感性（输入阻抗相位角 > 0）。如果负载太轻，相位角可能不足以覆盖死区时间所需的放电能量，或者进入容性区域导致 ZVS 失效。 缓解方法：增加变压器的并联电感（在 LLC 中）或串联电感，或者增加与开关管并联的电容（Leg Capacitor），但这会增加开关应力。更根本的方法是确保即使在最大 Re 下，槽路在工作频率处的输入阻抗相角仍然是感性的（例如增加激磁电感 $L_m$ 的电流循环）。

解析：这道题考察对 22.4 节“负载对谐振逆变器的影响”及 ZVS 边界的深度理解。

1. 阻抗关系：ZVS 的实现依赖于在开关开通前，利用谐振电流（或感应电流）抽走开关管结电容 $C_{leg}$ 上的电荷。这要求流入开关网络的电流相位滞后于电压相位（感性负载特性）。
2. 负载影响：有效电阻 $R_e=\frac{8}{{\pi }^2}{R}_{load}$。当 $R_{load}$ 增大（轻载）时，$R_e$ 增大。对于串联谐振或 LLC 电路，高阻抗负载会使得输入阻抗 $Z_{in}$ 的模值变大，且相位角 $\varphi =\arctan (\frac{\omega L-1/\omega C}{R_{series}+R_e})$ 会随着 $R_e$ 的增大而趋近于 0（如果谐振频率匹配）或变小。
3. 能量视角：ZVS 需要足够的能量 $E=\frac{1}{2}L{I}^2>\frac{1}{2}C{V}^2$。轻载时，反射到初级的负载电流减小，参与 ZVS 能量转移的电流分量减小，导致能量不足以在死区时间内将电压拉到零。
4. 解决方案：为了在轻载下维持 ZVS，需要确保槽路中始终有足够大的无功电流循环。在 LLC 变换器中，激磁电感 $L_m$ 提供了不随负载变化的无功电流。减小 $L_m$ 可以增加循环电流，从而改善轻载 ZVS 表现，但这会增加导通损耗。

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要点提炼

正弦近似法是分析谐振变换器的核心工具，它利用高 Q 值槽路的选频特性，将复杂的非线性系统转化为线性的交流电路。具体而言，它将开关网络的方波输入等效为基波正弦电压源，同时将整流桥与负载等效为一个与实际电阻成比例（如串联谐振中为 $0.81R$）的纯电阻 $R_e$。通过这一变换，原本复杂的时域微分方程求解问题，简化为了简单的交流阻抗分压问题，且推导出直流电压转换比 $M$ 在数值上直接等于谐振槽路传递函数在开关频率处的幅值。

谐振变换器的软开关特性取决于开关频率相对于谐振频率的位置，这决定了槽路阻抗是感性还是容性，进而决定了电压与电流的相位关系。当工作频率低于谐振频率时，槽路呈容性，电流超前电压，实现零电流关断（ZCS），这有利于关断但会带来严重的开通损耗和二极管反向恢复问题；当工作频率高于谐振频率时，槽路呈感性，电流滞后电压，实现了零电压开通（ZVS），利用 MOSFET 的寄生电容或外接电容将电压“钳位”在零位，从而消除了开通损耗，是现代高频电源设计的首选模式。

谐振变换器的稳态输出特性遵循一个椭圆方程，揭示了输出电压幅值 $\parallel v\parallel$ 与电流幅值 $\parallel i\parallel$ 之间的约束关系。该椭圆的长轴和短轴分别由开路电压 $V_{oc}$ 和短路电流 $I_{sc}$ 决定，而具体的工作点则由负载电阻 $R$ 与输出阻抗 $Z_{o0}$ 的负载线交点确定。这一特性表明，通过调节频率（改变椭圆形状和阻抗）或控制负载，可以精确预测变换器的输出行为。

谐振槽路的输入阻抗 $Z_i$ 并非恒定，而是负载电阻 $R$ 的单调函数，其变化轨迹被限定在短路阻抗 $Z_{i0}$ 和开路阻抗 $Z_{i\mathrm{\infty }}$ 两条极限曲线之间。对于并联谐振或 LCC 变换器，这两条阻抗曲线会在特定频率 $f_m$ 处相交：当开关频率 $f_s<f_m$ 时，空载阻抗大于短路阻抗，具有自然的限流特性，轻载效率高；反之若 $f_s>f_m$，空载阻抗反而低于短路阻抗，会导致轻载时环流巨大，极易炸机。

软开关模式的归属并非一成不变，而是受到负载电阻 $R$ 的深刻影响，其边界由临界电阻 $R_{crit}$ 决定。根据定理 22.2，在 $f_0$ 与 $f_{\mathrm{\infty }}$ 之间的特定频段内，如果实际负载电阻大于 $R_{crit}$，槽路特性倾向于开路情况表现为容性（ZCS）；若负载小于 $R_{crit}$，则倾向于短路情况表现为感性（ZVS）。为了确保在全负载范围内（尤其是轻载时）都能维持高效的 ZVS，设计时必须精心调整参数，使得 $R_{crit}$ 足够大，将 ZVS 区域尽可能拓宽。

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参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。